2 · 无线信道入门：路径损耗、阴影与衰落#
第 1 章 讲了波是怎么发出去的：振荡的电荷、辐射的场、天线的方向图。但发出去之后呢？在真实世界里，波不会乖乖沿着一条直线走到接收机。它撞上楼房，钻过树叶，在水泥地上反射，在楼角处绕射。最后有几十条副本几乎同时到达你的手机，各自带着不同的幅度、时延和相位。
无线信道就是对"发出去的波"到"收到的波"这个变换的数学描述。它是无线通信里最难、也最有趣的一环，因为只有它，我们不能设计，只能测量与适应。
本章的核心是一个分层的世界观：把信道的随机性拆成三层。
- 路径损耗：大尺度、确定性，随距离变化。
- 阴影衰落：中尺度、对数正态，随地形遮挡变化。
- 小尺度衰落：波长尺度、瑞利/莱斯，随多径相位变化。
这三层各有各的物理成因、空间尺度和对抗手段。理解了它们，你就拿到了读懂本站四部前沿内容的第一把钥匙。
你将学会：
- 用一张图和一个乘法式说清信道三层分解，知道每一层在多大的空间尺度上变化、由什么物理机制造成；
- 从 Friis 公式出发推出自由空间路损的 dB 表达式，理解对数距离模型 \(PL(d)=PL(d_{0})+10n\log_{10}(d/d_{0})\) 里 \(n\) 的物理含义，会代 3GPP 公式算一条真实链路；
- 说清阴影为什么服从对数正态分布：从"遮挡损耗连乘"到"取对数变加法"，再到中心极限定理，并会用衰落裕量算覆盖率；
- 一步不跳地推出瑞利分布：多径相量和 → 实虚部独立高斯 → 极坐标变换 → 包络 pdf；再加上视距分量得到莱斯分布与 \(K\) 因子；
- 推导多普勒频移 \(f_{d}=v\cos\theta/\lambda\)，并从"散射角均匀分布"直接算出 Jakes 谱那条浴缸形曲线；
- 把信道的四个特征量两两配对讲透：时延扩展 ↔ 相干带宽、多普勒扩展 ↔ 相干时间，并用积分推出它们互为倒数的量级关系；
- 用四象限分类（平坦/频选 × 快/慢）判断任何一个场景，并在 LTE/5G 真实参数下走一遍判据；
- 写出时变冲激响应 \(h(t,\tau)\) 与时变传递函数 \(H(t,f)\)，理解它们和抽头延迟线模型、OFDM 的关系。
2.1 三层分解：一条链路上的三种"变暗"#
2.1.1 走夜路的类比#
设想你晚上沿着一条街走远，回头看路灯。你会观察到三种亮度变化，它们的"节奏"完全不同：
- 越走越暗：这是距离造成的，平滑、单调、可预测。走 200 米和走 400 米的差别是确定的。
- 遮挡：走到大楼背后，亮度突然暗一截，转过街角又亮回来。这是遮挡造成的，变化的尺度是"几十米"，取决于建筑物有多大。
- 干涉：如果光是相干的（比如激光），你还会看到明暗斑纹，走几厘米就从亮点掉进暗点。这是干涉造成的，尺度是波长量级。
无线信道和这个类比一模一样，只是第三种在射频波段无处不在，因为无线电波天然相干。这三种变化就是路径损耗、阴影衰落、小尺度衰落。
2.1.2 数学分解：为什么 dB 域是加法#
设发射功率 \(P_{t}\)，接收功率 \(P_{r}\)。三层效应在线性功率域是相乘的：
其中 \(G(d) \propto d^{-n}\) 是距离相关的平均增益。\(\Psi\) 是中位数为 1（dB 域均值为 0）的随机遮挡因子。\(h\) 是归一化复衰落系数（\(\mathbb{E}[|h|^{2}]=1\)）。取 \(10\log_{10}(\cdot)\) 之后，乘法变加法：
物理意义
这个式子是整个无线工程的记账格式，三笔账各记一项：
- \(PL(d)\) 是"平均每公里要交多少路费"；
- \(\psi\) 是"这个位置运气好不好"；
- \(10\log_{10}|h|^{2}\) 是"这一瞬间波的干涉是相长还是相消"。
三笔账各自独立、各自建模、各自有对策，这就是分层的价值。
行为分析
三者的时间和空间常数相差好几个数量级。
- \(PL\) 要走出几百米才有明显变化。
- \(\psi\) 的相关距离是几十米，也就是一栋楼的尺度。
- \(|h|^{2}\) 走半个波长（3.5 GHz 时约 4.3 cm）就可能从峰值掉到谷底。
所以当你以 60 km/h 移动时，小尺度衰落每 2.6 毫秒就换一副面孔，而路径损耗在 1 秒内几乎没变。
这个尺度分离既是建模上的便利，也是系统设计的依据：功率控制的环路速度、CSI 反馈的周期、切换的迟滞门限，全都是照着这三个尺度分别设计的。
---
config:
flowchart:
wrappingWidth: 400
---
flowchart LR
ROOT["无线信道的<br/>接收功率"] --> L1["大尺度<br/>路径损耗 $$PL(d)$$"]
ROOT --> L2["中尺度<br/>阴影衰落 $$\psi$$"]
ROOT --> L3["小尺度<br/>多径衰落 $$h$$"]
L1 --> L1X["成因：球面波扩散 + 地面反射 + 介质吸收<br/>尺度：百米～公里；确定性 + 频率相关<br/>对策：链路预算、站址规划、发射功率"]
L2 --> L2X["成因：建筑/山体/树丛的随机遮挡<br/>尺度：十米～百米；对数正态，$$\sigma = 4\sim 10$$ dB<br/>对策：衰落裕量、宏分集、切换"]
L3 --> L3X["成因：多径相量的相长/相消干涉<br/>尺度：半波长（厘米级）；瑞利 / 莱斯<br/>对策：分集、均衡、编码交织、自适应调制"]| 层 | 空间尺度 | 时间尺度（60 km/h, 3.5 GHz） | 统计模型 | dB 域波动幅度 |
|---|---|---|---|---|
| 路径损耗 | \(10^{2}\sim10^{4}\) m | 秒～分钟 | 确定性幂律 | 每十倍距离 \(20\sim40\) dB |
| 阴影衰落 | \(10\sim10^{2}\) m | 秒级 | 对数正态 \(\mathcal{N}(0,\sigma^{2})\) | \(\pm(4\sim10)\) dB（\(1\sigma\)） |
| 小尺度衰落 | \(\lambda/2 \approx 4\) cm | 毫秒级 | 瑞利 / 莱斯 | 峰谷可差 \(30\) dB 以上 |
算例：把三层账一次算清
3.5 GHz 宏站，发射功率 \(P_{t}=46\) dBm（40 W），用户在 \(d=500\) m 处，无视距（NLOS），系统带宽 20 MHz，接收机噪声系数 7 dB。
第一层（路损）：用 3GPP TR 38.901 的 UMa NLOS 公式（2.2 节会详细拆），\(PL = 13.54 + 39.08\log_{10}(500) + 20\log_{10}(3.5) = 13.54 + 105.5 + 10.9 \approx 129.9\) dB。
中值接收功率 \(= 46 - 129.9 = -83.9\) dBm。
噪声底：\(N = -174 + 10\log_{10}(20\times10^{6}) + 7 = -174 + 73 + 7 = -94\) dBm。所以中值 SNR \(\approx 10.1\) dB，看起来很舒服。
第二层（阴影）：UMa NLOS 的 \(\sigma_{\text{SF}} = 6\) dB。若这个用户运气不好，落在 \(-1\sigma\) 处，接收功率降到 \(-89.9\) dBm，SNR 掉到 \(4.1\) dB。
第三层（小尺度）：瑞利衰落下，约有 10% 的时间瞬时功率低于均值 10 dB。这一瞬间 SNR 变成 \(-5.9\) dB，链路直接断。
结论：中值 10 dB 的"健康"链路，在阴影加深衰落的叠加下，会有相当比例的时间不可用。所以链路预算里必须留衰落裕量，分集、HARQ、自适应调制也是刚需。
2.2 路径损耗：从 Friis 到 3GPP#
2.2.1 自由空间：功率被球面稀释#
第 1 章 已经给出 Friis 传输公式。这里从头再走一遍逻辑，因为它是所有路损模型的原型。
各向同性天线发射 \(P_{t}\)，功率均匀铺在半径 \(d\) 的球面上，功率密度为 \(S = P_{t}/(4\pi d^{2})\)。接收天线以有效面积 \(A_{e}\) 拦截，\(A_{e}\) 与增益的关系是 \(A_{e} = G_{r}\lambda^{2}/(4\pi)\)。于是
定义自由空间路径损耗（FSPL）为不含天线增益的那部分的倒数：
取 dB，并把 \(d\) 以米、\(f\) 以 GHz 为单位代入（\(20\log_{10}(4\pi\times10^{9}/3\times10^{8}) = 32.45\)）：
物理意义
两个 \(20\log_{10}\) 说的是两件不同的事。
- 距离项来自球面面积 \(\propto d^{2}\)，是纯几何。功率没有损失，只是被摊薄了。
- 频率项不是因为高频"衰减更快"，自由空间不吸收任何能量。它来自我们把接收天线的增益固定住了：增益固定意味着有效面积 \(A_{e}\propto\lambda^{2}\) 随频率变小，接收口径缩水，所以收得少。
这个区分很重要。如果保持接收口径面积不变（比如毫米波用同样物理尺寸的阵列），频率越高反而收得越多。这是毫米波与太赫兹大规模阵列的立论基础，也是 第 5 章 与 第 9 章 的伏笔。
行为分析
距离翻倍，FSPL 增加 \(20\log_{10}2 = 6.02\) dB；距离十倍，增加 20 dB。
频率从 3.5 GHz 升到 28 GHz（8 倍），FSPL 增加 \(20\log_{10}8 = 18.1\) dB。毫米波"覆盖差"的账，一大半就在这一项上，另一半来自穿透损耗与雨衰。
2.2.2 双径模型：为什么室外指数常常是 4#
自由空间的 \(n=2\) 在真实地面上几乎从不出现。最简单的修正是双径（two-ray）地面反射模型：接收信号是直射径与地面反射径之和。设发射/接收天线高 \(h_{t}, h_{r}\)，水平距离为 \(d\)。
第一步：写出两条路径的长度。 直射径长为
反射径可以看成从地面下方的"镜像天线"（高度 \(-h_{t}\)）直线射来，长为
第二步：求行程差。 当 \(d \gg h_{t},h_{r}\) 时，用 \(\sqrt{1+u}\approx1+u/2\)（\(u\ll1\)）展开，得
两式相减，\(h_{t}^{2}\)、\(h_{r}^{2}\) 抵消，只剩交叉项，于是两径的行程差近似为
第三步：写出接收功率。 地面在掠入射时反射系数近似 \(-1\)。又因 \(\ell_{1}\approx\ell_{2}\)，两径幅度几乎相等。所以接收功率近似等于自由空间功率乘以 \(|1 - e^{-j\Delta\phi}|^{2}\)，而 \(|1-e^{-jx}|=2|\sin(x/2)|\)。
第四步：确定近似成立的范围。 "\(d\) 很大"的尺度由临界距离 \(d_{c}=4h_{t}h_{r}/\lambda\) 给出，\(d=d_{c}\) 时 \(\Delta\phi=\pi\)。当 \(d\ge\pi d_{c}\)，即 \(\Delta\phi\le1\) 时，下面的近似误差不到 0.4 dB。例如 \(h_{t}=20\) m、\(h_{r}=1.5\) m、900 MHz 时 \(d_{c}=360\) m。频率越高，\(d_{c}\) 越远。
在这一区间里用 \(\sin(x/2)\approx x/2\)，即 \(|1-e^{-jx}| \approx |x|\)，得到：
物理意义
直射与反射两径几乎等长、相位几乎相反，于是互相抵消。距离越远抵消得越彻底，功率按 \(d^{-4}\) 衰减，而不是 \(d^{-2}\)。
注意结果里波长消失了：远场双径区的路损与频率无关。这个结论漂亮，也反直觉。
行为分析
\(n=4\) 时距离翻倍要付 12 dB，覆盖半径对功率极不敏感：发射功率翻 16 倍（12 dB）才把半径翻倍。这解释了为什么蜂窝网扩容靠"加站"，而不是"加功率"。
同时 \(h_{t}^{2}\) 说明抬高天线极其有效：铁塔从 20 m 加到 40 m，理论上多 6 dB。
2.2.3 对数距离模型：把所有环境装进一个 \(n\)#
工程上把上述所有机制打包成一个经验幂律。选一个参考距离 \(d_{0}\)（室外常取 100 m 或 1 km，室内取 1 m），
物理意义
这是一条 dB-对数距离平面上的直线。截距 \(PL(d_{0})\) 由频率和参考距离决定，通常直接取该处的 FSPL。斜率 \(10n\) 由环境决定。
\(n\) 叫路径损耗指数，是整个环境复杂性被压缩成的一个标量。它把绕射、反射、穿透、散射的全部后果，浓缩为"每十倍距离掉多少 dB"。
行为分析
\(n\) 每增加 1，十倍距离就多掉 10 dB。下表给出典型值。
注意波导效应场景（走廊、街道峡谷）可以出现 \(n<2\)：能量被墙壁"关"在管道里，不向外扩散，衰减比自由空间还慢。
| 环境 | \(n\) 典型值 | 阴影 \(\sigma\) (dB) |
|---|---|---|
| 自由空间 / 卫星链路 | 2.0 | 0～2 |
| 城区街道峡谷（视距） | 1.6～2.2 | 3～5 |
| 室内走廊（波导效应） | 1.4～1.8 | 3～6 |
| 郊区宏蜂窝 | 2.7～3.5 | 6～8 |
| 城区宏蜂窝（非视距） | 3.5～4.5 | 6～10 |
| 建筑物内（有隔断） | 4～6 | 8～12 |
经验模型
把 \(n\) 和截距做成频率、天线高度、城市类型的显式函数，就得到了 Okumura-Hata 一类模型。它源自 Okumura 等人 1968 年在东京的大规模实测，Hata 于 1980 年把曲线拟合成闭式公式，适用于 150–1500 MHz、基站高 30–200 m 的宏蜂窝，长期是蜂窝规划的行业标准。
它今天已被 3GPP 的场景化模型取代，但"把环境拟合进系数"这一方法论完全没变。
2.2.4 3GPP 模型：今天真正在用的公式#
3GPP TR 38.901 为每个场景（UMa 城区宏站、UMi 城区微站、RMa 农村、InH 室内）分别给出 LOS 与 NLOS 两套公式。以 UMa 为例（\(f_{c}\) 单位 GHz，\(d_{3D}\) 单位 m，近距段）：
NLOS 这一式在 TR 38.901 里记作 \(PL'_{\text{UMa-NLOS}}\)。实际的 NLOS 路损取 \(\max(PL_{\text{UMa-LOS}},\,PL'_{\text{UMa-NLOS}})\)，保证遮挡只会让路损变大。本章两个算例的 500 m、200 m 下，NLOS 式本来就更大，两种写法结果相同。
物理意义
对照对数距离模型，可以读出这几项的含义：
- LOS 的 \(n = 2.2\)，略高于自由空间，因为有地面反射的部分抵消。
- NLOS 的 \(n = 3.908\)，接近双径预测的 4。
- \(20\log_{10}(f_{c})\) 保留了 Friis 的频率依赖。
- 最后那个 \(-0.6(h_{UT}-1.5)\) 是终端高度修正：站得高一点（比如在 10 楼），遮挡少、损耗低，每高 1 m 少 0.6 dB。
行为分析
这两套公式的差值就是"有没有视距"值多少钱。
算例：LOS 与 NLOS 差了多少
\(f_{c}=3.5\) GHz，\(d_{3D}=200\) m，\(h_{UT}=1.5\) m。
差 24.8 dB，相当于发射功率要放大 300 倍才能补回来。
作为对照，同条件下的自由空间路损是 \(32.45 + 20\times2.301 + 10.88 = 89.4\) dB，几乎与 UMa-LOS 重合。这是巧合，但说明视距城区确实接近自由空间。
再看频率的代价：把 \(f_{c}\) 换成 28 GHz，两式都增加 \(20\log_{10}(28/3.5) = 18.1\) dB。NLOS 路损变成 132.4 dB。这就是毫米波必须靠密集组网 + 高增益波束（见 第 5 章）才能立足的原因。
别把模型当真理
这些公式是在特定城市、特定频段、特定天线高度下拟合出来的。它给的是某个场景类别的统计平均，不是你这条链路的真值。同一模型下不同城市可以差 10 dB 以上。
统计谱系 一章要深挖的，就是这个观念：模型给的是分布，不是实例。
2.3 阴影衰落：为什么偏偏是对数正态#
2.3.1 现象与直觉#
站在同一半径的圆周上绕着基站走，路径损耗公式给出的预测值不变，但实测功率会上下起伏十几个 dB：这里被一栋楼挡住，那里是一片开阔广场，再走几十米又钻进树林。这种围绕路损中值、由环境遮挡造成的慢变随机起伏，就是阴影衰落（shadow fading / log-normal shadowing）。
它的空间尺度由遮挡物的尺度决定。一栋楼几十米宽，所以你要走出几十米，"被挡"这件事才会改变。
2.3.2 从连乘到高斯：完整推导#
信号从发端到收端要穿过 \(K\) 个独立的衰减环节（一堵墙、一排树、一个楼角绕射……），第 \(i\) 个环节把功率乘上一个随机因子 \(a_{i} > 0\)。总的遮挡因子是
第一步：取对数，把乘法变加法。
第二步：用中心极限定理。 各环节的物理成因彼此无关（这堵墙多厚，和那排树多密，没有关系），所以 \(\xi_{i}\) 近似独立同分布。只要 \(K\) 不太小、每项方差有限，和式就近似高斯：
第三步：回到线性域，看它长什么样。 既然 \(\psi\)（dB 值）是高斯的，线性功率因子 \(\Psi = 10^{\psi/10}\) 就服从对数正态分布。其 dB 域 pdf 就是均值 \(\mu_{\text{dB}}\)、方差 \(\sigma_{\text{dB}}^{2}\) 的高斯：
回到线性域要做一次变量代换：\(\psi=10\log_{10}\Psi\) 对 \(\Psi\) 求导得 \(\mathrm{d}\psi/\mathrm{d}\Psi=10/(\Psi\ln10)\)，所以
指数里是 \((10\log_{10}y)^{2}\)，而不是 \(y^{2}\)，衰减得比高斯慢得多，所以曲线向大 \(y\) 拖出长尾（右偏）。
工程上还把平均遮挡损耗 \(\mu_{\text{dB}}\) 并进路损截距 \(PL(d_{0})\)，所以 2.1 节的表和后面的算例都写 \(\psi\sim\mathcal{N}(0,\sigma_{\text{dB}}^{2})\)。这时 \(\Psi\) 的中位数是 1，均值是 \(\exp\!\big(\tfrac12(\sigma_{\text{dB}}\ln10/10)^{2}\big)\)，\(\sigma_{\text{dB}}=8\) dB 时约为 5.5。
物理意义
这个推导的关键动作是"取对数"。中心极限定理管的是和，而物理上的多重衰减是积。对数正好是把积翻译成和的桥。
所以"对数正态"来自"多个独立乘性效应"这一物理结构，不是拍脑袋选的漂亮分布。凡是多重乘性随机效应叠加的地方（粒子破碎的尺寸分布、收入分布、生物体重），都会冒出对数正态。
行为分析
\(\sigma_{\text{dB}}\) 是在 dB 域度量的，所以它同时描述了"变好"和"变坏"的幅度。但在线性域，它是不对称的。
- \(\sigma=8\) dB 意味着 \(+1\sigma\) 时功率是中值的 6.3 倍，\(-1\sigma\) 时只有中值的 0.16 倍。
- 这种不对称是很多"平均 SNR 很好但用户体验很差"现象的根源：线性域的均值被少数好点位拉高了。
- \(\sigma\) 越大，说明环境越"参差"：密集城区 \(8\sim10\) dB，开阔郊区 \(4\sim6\) dB，纯视距近乎 \(0\)。
2.3.3 相关距离：阴影不是白噪声#
把阴影当成逐点独立的随机数是错的：挡住你的那栋楼，在你走出 5 米之后仍然挡着你。工程上用 Gudmundson 指数相关模型描述：
\(d_{\text{corr}}\) 称为去相关距离（相关系数降到 \(1/e \approx 0.37\) 的距离）：城区微蜂窝典型 \(5\sim20\) m，宏蜂窝 \(50\sim100\) m，农村可达数百米。
物理意义
\(d_{\text{corr}}\) 反映的是"典型遮挡物的尺寸"。它说明阴影是一个空间平滑的随机场，而不是白噪声。
这是信道制图学之所以可行的物理基础：如果阴影真是白的，测了这个点也预测不了旁边的点，任何"地图"都无从谈起。
行为分析
\(d_{\text{corr}}\) 决定了两件工程大事。
- 切换迟滞：如果迟滞窗口比 \(d_{\text{corr}}\) 短，终端会跟着阴影起伏来回乒乓切换。
- 宏分集的收益：两个基站到同一终端的阴影若高度相关（遮挡物在终端一侧），联合起来也救不了；若不相关（各自路径上的遮挡物不同），宏分集才有意义。3GPP 通常取小区间阴影相关系数 \(0.5\) 左右。
算例：衰落裕量与边缘覆盖率
设计目标：小区边缘 \(95\%\) 的位置接收功率高于接收机灵敏度 \(P_{\min}\)。已知该场景 \(\sigma_{\text{dB}} = 8\) dB。
设中值接收功率为 \(\bar{P}\)，则位置覆盖概率为
要它等于 \(0.95\)。记 \(a=(\bar{P}-P_{\min})/\sigma_{\text{dB}}\)，即中值比门限高出几个 \(\sigma\)，上式就是 \(Q(-a)\)。由 \(Q(-a)=1-Q(a)\)（\(Q\) 函数及这条对称性见 第 3 章 3.4 节），条件变成 \(Q(a)=0.05\)，查表得 \(a=1.645\)，即衰落裕量 \(M = 1.645\times 8 = 13.2\) dB。
代价有多大？ 13.2 dB 的裕量若靠缩小小区来换，就是要让边缘路损少 13.2 dB。由对数距离模型，半径从 \(r\) 缩到 \(r'\) 时路损减少 \(10n\log_{10}(r/r')\) dB，令它等于 \(M\) 得 \(r'/r=10^{-M/(10n)}\)。
在 \(n=3.5\) 的环境下，需要把半径缩到原来的 \(10^{-13.2/35} = 0.42\) 倍。每站覆盖面积 \(\propto r^{2}\)，站数 \(\propto 1/r^{2}\)，所以站数变成 5.7 倍（\(1/0.42^{2}\)）。
若把目标降到 \(90\%\)（\(M=1.282\times8=10.3\) dB），半径是原来的 \(0.51\) 倍，站数 3.9 倍。可见"最后几个百分点的覆盖率"贵得惊人，这也是运营商永远在覆盖率与资本开支之间拉锯的数学原因。
2.4 小尺度衰落：从多径相量和到瑞利分布#
2.4.1 物理图像：几十个相量的加法#
终端天线收到的是 \(N\) 条经历了不同反射/绕射路径的副本。若这些路径的时延差远小于符号周期（窄带假设），它们在接收端同时到达，只是相位不同。第 \(i\) 条径贡献 \(a_{i}\cos(2\pi f_{c}t + \phi_{i})\)，总和是
关键是相位 \(\phi_{i}\) 极其敏感。路径长度变化半个波长（3.5 GHz 时 4.3 cm），相位就翻转 \(\pi\)，相长干涉变成相消干涉。所以终端只要挪动几厘米，几十个相量的和就完全变了样。
2.4.2 复包络：把载波剥掉#
用 \(\cos(A+B)\) 展开并把载波提出来：
整个多径信道对窄带信号的作用，浓缩成一个复数 \(h = X + jY\)，称为复包络或衰落系数：
2.4.3 第一步：\(X,Y\) 是零均值高斯且独立#
对 \(X = \sum_{i} a_{i}\cos\phi_{i}\) 用中心极限定理，需要三条假设：
- 散射体众多（\(N\) 大）。
- 各径的 \(a_i,\phi_i\) 独立。
- \(\phi_{i}\) 在 \([0,2\pi)\) 上均匀分布。这是合理的：路径长度动辄几十米，是波长的几百上千倍，微小的几何差异就把相位搅匀了。
在这些假设下，均值与方差为：
为什么交叉项为零。 上面 \(\mathbb{E}[X^{2}]\) 那一步省掉了交叉项。把 \(X^{2}=\sum_{i}\sum_{k}a_{i}a_{k}\cos\phi_{i}\cos\phi_{k}\) 展开后，\(i\ne k\) 的项因各径独立而等于 \(\mathbb{E}[a_{i}\cos\phi_{i}]\,\mathbb{E}[a_{k}\cos\phi_{k}]=0\)，只剩 \(i=k\) 的平方项。
再用 \(\cos^{2}\phi=\frac{1+\cos2\phi}{2}\) 和 \(\mathbb{E}[\cos2\phi]=0\) 得 \(\mathbb{E}[\cos^{2}\phi]=\frac12\)。同理 \(\mathbb{E}[Y^{2}]=\sigma^{2}\)（\(\mathbb{E}[\sin^{2}\phi]\) 也等于 \(1/2\)）。互相关同样只剩 \(i=k\) 的项：
为什么不相关就能推出独立。 由 CLT，\(X,Y\) 各自趋于高斯。但"各自高斯且不相关"还推不出独立，需要的是联合高斯。对二维随机向量 \((a_{i}\cos\phi_{i},\,a_{i}\sin\phi_{i})\) 用多元中心极限定理，它们的和 \((X,Y)\) 趋于二维高斯。
这里协方差矩阵是对角的 \(\sigma^{2}\mathbf{I}\)，pdf 的指数里没有 \(xy\) 交叉项，于是分解成两个一维 pdf 的乘积，即 \(X,Y\) 独立。于是 \(h \sim \mathcal{CN}(0, 2\sigma^{2})\)。
记号 \(\mathcal{CN}(0,s^{2})\) 表示循环对称复高斯（circularly-symmetric complex Gaussian），它有三条性质：
- 实部、虚部独立，各为 \(\mathcal{N}(0,s^{2}/2)\)；
- \(\mathbb{E}[|h|^{2}]=s^{2}\)；
- 把 \(h\) 乘上任意 \(e^{j\alpha}\)，分布不变。
联合 pdf 为
2.4.4 第二步：极坐标变换得到包络分布#
令 \(x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta\)，\(r\ge0,\ \theta\in[0,2\pi)\)。变换的雅可比行列式是
为什么要乘这个 \(r\)。 变量代换前后，同一小块区域里的概率必须相等，即 \(f_{R,\Theta}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = f_{X,Y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\)。极坐标里 \(\mathrm{d}r\times\mathrm{d}\theta\) 的小块在平面上是一段扇环，面积 \(r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\)，离原点越远越大。雅可比行列式 \(r\) 就是这个面积放大倍数。因此
第三步：对 \(\theta\) 积分，求边缘分布。 被积函数与 \(\theta\) 无关，积分就是乘 \(2\pi\)：
这就是瑞利分布。顺带得到 \(f_{\Theta}(\theta)=1/(2\pi)\)：相位均匀分布，且与幅度独立。独立的依据是联合 pdf 恰好写成 \(f_{R,\Theta}(r,\theta)=f_{R}(r)\cdot\frac{1}{2\pi}\)，一个只含 \(r\) 的因子乘一个只含 \(\theta\) 的因子。
第四步：转成功率。 令 \(Z = R^{2}\)（瞬时功率），由 \(\mathrm{d}z = 2r\,\mathrm{d}r\)：
即瞬时功率服从指数分布，均值 \(\bar{P} = 2\sigma^{2}\)，CDF 为
物理意义
瑞利分布说的是"当没有任何一条径占主导时，几十个随机相量的和有多大"。
\(\mathbb{E}[R]=\sigma\sqrt{\pi/2}\approx1.253\sigma\)，\(\sqrt{\mathbb{E}[R^{2}]}=\sqrt2\,\sigma\)，但 \(f_{R}(0)=0\)。恰好为零的概率密度是零，可幅度落在零附近的概率却不小。这就是深衰落的来源：所有相量凑巧几乎抵消。
行为分析
指数分布的形状极其"重尾向下"。当 \(z \ll \bar{P}\) 时 \(F_{Z}(z)\approx z/\bar{P}\)，所以衰落深度每加深 10 dB，出现概率恰好降低 10 倍。
这条 \(10\times\) 规律是分集阶数概念的直接来源：一重瑞利支路的中断概率 \(\propto \mathrm{SNR}^{-1}\)，\(L\) 重独立分集后 \(\propto \mathrm{SNR}^{-L}\)，误码率曲线的斜率就是分集阶数（详见 第 3 章 与 第 5 章）。
算例：深衰落到底有多常见
瑞利信道，平均接收功率 \(\bar{P}\)。求瞬时功率低于均值 \(x\) dB 的概率：
| 衰落深度 | \(z/\bar{P}\) | \(\Pr = 1-e^{-z/\bar{P}}\) |
|---|---|---|
| \(-3\) dB | 0.501 | 39.4% |
| \(-10\) dB | 0.1 | 9.52% |
| \(-20\) dB | 0.01 | 0.995% |
| \(-30\) dB | 0.001 | 0.0999% |
以 3.5 GHz、60 km/h 为例，\(T_{c}\approx 2.2\) ms（2.5 节会算），一分钟内大约经历 \(60/0.0022 \approx 2.7\times10^{4}\) 个独立衰落"面孔"。其中约 \(0.995\%\) 会掉进 20 dB 深坑，即约 270 次。若每次深衰落持续几百微秒，那就是几十毫秒的累计中断。
所以要用交织 + 信道编码：把连续的错误打散到不同码字，让每个码字只错几个比特，纠错码就能救回来。
2.4.5 有视距时：莱斯分布与 \(K\) 因子#
如果存在一条主导径（视距，或一面强反射墙），它的相位是确定的，不该被扔进 CLT。此时
包络 \(R=|h|\) 服从莱斯分布：
其中 \(I_{0}(\cdot)\) 是零阶第一类修正贝塞尔函数，定义为 \(I_{0}(a)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{a\cos\theta}\,\mathrm{d}\theta\)。推导分三步。
第一步：确定均值与方差。 \((\mathrm{Re}\,h,\mathrm{Im}\,h)\) 仍是方差各为 \(\sigma^{2}\) 的独立高斯，只是均值移到了 \((\nu\cos\theta_{0},\nu\sin\theta_{0})\)。
第二步：化到极坐标。 把 \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\) 代入联合 pdf 的指数 \(-[(x-\nu\cos\theta_{0})^{2}+(y-\nu\sin\theta_{0})^{2}]/(2\sigma^{2})\) 并展开，得
第三步：对 \(\theta\) 积分。 照瑞利那样乘 \(r\)、对 \(\theta\) 积分，与 \(\theta\) 无关的部分提出去，剩下
被积函数以 \(2\pi\) 为周期，平移 \(\theta_{0}\) 不改变积分。再乘上前面的 \(\frac{r}{2\pi\sigma^{2}}\)，就得到上式。
定义莱斯 \(K\) 因子为确定分量功率与散射分量功率之比：
总平均功率 \(\bar{P} = \nu^{2}+2\sigma^{2}\)，于是可以写成归一化形式：
物理意义
\(K\) 是"信道有多确定"的一把尺子。\(K\) 大意味着能量集中在一条可预测的径上，信道近乎确定；\(K\) 小意味着能量弥散在大量随机散射里。
行为分析
两个极限都很有教益：
- \(K\to0\)：确定分量消失，\(I_{0}(0)=1\)，莱斯退化为瑞利。
- \(K\to\infty\)：散射分量可忽略，包络集中在 \(\nu\) 附近，信道变成无衰落的 AWGN 信道。
中间地带的中断概率对 \(K\) 极其敏感。\(K\) 从 0 dB 升到 10 dB，同样的深衰落概率会下降两到三个数量级：低于均值 10 dB 的概率从 7.3% 降到 0.074%，低于 20 dB 的从 0.74% 降到约 \(8\times10^{-6}\)。
典型值如下：
- 城区 NLOS：\(K\to 0\)（纯瑞利）；
- 城区 LOS 微蜂窝：\(K\approx 4\sim9\) dB；
- 室内视距：\(K\approx 3\sim10\) dB；
- 毫米波定向波束对准后：可达 \(10\sim15\) dB；
- 卫星链路：更高。
怎么读这张图：三条曲线的平均功率都归一到 1。第一条 \(K=0\) 是瑞利，峰在 \(r\approx0.71\)，而且 \(r\) 接近 0 处仍有可观的概率，深衰落就来自这里；第二条 \(K=1\)（0 dB）峰右移、变窄；第三条 \(K=10\)（10 dB）已是以 \(\nu\approx0.95\) 为中心的窄峰，接近无衰落的 AWGN。\(K\) 越大，\(r\) 贴近 0 的概率越小，这就是"中断概率对 \(K\) 极其敏感"的图像。曲线按上面的莱斯密度计算，\(K=0\) 时即瑞利。
补一句 Nakagami-\(m\)
实测包络常常既不是瑞利也不是莱斯，于是有了带一个形状参数 \(m\) 的 Nakagami-\(m\) 分布。最方便的看法是看功率：Nakagami-\(m\) 下 \(Z=R^{2}\) 服从均值 \(\bar{P}\)、形状参数 \(m\) 的 Gamma 分布，方差 \(\bar{P}^{2}/m\)，密度为
几个特例如下：
- \(m=1\) 时它就是上面的指数分布，即退化为瑞利；
- \(m\to\infty\) 时趋于无衰落；
- \(m = (K+1)^{2}/(2K+1)\) 时可近似莱斯。
它的价值是数学上更好积分（容量、中断概率常有闭式解），代价是物理成因不如前两者清晰。这个"为了可解性牺牲物理性"的取舍，就是 随机性的谎言 一章要审视的对象。
2.5 多普勒：信道为什么会随时间变#
2.5.1 频移的推导#
设终端以速度 \(v\) 运动，某条入射波的到达方向与运动方向夹角为 \(\theta\)。在时间 \(\Delta t\) 内，终端沿运动方向走了 \(v\Delta t\)，该径的传播路程缩短了 \(\Delta d = v\Delta t\cos\theta\)。路程变化带来相位变化：
频率就是相位的变化率除以 \(2\pi\)：
最大值（迎着波走）为最大多普勒频率：
物理意义
多普勒来自你在空间衰落图案里穿行，信道自己并没有变。2.4 节说过，空间上每半个波长就有一次明暗交替。你以速度 \(v\) 穿过它，每秒钟就会穿过 \(v/(\lambda/2)\) 个明暗周期，量级正是 \(2f_{m}\)。
这个"空间起伏被运动翻译成时间起伏"的观点，是理解相干时间的钥匙，也是 空间结构 一章的出发点。
行为分析
\(f_{m}\) 与载频、速度都成正比。
- 3.5 GHz（\(\lambda = 8.57\) cm）下，步行 1 m/s 是 11.7 Hz，60 km/h 是 194 Hz，高铁 350 km/h 是 1134 Hz。
- 频段升到 28 GHz，同样速度下 \(f_{m}\) 乘以 8。这就是毫米波高铁场景 CSI 几乎"一测就过期"的物理根源。
2.5.2 Jakes 谱：从散射角分布推出浴缸曲线#
多普勒频移不是一个数，而是一片：每条径有自己的 \(\theta\)，就有自己的 \(f_{d}\)。假设二维各向同性散射（波从水平各方向均匀到来，\(\theta\sim\mathcal{U}[0,2\pi)\)）且天线全向，我们来推它的功率谱。
第一步：说清功率谱为什么能用概率密度来求。 方向落在 \([\theta,\theta+\mathrm{d}\theta]\) 里的那份功率是 \(\bar{P}\,p_{\Theta}(\theta)\,\mathrm{d}\theta\)，它全部出现在频率 \(f_{m}\cos\theta\) 上。
所以频率落在 \([f,f+\mathrm{d}f]\) 里的功率 \(S(f)\,\mathrm{d}f\)，就是 \(\bar{P}\) 乘以"随机频率 \(F=f_{m}\cos\Theta\) 落进这个小区间的概率"，即 \(S(f)=\bar{P}\,p_{F}(f)\)。
第二步：套用随机变量变换公式。 变换公式是
其中 \(\theta_{k}\) 取遍方程 \(f_{m}\cos\theta=f\) 的所有解。对给定的 \(f\in(-f_{m},f_{m})\) 有两个解 \(\theta = \pm\arccos(f/f_{m})\)，两处的 \(|\mathrm{d}f/\mathrm{d}\theta|\) 相同：
第三步：代入，得到谱。
这就是 Jakes（Clarke）多普勒谱，形如浴缸/马鞍：中间平坦，两端 \(\pm f_{m}\) 处发散。这个发散是可积的软奇点：
总功率有限，而且恰好守恒。
物理意义
为什么两端最强？因为 \(\cos\theta\) 在 \(\theta=0,\pi\) 附近变化最慢：正对着来和正背着来的一大片角度，都映射到几乎相同的频率上，能量在那里堆积。
而 \(\theta=\pm\pi/2\)（侧向来波）附近 \(\cos\theta\) 变化最快，能量被摊薄到很宽的频率上，所以中间平。
怎么读这张图：纵轴把 \(S(f)\) 乘以 \(\pi f_m/\bar P\)，谱在中间 \(f=0\) 处恰好等于 1，往两端单调上升，到 \(\pm0.95f_m\) 已是 3.2，在 \(\pm f_m\) 处发散（图只画到 \(\pm0.95f_m\)）。发散可积，总功率仍是 \(\bar P\)。两端最高，对应上面的物理解释：正对与正背着来的一大片角度都挤到了 \(\pm f_m\) 附近。按上面的公式计算。
行为分析
Jakes 谱的时域对应（自相关函数）可以直接算。
第一步：写出相关函数。 方向在 \(\theta\) 附近的来波带着功率 \(\bar{P}\,p_{\Theta}(\theta)\,\mathrm{d}\theta\)，以 \(e^{j2\pi f_{m}\cos\theta\,t}\) 旋转，各方向互不相关，所以
第二步：认出贝塞尔函数。 记 \(x=2\pi f_{m}\Delta t\)，积分 \(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{jx\cos\theta}\mathrm{d}\theta\) 正是零阶贝塞尔函数的积分表示 \(J_{0}(x)\)。等价地，这就是对上面的 \(S(f)\) 做逆傅里叶变换。结果是
\(J_{0}\) 是零阶贝塞尔函数，第一个零点在宗量 \(2.405\) 处，即 \(\Delta t = 0.383/f_{m}\)。这告诉我们信道的"记忆长度"大约就是 \(1/f_{m}\) 的量级。
各向同性只是一个方便的理想化。真实场景里散射并不均匀，尤其毫米波定向波束下，能量集中在少数方向，谱会退化成几根尖峰，而不是浴缸。这个偏差是 第一部 追问的重点之一。
2.5.3 相干时间#
相干时间 \(T_{c}\) 定义为信道自相关降到某个门限（常取 0.5）所需的时间间隔。这个数取决于"谁的相关降到 0.5"。
- 看信道系数 \(h\) 的相关：用 \(J_{0}\) 的解，\(J_{0}(x)=0.5\) 在 \(x\approx1.52\)，得 \(T_{c}\approx 0.242/f_{m}\)。
- 看功率 \(|h|^{2}\) 的相关：要求相关系数降到 0.5。瑞利衰落下它恰好等于 \(J_{0}^{2}\)，由 \(J_{0}^{2}(x)=0.5\) 得 \(x\approx1.126\)，\(T_{c}\approx0.179/f_{m}\)。
Rappaport 教材给的 \(T_{c}\approx9/(16\pi f_{m})\approx0.179/f_{m}\) 与后一个数在数值上吻合（0.1790 对 0.1793）。不过教材原话只说"时间相关函数高于 0.5 的时长"，没有交代是哪个量的相关。把它读成功率相关 \(J_{0}^{2}=0.5\) 的解，是本站的理解。
这个定义偏严，粗略的 \(1/f_{m}\) 又偏松。工程上取两者的几何平均 \(\sqrt{0.179}/f_{m}\) 作为折中，即
同时定义多普勒扩展 \(B_{D}\) 为谱的宽度（Jakes 下 \(B_{D} = 2f_{m}\)）。二者的对偶关系是
算例：从步行到高铁的相干时间
统一取 \(f_{c}=3.5\) GHz（\(\lambda = 8.57\) cm），\(T_{c}=0.423/f_{m}\)：
| 场景 | \(v\) | \(f_{m}\) | \(T_{c}\) | 一个 0.5 ms slot 内信道变了多少 |
|---|---|---|---|---|
| 静止/微动 | 0.1 m/s | 1.2 Hz | 360 ms | 完全不变 |
| 步行 | 1.4 m/s | 16 Hz | 26 ms | 基本不变 |
| 市区车速 60 km/h | 16.7 m/s | 195 Hz | 2.2 ms | 略变，可容忍 |
| 高速 120 km/h | 33.3 m/s | 389 Hz | 1.09 ms | 半个 slot 就明显变 |
| 高铁 350 km/h | 97.2 m/s | 1134 Hz | 0.37 ms | 一个 slot 内换了一副面孔 |
系统含义：5G NR 在 30 kHz 子载波间隔下一个 slot 是 0.5 ms，从测到 CSI 到用上它至少要 \(4\sim8\) 个 slot（\(2\sim4\) ms）。对比表格：市区车速下 CSI 已经"半过期"，高铁下则完全失效。
这就是信道老化（channel aging）问题，也是第一部讨论信道可预测性的动因：如果信道不是纯随机而有结构，"过期"的 CSI 就还有救。
卫星是个特例：偏移不是扩展
LEO 卫星相对地面的速度约 7.5 km/s，在 S 频段（2 GHz）产生的多普勒可达数十 kHz 量级，比高铁大一两个数量级。但它主要是一个确定性的频率偏移（卫星轨道已知、可精确预报），不是随机扩展，因此可以在收发两端做预补偿。
这提醒我们：\(f_{m}\) 大不等于信道难，关键在于它可不可预测。
两种慢：比信号慢，还是比信道慢
系统里每个可调的东西都有一个"调一次要多久"：超表面单元的相位、可移动天线的位置、波束方向、资源分配。它算快还是算慢，要看拿什么比。手边有两把尺子。
- 第一把是信号本身的节奏：30 kHz 子载波间隔下，一个 OFDM 符号含循环前缀约 36 μs，100 MHz 带宽对应的采样间隔约 10 ns。
- 第二把是信道变化的节奏，也就是上面算的相干时间：3.5 GHz 下步行约 26 ms，车速 60 km/h 约 2.2 ms。
两把尺子之间隔着两到三个数量级，26 ms 是 36 μs 的七百多倍。
一个调一次要几十微秒到几毫秒的器件，拿第一把尺子量是慢的，拿第二把量却是快的。它没法跟着符号一个一个地携带信息，却完全来得及在信道变化之前把信道改造好，然后在一个相干时间里保持不动。
智能超表面（第 9 章 9.3 节）就落在这个区间。单元本身可以用二极管快速切换，可整面表面要由控制器算出成百上千个相位、再经控制链路下发，一次重配置远慢于一个符号（具体快慢因实现而异）。何况在一个 OFDM 符号中间改变信道，会破坏子载波之间的正交性。
所以在蜂窝系统里，它的本分是改造信道，不是直接调制数据。也有研究让超表面直接调制信号、当发射机用，那是另一条技术路线。
可移动天线更慢。机械移动若想追上步行速度下的小尺度衰落，得在约 26 ms 里挪过半个波长（3.5 GHz 下 4.3 cm），滑台速度要 1.65 m/s 以上。所以它更适合跟踪比相干时间还慢的量，比如用户分布和大尺度遮挡（第 10 章 10.1 节）。
设计一个新旋钮之前，不妨先把它的速度放到这两把尺子上比一比：
- 它要控制的量能在多长时间里保持有效；
- 它能不能在这段时间里调完；
- 调它所需的信息能不能及时拿到。
这就是八条线索里时间尺度那一条。
2.6 四个特征量与两对傅里叶对偶#
到这里我们已经见到了信道随机性的两个"轴"：频率轴上的选择性（不同频率经历不同衰落）与时间轴上的选择性（不同时刻经历不同衰落）。每个轴上都有一对互为倒数的量。
2.6.1 时延扩展：多径在时间上铺多宽#
由于各径行程不同，同一个脉冲到达接收端会被"拖尾"成一段。功率时延谱（PDP）\(P(\tau)\) 描述能量在时延上的分布。定义平均时延与均方根时延扩展：
物理意义
\(\sigma_{\tau}\) 是 PDP 的标准差，衡量多径"拖尾"有多长。它可以直接换算成几何：\(\sigma_{\tau}=1\ \mu\)s 对应 300 m 的路程差。在城区，一条绕过两个街区的反射径比直射径多走 300 m 完全正常。
2.6.2 相干带宽：推出它与时延扩展互为倒数#
相干带宽 \(B_{c}\) 是"两个频率上的衰落还算相似"的最大间隔。它与 \(\sigma_{\tau}\) 的关系是一个傅里叶对：频域相关函数就是 PDP 的傅里叶变换。理由只需两步。
第一步：写出两个频率的相关。 把信道写成离散多径 \(H(f)=\sum_{l}c_{l}e^{-j2\pi f\tau_{l}}\)（\(c_{l}\) 是第 \(l\) 径的复增益），两个频率的相关为
第二步：用"非相关散射"化简。 假设不同时延的径互不相关（2.8 节 WSSUS 里的"非相关散射"），\(l\ne k\) 的项全为零，剩下 \(\sum_{l}\mathbb{E}[|c_{l}|^{2}]\,e^{-j2\pi\Delta f\tau_{l}}\)。\(f\) 消掉了，只依赖间隔 \(\Delta f\)，而 \(\mathbb{E}[|c_{l}|^{2}]\) 按时延排开就是 PDP。把求和换成积分就是：
取工程上最常用的指数型 PDP（归一化）\(P(\tau) = \frac{1}{\sigma_{\tau}}e^{-\tau/\sigma_{\tau}}\)，它的均值与标准差都等于 \(\sigma_{\tau}\)。代入积分：
取模：
令相关系数等于 \(0.5\)：
这与流传最广的工程经验式
在同一量级。经验式更保守一点，因为真实 PDP 常比纯指数更"胖"。若要求相关度 \(0.9\) 以上，经验式通常取 \(B_{c}\approx 1/(50\sigma_{\tau})\)。
物理意义
这条推导揭示的是测不准原理式的结构：时延域铺得越宽，频域相关得越窄，二者的乘积被常数卡住：\(B_{c}\sigma_{\tau}\approx\text{const}\)。这在无线之外同样成立，它就是傅里叶变换的时宽-带宽积在信道里的化身。
行为分析
这条式子直接决定了 OFDM 的设计，有两个条件：
- 子载波带宽 \(\Delta f_{\text{SC}}\) 必须远小于 \(B_{c}\)，每个子载波上的信道才近似为一个复标量（平坦衰落）。
- 循环前缀长度 \(T_{\text{CP}}\) 必须大于多径最大时延（约 \(3\sim5\) 倍 \(\sigma_{\tau}\)），否则符号间干扰逃不掉。
两个条件夹出了子载波间隔的可行区间。
2.6.3 多普勒扩展 ↔ 相干时间#
这是完全对偶的一对：多普勒谱 \(S(f)\) 的宽度 \(B_{D}\) 与时域相关函数 \(R_{h}(\Delta t)\) 也是傅里叶对，因此
用 Jakes 谱验一下：\(B_{D}=2f_{m}\)，代入 \(T_{c}=0.423/f_{m}\) 得 \(T_{c}B_{D}=0.85\)；按相关降到 0.5 的 \(T_{c}=0.242/f_{m}\) 则是 \(0.48\)。常数随定义而变，但都是 1 的量级。
把四个量放在一张图里，两对傅里叶关系就一目了然：
flowchart LR
PDP["功率时延谱 $$P(\tau)$$<br/>宽度 = 时延扩展 $$\sigma_\tau$$"] <-- "傅里叶变换" --> RF["频率相关 $$R_H(\Delta f)$$<br/>宽度 = 相干带宽 $$B_c$$"]
DS["多普勒谱 $$S(\nu)$$<br/>宽度 = 多普勒扩展 $$B_D$$"] <-- "傅里叶变换" --> RT["时间相关 $$R_h(\Delta t)$$<br/>宽度 = 相干时间 $$T_c$$"]
PDP --- NOTE1["频率选择性来自这里"]
DS --- NOTE2["时间选择性来自这里"]| 域 | "扩展"量（谱宽） | "相干"量（相关宽度） | 关系 | 造成的选择性 |
|---|---|---|---|---|
| 时延 ↔ 频率 | 时延扩展 \(\sigma_{\tau}\) | 相干带宽 \(B_{c}\) | \(B_{c}\approx 1/(5\sigma_{\tau})\) | 频率选择性（ISI） |
| 多普勒 ↔ 时间 | 多普勒扩展 \(B_{D}=2f_{m}\) | 相干时间 \(T_{c}\) | \(T_{c}\approx 0.423/f_{m}\) | 时间选择性（CSI 老化） |
2.6.4 典型场景数值速查表#
| 场景 | 载频 | \(\sigma_{\tau}\) | \(B_{c}\approx 1/(5\sigma_\tau)\) | 典型速度 | \(f_{m}\) | \(T_{c}\) | 主导衰落类型 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 室内办公/家庭 | 5 GHz | 20～50 ns | 4～10 MHz | 1 m/s | 17 Hz | 25 ms | 莱斯（\(K\approx5\) dB） |
| 室内大厅/工厂 | 3.5 GHz | 50～150 ns | 1.3～4 MHz | 1 m/s | 12 Hz | 36 ms | 瑞利～莱斯 |
| 城区微蜂窝 | 3.5 GHz | 0.2～0.8 μs | 250 kHz～1 MHz | 30 km/h | 97 Hz | 4.4 ms | 瑞利（NLOS） |
| 城区宏蜂窝 | 2 GHz | 0.5～3 μs | 67～400 kHz | 60 km/h | 111 Hz | 3.8 ms | 瑞利 |
| 郊区/农村宏站 | 900 MHz | 0.2～1 μs | 200 kHz～1 MHz | 100 km/h | 83 Hz | 5.1 ms | 瑞利～莱斯 |
| 高铁（专网） | 3.5 GHz | 0.1～0.4 μs | 0.5～2 MHz | 350 km/h | 1134 Hz | 0.37 ms | 莱斯（强 LOS） |
| 毫米波街区 | 28 GHz | 20～100 ns | 2～10 MHz | 3 km/h | 78 Hz | 5.4 ms | 莱斯（波束对准后） |
| LEO 卫星 | 2 GHz | < 50 ns | > 4 MHz | 7.5 km/s（相对） | 约 50 kHz（可预补偿） | — | 莱斯/AWGN |
读表要点
\(\sigma_{\tau}\) 和 \(f_{m}\) 是两个独立的坐标：
- 高铁的时延扩展很小（视距为主），但多普勒极大；
- 城区宏站的时延扩展大，多普勒中等；
- 室内两者都小。
四象限分类就是把这两个坐标交叉起来看。
2.7 四象限分类：判据与系统含义#
2.7.1 两个独立的比较#
现在把两条轴合起来。给定一个信号（符号周期 \(T_{s}\)、带宽 \(B_{s}\approx1/T_{s}\)）和一个信道（\(\sigma_{\tau}, T_{c}\)），有两个独立的比较。
第一个比较（频率轴）：信号带宽 vs 相干带宽
第二个比较（时间轴）：符号周期 vs 相干时间
flowchart TB
S["给定信号 $$T_s$$ / $$B_s$$<br/>与信道 $$\sigma_\tau$$ / $$T_c$$"] --> Q1{"$$T_s$$ 与 $$\sigma_\tau$$ 比较"}
Q1 -- "$$T_s \gg \sigma_\tau$$<br/>（$$B_s \ll B_c$$）" --> F["平坦衰落<br/>信道 = 一个复标量"]
Q1 -- "$$T_s \le \sigma_\tau$$<br/>（$$B_s \ge B_c$$）" --> SEL["频率选择性<br/>出现 ISI，需均衡/OFDM"]
F --> Q2{"$$T_s$$ 与 $$T_c$$ 比较"}
SEL --> Q3{"$$T_s$$ 与 $$T_c$$ 比较"}
Q2 -- "$$T_s \ll T_c$$" --> A["象限 I：平坦 + 慢<br/>最友好<br/>估一次用很久"]
Q2 -- "$$T_s \ge T_c$$" --> B["象限 II：平坦 + 快<br/>无 ISI<br/>但 CSI 追不上"]
Q3 -- "$$T_s \ll T_c$$" --> C["象限 III：频选 + 慢<br/>宽带主流<br/>OFDM + 均衡"]
Q3 -- "$$T_s \ge T_c$$" --> D["象限 IV：频选 + 快<br/>最难<br/>高铁毫米波宽带"]2.7.2 四个象限的难点与对策#
| 象限 | 条件 | 典型场景 | 主要难点 | 主流对策 |
|---|---|---|---|---|
| I 平坦 + 慢 | \(B_{s}\ll B_{c}\)，\(T_{s}\ll T_{c}\) | 窄带物联网（NB-IoT）静止终端、室内低速 | 深衰落时长时间卡死 | 分集、重传、跳频 |
| II 平坦 + 快 | \(B_{s}\ll B_{c}\)，\(T_{s}\gtrsim T_{c}\) | 极低速率 + 高速运动（车载遥测、部分卫星） | 载波恢复困难、CSI 无从估计 | 差分/非相干调制、增大符号率 |
| III 频选 + 慢 | \(B_{s}\gtrsim B_{c}\)，\(T_{s}\ll T_{c}\) | 绝大多数 4G/5G/Wi-Fi 场景 | ISI | OFDM、均衡、Rake 接收 |
| IV 频选 + 快 | \(B_{s}\gtrsim B_{c}\)，\(T_{s}\gtrsim T_{c}\) | 高铁宽带、高动态毫米波、无人机 | ISI + ICI 双重打击 | 大子载波间隔、快速 CSI 追踪、OTFS 类时延-多普勒域方案 |
表中几个缩写的含义如下：
- ICI（子载波间干扰）：多普勒扩展把每个子载波的频谱抹宽约 \(\pm f_{m}\)，漏进相邻子载波，破坏 OFDM 的正交性（OFDM 正交性见 第 3 章 3.7 节）。
- Rake 接收机：单载波/CDMA 系统的多径合并器，给每条可分辨径分配一个"指"（finger），对齐时延后按 MRC 合并。
- OTFS（正交时频空间调制）：把数据符号直接放在 2.8 节的时延-多普勒平面上调制。
关键洞察
象限 IV 是唯一"没有便宜解法"的格子，因为两个对策互相打架：缓解 ISI 想要长符号（小子载波间隔），缓解多普勒想要短符号（大子载波间隔）。
5G NR 用可变 numerology（子载波间隔 \(15\times2^{\mu}\) kHz，符号长度随之按 \(2^{-\mu}\) 缩短，见第 3 章 3.7 节算例），承认了这个矛盾：让运营商按场景在 15/30/60/120 kHz 子载波间隔里选。
注意这是相对判据
同一条物理信道，对窄带信号是平坦的，对宽带信号就是频选的；对低速终端是慢衰落，对高速终端就是快衰落。
所以"这个信道是频率选择性的吗"是个不完整的问题，必须问"对哪个信号而言"。
2.7.3 算例与块衰落#
算例：LTE 与 5G NR 场景落在哪个象限
场景 A：LTE，2 GHz，20 MHz 带宽，城区宏站，终端车速 60 km/h。
信道侧：\(\sigma_{\tau} = 1\ \mu\)s \(\Rightarrow B_{c}\approx 1/(5\times10^{-6}) = 200\) kHz。\(\lambda=0.15\) m，\(f_{m}=16.7/0.15=111\) Hz \(\Rightarrow T_{c}=0.423/111=3.8\) ms。
- 信号侧（整体看）：\(B_{s}=20\) MHz \(\gg B_{c}=200\) kHz \(\Rightarrow\) 强频率选择性（信道在带内起伏约 \(20/0.2=100\) 个"相干块"）。
- 信号侧（单子载波看）：\(\Delta f_{\text{SC}}=15\) kHz \(\ll 200\) kHz \(\Rightarrow\) 每个子载波是平坦的。这就是 OFDM 的全部魔法：把一个频选信道切成 1200 个平坦子信道。
- 时间侧：OFDM 符号 \(T_{s}=66.7\ \mu\)s（不含 CP）\(\ll T_{c}=3.8\) ms \(\Rightarrow\) 慢衰落（一个 1 ms 子帧内信道近似不变）。
判定：象限 III（频选 + 慢），教科书式的 OFDM 主场。
顺带检查 CP：LTE 普通 CP 为 \(4.69\ \mu\)s，覆盖 \(4.69\ \mu\text{s}\times 3\times10^{8} = 1.4\) km 的路程差，对 \(\sigma_{\tau}=1\ \mu\)s 的城区足够（约 \(4.7\sigma_{\tau}\)）。
场景 B：5G NR，3.5 GHz，100 MHz，30 kHz 子载波间隔，高铁 350 km/h。
信道侧：\(\sigma_{\tau}=0.3\ \mu\)s \(\Rightarrow B_{c}\approx 667\) kHz。\(\lambda = 8.57\) cm，\(f_{m}=97.2/0.0857 = 1134\) Hz \(\Rightarrow T_{c}=0.373\) ms。
- 信号侧：\(\Delta f_{\text{SC}}=30\) kHz \(\ll 667\) kHz \(\Rightarrow\) 子载波仍平坦（整带 100 MHz 当然是强频选）。
- 时间侧：OFDM 符号 \(T_{s}\approx 33.3\ \mu\)s \(\ll T_{c}=373\ \mu\)s，单符号内尚可视为不变。但一个 slot（14 符号，0.5 ms）已经超过 \(T_{c}\)，而从 CSI 参考信号到实际调度通常隔 \(4\) 个 slot（2 ms）\(\approx 5.4\,T_{c}\)，CSI 完全过期。
判定：单符号看是象限 III，但从"调度环路"的时间尺度看已滑入象限 IV。
量化一下 ICI：归一化多普勒 \(f_{m}/\Delta f_{\text{SC}} = 1134/30000 = 0.0378\)，由此产生的子载波间干扰功率可按经典近似 \(\tfrac{1}{3}\left(\pi f_{m}/\Delta f_{\text{SC}}\right)^{2}\) 估算，得 \(\tfrac{1}{3}(0.1188)^{2} = 0.0047\)，即 \(-23.3\) dB。这直接给 SINR 压了一个约 23 dB 的天花板，64QAM 以上的高阶调制会明显吃力。
若换成 15 kHz 子载波间隔，归一化多普勒翻倍、ICI 功率变四倍，恶化 6 dB 到 \(-17.3\) dB，更不可用。这是高速场景必须用大子载波间隔的定量理由。
块衰落：估一次，信一块，下一块再估
把相干时间和相干带宽乘起来，\(\tau_c=T_cB_c\) 就是一个"相干块"里装得下的时频格子数：在这么多个格子上，信道近似是同一个复数。场景 A 里 \(T_c=3.8\) ms、\(B_c=200\) kHz，\(\tau_c\approx760\)；场景 B 里 \(T_c=0.373\) ms、\(B_c=667\) kHz，\(\tau_c\approx250\)。
理论分析常用的块衰落（block fading）模型把这件事理想化：信道在一个块内不变，块与块之间独立地换一个值。一个码字只跨一个或很少几个块时，又叫准静态（quasi-static）衰落。
实际系统按同一个节奏工作：在块里放导频，估出信道，在这个块里信任这个估计，拿它去检测和调度，到下一个块重新估。导频要占掉的比例大致是"要估的未知量个数除以 \(\tau_c\)"。这是第 5 章算例 5-9"一个相干块能装几个用户"的出发点，也是第一部第 1 章算导频账单的方法。
这个节奏背后有一条容易被忽略的因果准则：系统在运行时做的任何判断，只能用当时观测得到的量来算。"信道已经变了，该重估了"这句话本身就要求知道真实信道，系统手里却只有导频测量和译码结果。所以实际的触发条件都是可观测量：定时重估、译码失败（HARQ 的否定应答）、测得的参考信号功率越过门限。
理论上用真实信道算出的最优更新时刻是设计期的标尺，可以用来评价方案，却不能直接拿来当运行时的触发器。讲信道知识地图怎样更新时（第 11 章 11.5 节），还会再遇到这条准则。
2.8 信道的统一表示：\(h(t,\tau)\) 与 \(H(t,f)\)#
2.8.1 时变冲激响应#
前面所有内容都可以收进一个对象：时变冲激响应 \(h(t,\tau)\)，含义是"在 \(t\) 时刻观测，一个 \(\tau\) 秒前发出的冲激现在贡献多少"。输出是卷积：
两个变量各司其职：
- \(\tau\) 是时延变量，管多径结构，频率选择性从这里来。
- \(t\) 是绝对时间变量，管信道演化，时间选择性从这里来。
若信道不随时间变，\(h(t,\tau)=h(\tau)\)，退化为经典 LTI 卷积。
在多径解析的场景下写成抽头延迟线（tapped delay line）形式：
每一"抽头"对应一簇几乎同时到达的多径。3GPP 的信道模型（如 TDL-A/B/C、CDL 系列）给的就是这张表：每条抽头的相对时延、相对功率，以及（CDL 里还有）到达/离开角。
物理意义
抽头延迟线是"物理几何"与"数字信号处理"的接口：
- \(\tau_{l}\) 来自几何（路程差 / 光速）；
- \(\alpha_{l}\) 来自反射系数与扩散；
- \(\theta_{l}(t)\) 随运动线性变化，这就是多普勒。
把它离散化到采样率 \(1/T_{s}\) 上，就得到接收机里真正在跑的 FIR 滤波器系数。
行为分析
抽头数 \(L \approx \lceil \tau_{\max}/T_{s}\rceil\)。这里的 \(T_{s}\) 是采样间隔，约为 \(1/B\)。2.7 节 LTE 算例里的 \(T_{s}=66.7\ \mu\)s 是整个 OFDM 符号的长度，是 20 MHz 下采样间隔（50 ns）的一千三百多倍，两者不要混。
带宽越大，采样越密，同样的物理多径会被分辨成更多抽头：
- 20 MHz 带宽的时延分辨率是 50 ns（15 m）；
- 100 MHz 是 10 ns（3 m）；
- 毫米波 400 MHz 是 2.5 ns（0.75 m）。
这是分辨率随带宽提升的直接体现。带宽越大，"看到"的多径结构越精细，信道从"一团随机数"变得越来越像"一张几何图"。这个转变是 确定性复兴 与 ISAC 的物理前提。
2.8.2 时变传递函数与四个 Bello 函数#
对时延变量 \(\tau\) 做傅里叶变换，得到时变传递函数：
物理意义
\(H(t,f)\) 就是"此刻这个频率上的复增益"。OFDM 接收机对第 \(k\) 个子载波做的均衡，就是除以 \(H(t, f_{k})\) 这一个复数。
求和式里的 \(e^{-j2\pi f\tau_{l}}\) 说明：不同抽头在频率轴上以不同"节拍"旋转，它们的干涉造就了传递函数的起伏。频域的凹坑就是多径在频率上的拍频，凹坑的平均间隔就是 \(B_{c}\)。
再对 \(t\) 做傅里叶变换（变量 \(\nu\) 为多普勒），得到时延-多普勒扩展函数 \(S_{h}(\tau,\nu)\)。四个函数由两次傅里叶变换连成一个环：
flowchart LR
A["$$h(t,\tau)$$<br/>时变冲激响应"] -- "$$\tau \to f$$" --> B["$$H(t,f)$$<br/>时变传递函数"]
A -- "$$t \to \nu$$" --> C["$$S(\nu,\tau)$$<br/>时延-多普勒域"]
B -- "$$t \to \nu$$" --> D["$$V(\nu,f)$$<br/>多普勒-频率域"]
C -- "$$\tau \to f$$" --> D四个函数描述同一个信道，区别只在两根轴各自选时域还是频域（Bello 1963）。\(h(t,\tau)\) 与 \(H(t,f)\) 上面已经讲过，另外两个是：
- \(S_{h}(\tau,\nu)\)，时延-多普勒扩展函数：输出是输入"先延迟 \(\tau\)、再频移 \(\nu\)"的各副本的加权和，\(y(t)=\iint S_{h}(\tau,\nu)\,x(t-\tau)\,e^{j2\pi\nu t}\,\mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}\nu\)。一条径就是平面上的一个点。
- \(V(\nu,f)\)，多普勒扩展函数：输入中频率 \(f\) 的分量被搬到 \(f+\nu\) 的权重。
记号提醒：图中的 \(S(\nu,\tau)\) 就是 \(S_{h}(\tau,\nu)\)，是信道的一次随机实现；下面的散射函数 \(S(\tau,\nu)\) 不带下标，是它的平均功率。多普勒变量本节写 \(\nu\)，2.5 节写 \(f\)。
在 WSSUS（广义平稳非相关散射）假设下，上述函数的二阶统计浓缩成一个散射函数 \(S(\tau,\nu)\)。这个假设有两层含义：
- 广义平稳：信道的二阶统计在时间上平稳，相关函数 \(\mathbb{E}[h(t+\Delta t,\tau)h^{*}(t,\tau)]\) 只依赖间隔 \(\Delta t\)，不依赖起点 \(t\)。
- 非相关散射：不同时延的散射分量互不相关。
散射函数的两个边缘分布恰好是我们熟悉的老朋友：
行为分析
WSSUS 是一个极其方便但并不总成立的假设。
- "广义平稳"要求统计量不随时间变，可终端一转过街角，整个散射环境就换了。平稳性只在几十个波长的窗口内近似成立。
- "非相关散射"要求不同时延的分量互不相关，可同一栋楼的墙面会同时贡献相邻的几个时延，它们显然相关。
近年 mmWave/太赫兹与超大孔径阵列的测量反复顶到这两条假设的边界，这是第一部要系统清算的账。
关键结论：一句话串起全章
无线信道 \(=\) 距离决定的中值（路损）\(\times\) 遮挡决定的慢起伏（对数正态阴影）\(\times\) 多径干涉决定的快起伏（瑞利/莱斯）。
快起伏在频率上的相关宽度是 \(B_{c}\approx1/(5\sigma_{\tau})\)，在时间上的相关宽度是 \(T_{c}\approx0.423/f_{m}\)。把信号的 \(B_{s},T_{s}\) 与这两个数一比，就落进四象限中的一格。这一格决定了你该用均衡还是 OFDM，该用相干还是差分，该多久反馈一次 CSI。
常见误解#
初学者常踩的坑
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"路径损耗里的 \(20\log_{10}f\) 说明高频信号在空气中衰减更快。" 自由空间不吸收任何能量，频率项完全来自"接收天线增益固定 \(\Longrightarrow\) 有效面积 \(\propto\lambda^{2}\) 缩水"。若保持接收口径面积不变（大规模阵列就是这么干的），高频反而收得更多。真正让毫米波难做的是穿透损耗、绕射能力弱和降雨吸收，与 Friis 里的那一项无关。
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"瑞利衰落 = 信号很弱。" 瑞利描述的是围绕平均值的波动形状，和平均值本身无关。一个瑞利信道的平均功率可以很高。瑞利真正的坏消息是它的下尾：功率低于均值 \(x\) dB 的概率约为 \(10^{-x/10}\)，中断由这条尾巴决定，而不由均值决定。这也是"平均 SNR 高但用户投诉多"的数学解释。
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"信道是平坦的还是频选的，是信道自己的属性。" 平坦还是频选，取决于信道与信号的相对关系。同一条 \(B_{c}=200\) kHz 的信道，对 15 kHz 的 OFDM 子载波是平坦的，对 20 MHz 的单载波信号是强频选的。同理"快衰落/慢衰落"取决于你的符号周期。凡是判据里出现比较符号，就必须问清两边分别是谁。
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"阴影衰落是随机的，所以逐点独立、可以当噪声处理。" 阴影有明确的空间相关结构（去相关距离几十米），且与地形地物强相关：同一栋楼后面的所有位置一起变暗。把它当白噪声会低估切换乒乓、高估宏分集收益。它的可预测性正是信道制图与数字孪生的机会所在。
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"多普勒频移只是个频偏，补偿掉就完了。" 单条径确实如此（卫星就是这么处理的）。但多径场景下每条径有各自不同的 \(\theta\)，因而有各自不同的 \(f_{d}\)。你补掉了平均值，剩下的扩展无法用一个标量修正，它会变成子载波间干扰（ICI），并从根本上限制 CSI 的有效期。"频移可补、扩展难消"是两件事。
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"3GPP 的路损公式是标准，所以是准确的。" 标准化模型的作用是让不同厂商的仿真结果可比，它给的是某类场景的统计代表，不是任何一条具体链路的真值。同一公式在两个城市的实测残差常常超过 10 dB。把模型输出当真值，是很多"仿真涨点、外场翻车"的根源。
通往前沿#
本章教给你的是教科书版本的信道：一层确定性路损，加两层被"随机化"的起伏。但请注意我们一路上做了多少次同样的动作：用中心极限定理把几十条径抹成一个高斯，用对数正态把一整片城市的几何抹成一个 \(\sigma\)，用 WSSUS 把环境的演化抹成平稳统计。每一次"抹平"都换来了漂亮的闭式解，也扔掉了环境里的结构。
第一部的起点，就是追问这笔交易划不划算：
- 随机性的谎言 追问"信道真的是随机的吗，还是我们只是不知道它"。
- 统计谱系 逐层解剖本章这些模型（瑞利、对数正态、Jakes、WSSUS）各自诞生于什么年代、什么测量条件，以及它们把环境的什么信息藏了起来。
当带宽和孔径都增大一个数量级后，被抹掉的结构重新变得可见，于是有了确定性复兴与信道制图学。
在预备篇内部，本章的下游是：
- 第 3 章 用瑞利分布算误码率与分集增益；
- 第 4 章 用它算遍历容量与中断容量；
- 第 5 章 把标量 \(h\) 升级成矩阵 \(\mathbf{H}\)；
- 第 6 章 用路损与阴影做小区规划和干扰分析。
本章所在的线索：时间尺度、采纳。在八条线索一页里，可以顺着这几条线读到四部的相关章节。
参考文献#
- D. Tse and P. Viswanath, Fundamentals of Wireless Communication. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 2005.
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- T. S. Rappaport, Wireless Communications: Principles and Practice, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2002.
- J. G. Proakis and M. Salehi, Digital Communications, 5th ed. New York: McGraw-Hill, 2008.
- R. H. Clarke, "A statistical theory of mobile-radio reception," Bell System Technical Journal, vol. 47, no. 6, pp. 957–1000, 1968.
- W. C. Jakes, Ed., Microwave Mobile Communications. New York: Wiley, 1974.
- P. A. Bello, "Characterization of randomly time-variant linear channels," IEEE Transactions on Communications Systems, vol. 11, no. 4, pp. 360–393, 1963.
- Y. Okumura, E. Ohmori, T. Kawano, and K. Fukuda, "Field strength and its variability in VHF and UHF land-mobile radio service," Review of the Electrical Communication Laboratory, vol. 16, no. 9-10, pp. 825–873, 1968.
- M. Hata, "Empirical formula for propagation loss in land mobile radio services," IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 29, no. 3, pp. 317–325, 1980.
- M. Gudmundson, "Correlation model for shadow fading in mobile radio systems," Electronics Letters, vol. 27, no. 23, pp. 2145–2146, 1991.
- 3GPP, "Study on channel model for frequencies from 0.5 to 100 GHz," 3GPP TR 38.901.