5 · 认知三角：通信、感知、决策的三元折中#
一部基站，一份波形，三件事。
它要把数据送出去（通信）。它要用同一份回波看清周围有什么（感知）。它还要决定下一个时隙把波束打向哪里、给谁分资源、要不要切换（决策）。三件事花的是同一份孔径、同一份能量、同一段时间。
ISAC（integrated sensing and communication，通感一体化）已经把前两件事的折中做成了一张二维图：速率对 CRB。工程师顺理成章地问：第三件事呢？能不能画一张三维图，叫"感知–通信–决策 region"？
本章的答案分三层。
- 第一层是一个判断：这张三维图目前不适定（ill-posed）。决策后悔是感知质量经任务映射后的函数，不能当作独立的第三根轴。这是 Howard 1966 [3]"信息的价值不是熵的函数"在 ISAC 语境下的重述，第 3 章的任务格给了它精确的语言。
- 第二层是一个母体：真正的问题结构 1960 年就有了名字，即 Feldbaum 的对偶控制（dual control）[1]：动作既调节又探测。于是"认知三角"应当改写成"认知回路"。
- 第三层是本章的主结果，认知平衡点（cognitive equilibrium）【本站模型·本站演算】：系统该把多少资源永久投给"认识环境"，由环境相干时间与第一部 Q3 汇率曲线的形状共同决定。同一个无量纲数 \(\Lambda=100\)，饱和型汇率给出 3.5%，幂律型给出 26.5%，差一个数量级。Q3 曲线不解，认知平衡点就没有定理。
本章预备知识
只需概率论、线性代数、信号与系统的本科内容，以及本部前三章。用到的内容：
- 实验 = 行随机矩阵、Blackwell 序、Le Cam 亏格 \(\delta\)、风险界（定理 2.2）、引理 2.3 的三角不等式与两条单调性、链定理骨架（定理 2.4）：第 2 章。本章不使用"共同后处理单调"\(\delta(\mathbf{R}\mathcal{E},\mathbf{R}\mathcal{F})\le\delta(\mathcal{E},\mathcal{F})\)。第 2 章 §2.6 已证它为假。
- 任务类充分统计量（定义 3.1）、任务格（命题 3.2）、Q1 天花板 \(R_{\mathrm{ceil}}=d_{\mathrm{eff}}\log_2(1/\varepsilon)\approx1.3\times10^{6}\) 比特 \(\approx160\) kB（猜想 3.4、算例 3.4）、任务汇率族与猜想 3.6：第 3 章。
- ISAC 的两条路径（容量–失真 / CRB–rate）不同构、边际价格 \(\nu(R)\)：第一部第 10 章与预备篇第 9 章。
- 知识汇率 \(\Delta C(R_{\mathrm{env}})\) 与"CKM 的香农曲线"（两端点已知、中段形状未知）、Hassibi–Hochwald 最优训练长度：第一部第 9 章。
- 一阶常微分方程 \(\dot q=a-q/T\) 的解、一元函数极值的一阶条件、\(\ln\) 与 \(e^{x}\) 的基本性质：高中与大一微积分。
- 卡尔曼滤波的一步更新（本章只用标量情形，§5.3 从头推）。
不需要测度论，也不需要控制论课程。对偶控制只用到"后验方差依不依赖于你选的动作"这一句话。
5.1 回顾：ISAC 已经把两件事定了价，用的是两把不同的尺#
5.1.1 直觉与两条路径#
直觉
你有一盏手电筒，既想照亮前方的路（通信：把能量送到接收端），又想借它看清路边有没有障碍（感知：把能量打到目标上再收回来）。光只有一束。照路照得越亮，看障碍就越暗，这就是二元折中。
ISAC 理论把"越亮 / 越暗"换成两个数，并且画出所有能同时做到的数对。
第一部第 10 章已把 ISAC 的基本限分成两条不同构的路径，本章原样沿用，不混写：
| 路径 | 感知度量 | 承重结果 | 状态 |
|---|---|---|---|
| 信息论路径 | 状态估计失真 \(D\)（发射端经广义反馈估计状态） | 容量–失真函数 \(C(D)=\max_{p(x)\in\mathcal{P}(D)}I(X;Y\mid S)\)，Ahmadipour–Kobayashi–Wigger–Caire [10] | 点对点【已解决】；广播只有内外界【部分结果】 |
| 估计论路径 | 参数估计的 CRB（Cramér–Rao bound） | CRB–rate 区域：两个角点 \(P_{\mathrm{SC}}\)（高斯信号达到）与 \(P_{\mathrm{CS}}\)（Stiefel 流形上均匀分布达到），区域本身只有外界与若干内界；折中是两重的——子空间折中 ST 与确定–随机折中 DRT，Xiong 等 [11] | 角点【已解决】；区域【部分结果】 |
| 估计论路径（MIMO 波束成形） | CRB | SVD 加注水的半闭式最优设计，Hua–Han–Xu [12] | 该模型下【已解决】 |
| 边际价格 | — | \(\nu(R):=\mathrm{d}\epsilon^{\star}(R)/\mathrm{d}R\)，"多要 1 bit/s/Hz 要付多少感知精度" | 【本站提法】，第一部第 10 章 |
三条要记住的事实：
- 两条路径的横轴都是速率，纵轴一个是失真、一个是 CRB，二者不能互换。失真是贝叶斯量（有先验），CRB 是频率派量（任意无偏估计量方差的下界，不限于渐近意义）。
- 就连二维 region，在最成熟的高斯 ISAC 模型里也只解出了角点。区域整体仍是内外界夹着的一条带子 [11]。
- Xiong 等的 DRT 说了一件本章要反复用到的事：数据本身的随机性会伤害感知。你发的信息越多（越随机），回波越难解。这是 §5.3 里"动作影响信息"的第一个无线实例。
5.1.2 玩具模型：二元折中曲线与分时弦#
为了后面能画一条"分时弦"，本节给一个极简示意模型。它不是文献 [11] 的曲线，只用来让"分时"与"联合设计"的差别可见。
算例 5.1（功率分割玩具：二元折中曲线与分时弦）【本站示意】
总功率 \(P=10\)（10 dB）。设一个份额 \(\rho\in[0,1]\) 的功率用于感知导频，其余 \((1-\rho)P\) 用于数据。
- 通信速率取 AWGN 容量 \(R(\rho)=\log_2\bigl(1+(1-\rho)P\bigr)\)。
- 感知对象是一个单位方差的高斯参数，经信噪比 \(\rho P\) 的 AWGN 观测，最小均方误差 \(D(\rho)=1/(1+\rho P)\)。
这是高斯参数经高斯观测的 MMSE 闭式：先验精度 \(1\) 加上观测精度 \(\rho P\)，后验方差是总精度的倒数 \(1/(1+\rho P)\)，见预备篇 4.10的"精度相加"。
**第一步：消去 \(\rho\)。**由 \(D=1/(1+\rho P)\) 得 \(\rho P=1/D-1\)，故 \((1-\rho)P=P-1/D+1=11-1/D\)，
这一步把两个关于 \(\rho\) 的参数方程合成一条 \(R\)–\(D\) 曲线：\(D=1/11\)（全部功率给感知）时 \(R=\log_2 1=0\)；\(D=1\)（不感知）时 \(R=\log_2 11=3.459\)。
**第二步：两个角点与分时弦。**角点 \(A=(D,R)=(1,\,3.459)\)（只通信）、\(B=(1/11,\,0)\)（只感知）。以时间份额 \(t\) 用 \(B\)、\(1-t\) 用 \(A\)，平均性能落在连线上：
第三步：逐点比较。
- \(D=0.25\)：联合曲线 \(R=\log_2(12-4)=\log_2 8=3.000\)；分时弦 \(R=3.459\times0.1591/0.9091=0.605\)。
- \(D=0.5\)：联合 \(\log_2 10=3.322\)，弦 \(1.557\)。
联合设计在每个内点都严格高于分时弦。
校验
- (a) 两端点代回：\(D=1\) 时 \(\log_2(12-1)=\log_2 11=3.459\)，弦亦为 \(3.459\) ✓。\(D=1/11\) 时 \(\log_2(12-11)=0\)，弦为 \(0\) ✓。
- (b) 另一条路径复算 \(D=0.25\) 的点：\(\rho P=1/0.25-1=3\)，\(\rho=0.3\)，\((1-\rho)P=7\)，\(\log_2(1+7)=3.000\) ✓。
- (c) 凹性：\(R(D)=\log_2(12-1/D)\) 的二阶导 \(\propto-\bigl[(12-1/D)^{-2}D^{-4}+2(12-1/D)^{-1}D^{-3}\bigr]<0\)，曲线凹，故必在弦之上，与第三步逐点结果一致 ✓。
怎么读这张图：上方曲线是算例 5.1 的联合功率分割 \(R=\log_2(12-1/D)\)，下方直线是只在两个角点之间做时间分配的"分时弦"。两者在端点重合、内部分开。分时永远可达（它是凸包），联合设计通常更好。
这个玩具只有一个自由度 \(\rho\)，与文献 [11] 的高斯 ISAC 区域没有数值对应。用途是让 §5.7 的命题 5.4（分时凸包可达）与猜想 5.5（内部形状）在二维先有个图像。数据点由算例 5.1 的两个闭式逐点算出。
5.1.3 方法的边界#
两条路径回答的都是"精度值多少速率"，回答不了两件事：
- 任务要多高的精度（甲）。这是第 3 章的格：在格上找 \(\mathcal{S}_{\mathcal{T}}\)，再定 CRB 目标。
- 感知换来的知识明天还值不值钱（乙）。ISAC 基本限是单块（single block）的，感知得到的知识在块末就作废了。
第二件事就是本章要补的时间维。
到此为止我们得到了什么
一张二维图与它的两个边界。ISAC 把"精度值多少速率"定了价，用的是两把不能互换的尺，而且连二维区域都只解到角点。它不回答任务要多高精度，也不回答知识能用多久：前者归第 3 章，后者归本章。
5.2 第三轴为什么不独立：后悔是感知质量经任务映射后的函数#
5.2.1 感知实验与决策后悔#
直觉
两家体检机构，一家的 X 光片更清晰，另一家的血液指标更准。问"哪家的报告更能帮你做决定"，答案取决于你要做什么决定：看骨折去第一家，查贫血去第二家。
"决策质量"不是体检报告的第三项指标，它是"报告 + 你要做的决定"共同算出来的一个数。把它当独立的轴画进图里，就等于把"你要做什么决定"这件事藏进了坐标系。
现在把它写成本部的语言。
定义 5.1（感知实验与决策后悔）
设环境 / 目标状态 \(\theta\in\Theta\)（有限）。感知实验（sensing experiment）\(\mathcal{E}_{\mathrm{sense}}=(P_\theta)_\theta\) 是一张行随机矩阵（定义 2.1）：给定 \(\theta\)，感知链路输出各读数的概率。记 \(\mathcal{E}_0\) 为"环境全知"（单位阵）。
对任务 \(T=(A_T,L_T,\pi_T)\)，决策后悔（decision regret）
即"用这份感知去做决策，比全知多输多少 Bayes 风险"。非负性来自 \(\mathcal{E}_0\succeq\mathcal{E}_{\mathrm{sense}}\)（任何实验都是单位阵的 garbling）与定理 2.1 (i)\(\Rightarrow\)(ii)。
记号解释
- \(r_T(\cdot)\) 是第 2 章定义的 Bayes 风险（\(=\sum_j\psi_T(\mathbf{v}_j)\)）。下标 \(T\) 提醒读者这个数带着任务。
- 回忆第 2 章定理 2.1 证明里的两个记号。\(\mathbf{v}_j\) 是读数 \(y_j\) 那一列按先验加权得到的向量，第 \(i\) 个分量 \(\pi_iP_{\theta_i}(y_j)\) 是"状态为 \(\theta_i\) 且读数为 \(y_j\)"的联合概率。
- \(\psi_T(\mathbf{v}):=\min_{a\in A_T}\sum_i v_i\,L_T(\theta_i,a)\) 是"看到这个读数后选最好的动作"所付的损失。
- 记号提醒：算例 5.1 的 \(\rho\) 是功率份额。从这里起 \(\rho_T\)（§5.7 省略下标写作 \(\rho\)、\(\rho_n\)）专指决策后悔。§5.5 的 \(\rho_{\mathrm{eff}}\) 又是有效信噪比。三者无关。
5.2.2 关键结论：第三轴不独立#
关键结论（第三轴不独立）【本站判断；Howard 1966 论点在 ISAC 语境下的重述】
(a) 给定感知实验，后悔由任务唯一决定：\(\rho_T=g_T(\mathcal{E}_{\mathrm{sense}})\)，其中 \(g_T\) 是定理 2.1 证明里的凹函数 \(\psi_T\) 沿实验各列求和再减常数。它不是可以独立于感知拨动的第三个资源汇。
(b) 对一切损失在 \([0,1]\) 的任务同时成立的上界：
这是定理 2.2 取 \(\mathcal{F}=\mathcal{E}_0\) 的直接实例。
(c) 不存在任何单一的感知标量（CRB、MSE、互信息、亏格）\(s(\mathcal{E}_{\mathrm{sense}})\) 与单调函数 \(f\)，使 \(\rho_T=f(s)\) 对一切任务成立。这是第 1 章命题 1.2（Howard [3]）在感知语境下的样子，算例 5.2 当场给出反例。
产权。"信息的价值必须由后果定义、不能脱离决策"是 Howard 1966 [3] 的原话。"后悔是感知实验的任务泛函"是第 2 章定理 2.1 与第 3 章引理 3.1 的直接推论。本站在此没有新定理，新意只在把它用作否决三元 region 独立第三轴的理由。
证明（三行）
- (a) 由 \(r_T(\mathcal{E})=\sum_j\psi_T(\mathbf{v}_j)\)（定理 2.1 证明第四步），\(\mathbf{v}_j\) 是 \(\mathcal{E}_{\mathrm{sense}}\) 的第 \(j\) 列按先验加权，故 \(r_T\) 是矩阵 \(\mathbf{P}\) 与任务 \((A_T,L_T,\pi_T)\) 的函数。减去与 \(\mathcal{E}_{\mathrm{sense}}\) 无关的常数 \(r_T(\mathcal{E}_0)\) 即得。
- (b) 定理 2.2 给出 \(r_T(\mathcal{E}_{\mathrm{sense}})\le r_T(\mathcal{E}_0)+\|L_T\|\delta(\mathcal{E}_{\mathrm{sense}},\mathcal{E}_0)\)。
- (c) 见算例 5.2：两个感知实验在一个感知标量上的序与在某个任务上的后悔序相反，故不存在单调的 \(f\)。\(\blacksquare\)
5.2.3 算例：同一对传感器，两个任务#
算例 5.2（同一对传感器、两个任务、两种后悔排序）
两台"传感器"沿用算例 2.2：\(\theta\in\{+1,-1\}\) 等概（"目标在 / 不在"），\(\mathcal{E}_{\mathrm{BEC}}=\) BEC(0.6)，\(\mathcal{E}_{\mathrm{BSC}}=\) BSC(0.2)。\(\mathcal{E}_0\) 为完美观测。
感知标量
- 互信息：\(0.400\) 对 \(0.278\) 比特，BEC 更好。
- 归一化 MMSE（\(\theta=\pm1\) 约定，除以 4 使损失落在 \([0,1]\)）：\(0.60/4=0.15\) 对 \(0.64/4=0.16\)，BEC 更好。
两个 MMSE 这样来：
- BEC 以概率 \(0.6\) 擦除。擦除时后验等于先验、条件方差为 \(1\)，未擦除时 \(\theta\) 被看准、方差为 \(0\)，平均 \(0.60\)。
- BSC 看到 \(y\) 后 \(\theta=y\) 的后验概率是 \(0.8\)，条件均值 \(0.8y-0.2y=0.6y\)，条件方差 \(\mathbb{E}[\theta^2\mid y]-(0.6y)^2=1-0.36=0.64\)。
**任务甲（0-1 判决，\(\|L_T\|=1\)）。**全知风险 0；BEC 风险 \(\epsilon/2=0.30\)，BSC 风险 \(q=0.20\)。后悔 \(\rho_{\text{甲}}=0.30\) 对 \(0.20\)：BSC 更好，与两个感知标量的序相反。
**任务乙（归一化二次损失 \(L=(\theta-a)^2/4\)，动作 \(a\in[-1,1]\)）。**全知风险 0；BEC 后悔 \(0.15\)，BSC 后悔 \(0.16\)：BEC 更好。二次损失下最优动作是条件均值，它落在 \([-1,1]\) 内，所以这里的 Bayes 风险恰是上面的归一化 MMSE。
亏格上界（关键结论 (b)）
- BEC 的上界：用 BEC 模拟完美观测，擦除时扔硬币。\(\theta=+1\) 的输出分布 \((0.7,0.3)\) 对目标 \((1,0)\)，半 \(L_1\) 距离 \(\tfrac12(0.3+0.3)=0.30\)（\(\theta=-1\) 对称）。亏格是"给 \(\mathcal{E}_{\mathrm{sense}}\) 配一个后处理去模拟 \(\mathcal{E}_0\)，最坏状态下输出分布的差距"能压到的最小值，所以这个具体方案给出上界 \(\delta\le0.30\)。
- BEC 的下界：反过来用关键结论 (b)。0-1 任务 \(\|L_T\|=1\)，后悔 \(0.30\le\delta\)。两边相夹，\(\delta(\mathcal{E}_{\mathrm{BEC}},\mathcal{E}_0)=0.30\)。
- BSC：同理 \(\delta(\mathcal{E}_{\mathrm{BSC}},\mathcal{E}_0)=0.20\)。直接照抄 BSC 的输出，\((0.8,0.2)\) 对 \((1,0)\) 差 \(0.20\)，0-1 后悔 \(0.20\) 给下界。
- 与后悔对照：任务甲的后悔 \(0.30\le0.30\)、\(0.20\le0.20\)（取等）。任务乙的后悔 \(0.15\le0.30\)、\(0.16\le0.20\)（松一倍）。
校验
- (a) 三组数字与算例 2.2、2.3(d) 逐位一致 ✓。
- (b) 后悔非负且不超过亏格上界，四个不等式全部成立 ✓。
- (c) 极限：\(\epsilon\to0\) 时 BEC 两个后悔 \(\to0\)、亏格 \(\to0\)。\(q\to1/2\) 时 BSC 的 0-1 后悔 \(\to0.5\)、亏格 \(\to0.5\)，与"一无所知"的判决风险 \(1/2\) 一致 ✓。
- (d) 反例成立的判据：由第 2 章 §2.5 的反转区 \(2q<\epsilon<4q(1-q)\)，即 \(0.40<0.60<0.64\) ✓。
算例 5.2 把 §5.2 的判断落到了数字上：同一份感知，换一个任务，"决策轴"上的排序就翻转。
若把 \((R,\epsilon,\rho_T)\) 画成三维图，固定任务 \(T\) 时第三个坐标是前两个的函数（更准确地说，是感知实验本身的函数），三维图塌成一张二维曲面。换任务 \(T\)，整张曲面搬家。
所谓"三元 region"，只有两种读法：
- 一族随任务索引的二维曲面。那就回到了 ISAC 二维图加第 3 章的任务格。
- 为决策另开一个独立的资源汇。这是 §5.7 猜想 5.5 的前提。
到此为止我们得到了什么
一个否决与一个前提。三元组 \((R,\epsilon,\rho_T)\) 里真正独立的资源汇只有两个：现在传数据，以及认识环境。第三个是估值，由任务映射算出。它受第 2 章风险界控制，不能写成任何感知标量的函数（算例 5.2）。要让三维 region 适定，必须给决策另配一个资源汇。
5.3 母体：对偶控制，动作既调节又探测#
5.3.1 对偶控制是什么#
直觉
你在黑暗里推一扇不知道有多重的门。推得轻，门不动，你也不知道它有多重。推得重，门开了，同时你也知道了它的重量，下次就能推得刚刚好。"推"这个动作有两个后果：它改变门的状态（调节），也改变你对门的认识（探测）。
1960 年 Feldbaum [1] 把这个结构叫对偶控制（dual control）。被控对象的特性未知时，控制器有两个互相冲突的目标：按现有知识做最优控制，以及注入探测扰动去改进未来的知识。原则上最优解可由动态规划求得，但计算上几乎总是不可行。这一点到今天仍然成立（Mesbah 2018 综述 [8]）。
无线里处处是这扇门：
- 导频是纯探测：占用资源、不送数据、换来 CSI。
- 数据传输是纯利用。
- ISAC 波形两者兼做。按 Xiong 等的 DRT [11]，数据的随机性还会反过来伤害探测。
- 波束扫描更明显：你把波束打向哪里，决定了你能学到哪个方向的环境。
什么时候可以把"调节"和"探测"分开设计？Bar-Shalom–Tse 1974 [2] 给了精确判据，它是本章"认知回路何时非平凡"的唯一严格语言。
5.3.2 对偶效应与确定性等价的判据#
定义 5.2（对偶效应、确定性等价，Bar-Shalom–Tse 1974）【已解决（经典）】
离散时间随机系统，状态 \(x_k\)，控制 \(u_k\)，观测 \(y_k\)；时刻 \(k\) 的信息集 \(I_k=\{y_0,\dots,y_k,u_0,\dots,u_{k-1}\}\)。
(a) 若对一切 \(k\)，状态的条件误差协方差 \(\mathbf{P}_{k}:=\mathrm{Cov}(x_k\mid I_k)\) 不依赖于过去的控制 \(u_0,\dots,u_{k-1}\)，称系统无（二阶）对偶效应（no dual effect of second order）；否则称有对偶效应。
(b) 确定性等价（certainty equivalence，CE）控制：先把未知量换成其条件均值，再按完全信息下的最优控制律行动。分离（separation）：最优控制律可以写成"估计器 + 完全信息控制律"的串联。
出处：[2]，定义 4 与定理 2【表述待核：原文用"neutral"与"dual effect of order 2"两个术语，本站按"条件协方差不依赖于控制"这一等价说法改写】。
定理（Bar-Shalom–Tse 对偶效应判据）【已解决（经典）】
(i) 若系统无对偶效应，则最优闭环策略退化为反馈策略，决策者不能通过选择控制去改善未来的信息。线性高斯二次（LQG：线性动态、高斯噪声、线性观测、二次代价）系统无对偶效应，且 CE 最优、分离成立。
(ii) 若系统有对偶效应，闭环策略可以"主动自适应"（用控制去探测），反馈策略只能"被动自适应"。一般地 CE 不再最优，分离失效，探测与利用必须联合设计。
出处：[2]。下面给出 (i) 中"LQG 无对偶效应"的标量完整证明，以及 (ii) 的一个数字实例。(i) 的后半句（CE 最优）与 (ii) 的一般陈述见原文。
读这条定理要分清三组词
- **反馈策略与闭环策略。**按 [2] 的用法，反馈策略（feedback policy）只用已经到手的信息 \(I_k\) 做决定，不考虑"以后还会有观测"。闭环策略（closed-loop policy）还把"下一步会看到什么、看得多准"算进当前决策。这与控制课里"闭环 = 有反馈"的日常说法不同。
- **被动自适应与主动自适应。**被动自适应是观测来了顺便更新估计，主动自适应是为了学而故意改变动作。
- **探测与利用。**探测（probing）指为改进未来知识而付出的动作，相当于预备篇 8.1老虎机里的"探索"。利用（exploitation）指按现有知识拿眼前收益。
所以 (i) 的意思是：动作进不了后验方差时，考虑未来观测没有任何好处，闭环退化为反馈，也就用不着探测。
5.3.3 证明与实例#
证明（(i) 的标量 LQG 情形，四步）
取标量系统 \(x_{k+1}=a\,x_k+b\,u_k+w_k\)，\(y_k=x_k+v_k\)，\(w_k\sim\mathcal{N}(0,Q)\)，\(v_k\sim\mathcal{N}(0,R)\) 独立，\(a,b,Q,R\) 已知。
记号提醒：本节的 \(Q,R\) 是过程噪声与观测噪声的方差，\(P\) 是误差方差，与 §5.1 的速率 \(R\)、功率 \(P\) 以及第一部问题编号 Q3 都无关。
**第一步：预测步。**给定 \(I_k\)，\(x_k\) 的条件分布是高斯，均值 \(\hat x_{k|k}\)、方差 \(P_{k|k}\)。因 \(u_k\) 是 \(I_k\) 的确定函数，\(x_{k+1}=a x_k+b u_k+w_k\) 的条件方差为
这一步做了什么：\(b u_k\) 是已知常数，加常数不改变方差。\(w_k\) 与 \(x_k\) 独立，方差相加。\(u_k\) 只出现在均值里，没出现在方差里。
**第二步：更新步。**观测 \(y_{k+1}=x_{k+1}+v_{k+1}\)。两个联合高斯变量的条件方差公式（预备篇 4.10）给出
这一步做了什么：\(\mathrm{Var}(x\mid y)=\mathrm{Var}(x)-\mathrm{Cov}(x,y)^2/\mathrm{Var}(y)\)，其中 \(\mathrm{Cov}(x_{k+1},y_{k+1})=P_{k+1|k}\)、\(\mathrm{Var}(y_{k+1})=P_{k+1|k}+R\)。整个式子里没有 \(u_k\)。
高斯情形的条件方差只由协方差决定、与观测到的具体数值无关，所以 \(u_k\) 虽然挪动了 \(y_{k+1}\) 的取值，却改不了方差。
第三步：归纳。\(P_{0|0}\) 由先验给定，与控制无关。若 \(P_{k|k}\) 与 \(u_0,\dots,u_{k-1}\) 无关，则由第一、二步 \(P_{k+1|k+1}\) 只依赖 \(P_{k|k}\) 与已知常数 \(a,Q,R\)，故与 \(u_0,\dots,u_k\) 无关。归纳得对一切 \(k\) 成立。
**第四步：结论。**按定义 5.2(a)，系统无对偶效应。\(\square\)
(ii) 的实例
把"未知"从状态换到增益：\(y=\theta u+v\)，\(\theta\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)\) 未知，\(v\sim\mathcal{N}(0,R)\)。用第二步同一个条件方差公式：\(\mathrm{Cov}(\theta,y)=u\sigma^2\)，\(\mathrm{Var}(y)=u^2\sigma^2+R\)，故
分子分母同除以 \(\sigma^2R\)，得 \(\theta\) 的后验方差
它依赖于 \(u\)：推得越重，知道得越准。这就是对偶效应。
与 LQG 的差别在 \(u\) 进入模型的方式。LQG 里 \(bu_k\) 是加上去的已知平移，只挪均值。这里 \(u\) 乘在未知量 \(\theta\) 上，决定观测对 \(\theta\) 有多敏感。
\(u^2/R\) 正是这次观测的精度，后验精度 = 先验精度 \(1/\sigma^2\) + 观测精度 \(u^2/R\)，也就是预备篇 4.10的"精度相加"。\(\blacksquare\)
算例 5.3（对偶效应的最小数字：推门）
取 \(\sigma^2=1\)、\(R=1\)。
- \(u=0\)：\(\mathrm{Var}(\theta\mid y)=(1+0)^{-1}=1\)。不推，什么也学不到。
- \(u=1\)：\((1+1)^{-1}=0.5\)。
- \(u=2\)：\((1+4)^{-1}=0.2\)。
- \(u=3\)：\((1+9)^{-1}=0.1\)。
与此对照，标量 LQG（\(a=1,Q=0,R=1\)，\(P_{0|0}=1\)）里无论 \(u_0\) 取多少，\(P_{1|1}=1\times1/(1+1)=0.5\)。控制进不了方差。
校验
- (a) 后验方差公式用另一条路径复算：把 \(y/u\) 看成 \(\theta\) 的一次带噪观测，噪声方差 \(R/u^2\)，两个高斯的精度相加 \(1/\sigma^2+u^2/R\) ✓。
- (b) 极限：\(u\to\infty\) 时方差 \(\to0\)（无穷大的探测把 \(\theta\) 完全测出）。\(u\to0\) 时退回先验 \(\sigma^2\) ✓。
- (c) LQG 情形的 \(P_{1|1}=0.5\) 用第二步公式 \(P R/(P+R)=1\times1/2\) 复算 ✓。
5.3.4 物理意义、ISAC 版对偶效应与谱系#
物理意义
判据把"要不要联合设计"变成一个可以检查的条件：看看你的动作进不进得了后验方差。
导频功率、波束方向、ISAC 波形的随机性都进得了，所以无线里几乎处处有对偶效应。只有在"信道已知、只剩加性高斯噪声"的教科书情形里，探测与利用才能分开。
行为分析
- 对偶效应的强度不是常数。算例 5.3 里 \(u\) 从 1 加到 3，方差从 0.5 降到 0.1，边际收益递减：后验越窄，再探测的收益越小。Baltussen 等 2026 [18]【预印本·未评审】把这一点量化成"分离间隙" \(S_t=\|u_t^{\mathrm{dual}}-u_t^{\mathrm{CE}}\|_2\)，经验结论是后验协方差收缩时 \(S_t\to0\)。认知回路的增益随知识积累而消退。§5.4 的 \(\alpha^\star\sim\ln\Lambda/\Lambda\) 是同一件事在稳态下的样子。
- "cognitive"这个词在无线里的原意就是这个回路。Haykin 2006 [7] 的认知雷达有三个要素：与环境交互中学习、接收机到发射机的反馈、贝叶斯跟踪保留回波信息。三者合起来叫感知–行动回路（perception–action cycle）。
定义 5.3（ISAC 版的对偶效应）【本站提法】
把定义 5.2 的"状态"换成环境 / 信道知识（耐用品或易逝品），"控制"换成发射选择 \(u_k\)（导频占比、波束方向、ISAC 波形、数据随机性）。称一个无线系统有 ISAC 版对偶效应，若环境知识的条件协方差 \(\mathbf{P}_{k+1}=\mathrm{Cov}(\theta\mid I_{k+1})\) 依赖于 \(u_k\)。
实例
- （甲）导频：占比越大，CSI 后验方差越小，有。
- （乙）波束扫描：打向哪个方向就学到哪个方向，有。
- （丙）ISAC 数据随机性（DRT [11]）：数据越随机，回波越难解，\(\mathbf{P}_{k+1}\) 越大。有，而且是反向的对偶效应（利用伤害探测）。
- （丁）固定导频、信道已知、只剩 AWGN：无。
**产权。**判据本身是 Bar-Shalom–Tse [2] 的，比本站任何叙述都精确。本站只做了"把状态换成环境知识"这一步翻译。
从对偶控制到认知回路：本章工具的谱系
| 年份 | 工作 | 要点 |
|---|---|---|
| 1960 | Feldbaum 对偶控制 I–IV | 动作既调节又探测，最优解原则上可求、计算上不可行 |
| 1966 | Howard 信息价值理论 | 信息的价值必须挂靠决策后果 |
| 1974 | Bar-Shalom–Tse | 对偶效应、确定性等价与分离的形式判据 |
| 1995 | Chaloner–Verdinelli | 贝叶斯实验设计——"测什么"的静态理论 |
| 2002 | Zheng–Tse | 非相干 MIMO 自由度 \(M^*(1-M^*/T)\) |
| 2003 | Hassibi–Hochwald | 多少训练才够——最优训练长度 \(=M\) |
| 2006 | Haykin 认知雷达 | 感知–行动回路，"cognitive" 的原意 |
| 2018 | Mesbah 对偶控制综述 | 主动学习不确定性的随机 MPC |
| 2020 | Liu–Yuan–Masouros–Yuan | 雷达辅助预测波束，感知服务通信 |
| 2021–2024 | Ahmadipour 等、Xiong 等、Hua 等 | 容量–失真、CRB–rate、ST/DRT |
| 2023–2024 | Zeng 等 CKM 教程、Xu–Zeng | 环境知识缓存工程化，"要多少数据" |
| 2026 | 分离间隙（Baltussen 等）与本站 | 后验收缩时对偶增益消退；认知平衡点 |
怎么读这张表：上段（1960–1974）控制论把"动作既调节又探测"写成定理。中段（1995–2006）统计学给出"测什么"的静态理论，无线给出"训练多长"的块内答案，雷达给出"认知"一词的原意。
下段（2018 起）ISAC 基本限、CKM 工程化与对偶控制回潮在同一时期发生，却互不引用。本章做的事是把上段接到下段：认知回路是对偶控制的稳态版本，Hassibi–Hochwald 是它的块内特例。
到此为止我们得到了什么
母体与判据。"感知要花资源、感知换来的知识才让通信与决策变好"这件事，1960 年就有了名字。"什么时候必须联合设计"有精确判据：动作进不进后验方差。无线里几乎处处进得了，所以"认知三角"应当改写成"认知回路"。
5.4 认知回路的最小模型与认知平衡点#
直觉
一家公司每年把一部分预算投给"了解市场"（调研、数据），其余投给"做生意"。了解市场的知识会过时：市场每隔一段时间就变一次，老知识按比例贬值。
投多少给调研？投得太少，生意做得盲目；投得太多，没钱做生意。答案取决于两件事：
- 市场变得多快（知识的折旧率）；
- 多一分了解能多赚多少（知识的汇率曲线）。
第二件事的形状决定了答案的量级：多了解一点是一直有用，还是很快就够用了。本节把这段话写成一个可以算数的模型。
5.4.1 模型#
定义 5.4（认知回路最小模型）【本站模型】
时间连续，\(t\ge0\)。
(a) 知识量。\(q(t)\ge0\) 是系统当前持有的环境知识量，单位为比特（"用多少比特描述环境"，与第 3 章猜想 3.4 同一量纲）。饱和值取猜想 3.4(a) 的天花板 \(q_{\mathrm{sat}}:=R_{\mathrm{ceil}}=d_{\mathrm{eff}}\log_2(1/\varepsilon)\)。
(b) 感知占比。\(\alpha\in[0,1]\) 是长期投给"认识环境"的资源份额（时隙 / 功率 / 孔径的份额），其余 \(1-\alpha\) 用于传数据。
**(c) 获取。**感知资源以速率 \(\kappa\alpha\) 把知识写进 \(q\)，\(\kappa>0\)（bit/s）是"全部资源投入感知时的知识获取率"。
(d) 折旧。环境以相干时间 \(T_{\mathrm{env}}\) 变化：知识按 \(q/T_{\mathrm{env}}\) 的速率作废（指数遗忘）。
**(e) 汇率。**持有 \(q\) 比特环境知识时的容量为 \(C_0+\Delta C(q)\)，其中 \(C_0\) 是无环境知识的容量，\(\Delta C(\cdot)\) 就是第一部第 9 章的知识汇率曲线 \(\Delta C(R_{\mathrm{env}})\)，单调不减、\(\Delta C(0)=0\)。
**(f) 目标。**长期吞吐 \(J(\alpha):=(1-\alpha)\bigl[C_0+\Delta C(q^\star(\alpha))\bigr]\)，其中 \(q^\star(\alpha)\) 是 (c)(d) 的稳态。
无量纲数。\(\Lambda:=\kappa T_{\mathrm{env}}/q_{\mathrm{sat}}\)，即"一个环境相干期内，全力感知能把知识池灌满几遍"。
**产权与最近亲缘。**据本站检索，文献中未见同形结果。最近的亲缘是 Hassibi–Hochwald [6] 的 \((1-T_\tau/T)\cdot C_{\mathrm{eff}}\) 结构（其定理 3）与 Zheng–Tse [5] 的 \(M^\star(1-M^\star/T)\)（其摘要）。
本站把"训练"换成"环境知识"、把块长换成 \(T_{\mathrm{env}}\)、并引入 \(\Delta C\) 的两族形状，属于新的（玩具级）构造，不可写成已知结果。
记号逐个解释：\(\kappa\) 的量纲是 bit/s，\(T_{\mathrm{env}}\) 是秒，\(q_{\mathrm{sat}}\) 是比特，故 \(\Lambda\) 无量纲。\(C_0\) 与 \(\Delta C\) 同量纲（bit/s/Hz 或任何速率单位，本节归一化 \(C_0=1\)）。
先算一个具体的数，再推一般公式
取会议室（算例 3.4）：\(q_{\mathrm{sat}}=1.3\times10^{6}\) 比特。
- 假设感知链路全力工作时每秒能写入 \(\kappa=10^{4}\) 比特的环境描述（一个量级估计，见 §5.6）。
- 环境相干时间 \(T_{\mathrm{env}}=1\) 小时 \(=3600\) s（家具级变化）。
则 \(\kappa T_{\mathrm{env}}=3.6\times10^{7}\) 比特，\(\Lambda=3.6\times10^{7}/1.3\times10^{6}=27.7\)：一个相干期内全力感知能把知识池灌满约 28 遍。
若只投 \(\alpha=0.1\)，稳态知识（下面推）为 \(\kappa\alpha T_{\mathrm{env}}=3.6\times10^{6}\) 比特，是 \(q_{\mathrm{sat}}\) 的 2.8 倍。超出的部分是冗余，饱和型汇率会把它折算成"已经接近饱和"。
5.4.2 稳态：四步#
**第一步：写出微分方程。**由 (c)(d)，
这一步说：知识的变化率 = 写入率 − 作废率。
**第二步：找稳态。**令右端为零：\(\kappa\alpha=q^\star/T_{\mathrm{env}}\)，
这一步说：稳态知识 = 每秒写入的量 × 一份知识平均能活多久。
**第三步：验证稳态是吸引的。**令 \(e(t):=q(t)-q^\star\)，则 \(\dot e=-e/T_{\mathrm{env}}\)，解为 \(e(t)=e(0)e^{-t/T_{\mathrm{env}}}\)，故
这一步说：无论从多少知识起步，一两个相干期后系统就在 \(q^\star\) 附近。长期吞吐只看 \(q^\star\)。
第四步：无量纲化。\(q^\star/q_{\mathrm{sat}}=\kappa\alpha T_{\mathrm{env}}/q_{\mathrm{sat}}=\Lambda\alpha\)。于是
5.4.3 认知平衡点：一阶条件#
认知平衡点就是让长期吞吐最大的感知占比 \(\alpha^\star:=\arg\max_{\alpha\in[0,1]}J(\alpha)\)。
叫它"平衡点"，是因为在 \(\alpha^\star\) 处，把最后一点资源投给认识环境与投给传数据，收益恰好相等。下面的命题把这句话写成等式。
命题 5.1（认知平衡点的一阶条件）【本站演算】
设 \(\Delta C\) 在 \((0,\infty)\) 上可微。若 \(\alpha^\star\in(0,1)\) 是 \(J(\alpha)\) 的内点极大值，则
读法：左边是"多投一单位资源去认识环境，换来的容量增量（乘以剩余的传输份额）"，右边是"这一单位资源若拿去传数据能换的容量"。平衡点就是两者相等之处。
若 \(\Delta C\) 还是单调不减的凹函数，且 \(\Delta C'(0^+)\kappa T_{\mathrm{env}}\le C_0\)，则 \(\alpha^\star=0\)（不值得永久感知）。
凹性不能省：先凸后凹的 S 形曲线在 \(0^+\) 处斜率可以为零，最优点却可以在内部，§5.5 的阈值跳变就是它的极端情形。
证明（三步）
第一步：把 \(J\) 写成两个因子的乘积并求导。\(J(\alpha)=u(\alpha)\,v(\alpha)\)，\(u=1-\alpha\)，\(v=C_0+\Delta C(\kappa\alpha T_{\mathrm{env}})\)。这里 \(u,v\) 是临时记号，与 §5.3 的控制 \(u\) 无关。下文的 \(q^\star\) 指任意 \(\alpha\) 下的稳态 \(q^\star(\alpha)=\kappa\alpha T_{\mathrm{env}}\)，不只是最优点处的值。乘积法则：
这一步做了什么：\(u'=-1\) 是"多感知一分就少传一分"。第二项是"多感知一分换来的容量"。
第二步：链式法则。\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Delta C(\kappa\alpha T_{\mathrm{env}})=\Delta C'(q^\star)\cdot\frac{\mathrm{d}q^\star}{\mathrm{d}\alpha}=\Delta C'(q^\star)\,\kappa T_{\mathrm{env}}\)。代入：
这一步做了什么：把"对 \(\alpha\) 求导"换成"对知识量求导再乘上知识量对 \(\alpha\) 的斜率 \(\kappa T_{\mathrm{env}}\)"。
**第三步：内点极值的必要条件。**内点极大值处 \(J'(\alpha^\star)=0\)，移项即得命题的等式。
若 \(J'(0^+)=\Delta C'(0^+)\kappa T_{\mathrm{env}}-C_0\le0\) 且 \(J'\) 在 \((0,1)\) 上单调不增（下面两族都如此），则 \(J'\) 处处非正，\(J\) 在 \([0,1]\) 上不增，最大值在 \(\alpha=0\)。
为什么两族的 \(J'\) 都单调不增：只要 \(\Delta C\) 单调不减且凹，\(\Delta C'\) 就非负且随 \(q\) 递减。于是 \(J'\) 的第一项 \((1-\alpha)\Delta C'(q^\star)\kappa T_{\mathrm{env}}\) 是两个非负的递减因子之积，单调不增。第二项 \(-[C_0+\Delta C(q^\star)]\) 也单调不增。\(J'\) 单调不增，\(J'(0^+)\le0\) 就推出处处 \(\le0\)。
饱和型正是这种情形（推论 5.2 第二步）。幂律型的 \(\Delta C'(0^+)=+\infty\)，根本落不到这个情形。\(\blacksquare\)
物理意义
一阶条件是一条等边际原理：最后一单位资源，投给"认识环境"与投给"传数据"要一样值钱。
左边多了一个因子 \(\kappa T_{\mathrm{env}}\)，可以叫它知识的"杠杆"：写得快（\(\kappa\) 大）或活得久（\(T_{\mathrm{env}}\) 长），同样一份资源换来更多稳态知识。
这就是第一部第 9 章"耐用品摊销"的定理化。耐用品之所以便宜，是因为 \(T_{\mathrm{env}}\) 把一次投入摊到了整个相干期。
行为分析
等式两边都依赖 \(\Delta C\) 的形状：左边是斜率 \(\Delta C'\)，右边是水平 \(\Delta C\)。
- 若 \(\Delta C\) 很快饱和，斜率在 \(q^\star\) 稍大处就趋于零，\(\alpha^\star\) 必须很小。
- 若 \(\Delta C\) 一直在涨，斜率不消失，\(\alpha^\star\) 可以很大。
两族形状，两种结论，下面分别算。
为什么是这两族
第一部第 9 章给"CKM 的香农曲线"的中段列了三条候选：凹增、阈值跳变、早饱和。这里取两个能解析求解、又分处两端的函数族：
- 指数饱和族 \(\Delta C_{\max}(1-e^{-q/q_{\mathrm{sat}}})\) 代表"早饱和"：知识攒到 \(q_{\mathrm{sat}}\) 的几倍之后再多也几乎不值钱。
- 幂律族 \(c\,(q/q_{\mathrm{sat}})^{\beta}\) 是"凹增"的理想化：边际收益递减，但在所关心的范围内不封顶（真实曲线终会饱和，见算例 5.5 校验 (e)）。
阈值跳变留到 §5.5，它恰好对应训练理论。两族都满足 \(\Delta C(0)=0\)、单调增、凹，命题 5.1 可以直接套用。
5.4.4 形状一：饱和型汇率#
推论 5.2（饱和型汇率的认知平衡点）【本站演算】
取 \(\Delta C(q)=\Delta C_{\max}\bigl(1-e^{-q/q_{\mathrm{sat}}}\bigr)\)。则
(a) 阈值。\(\alpha^\star=0\) 当且仅当 \(\Lambda\le\Lambda_c:=C_0/\Delta C_{\max}\)。
(b) 唯一性。\(\Lambda>\Lambda_c\) 时 \(J\) 在 \((0,1)\) 内有唯一驻点，且为全局最大值。
(c) 精确不动点。\(\alpha^\star\) 是方程
在 \((0,1)\) 内的唯一解。
(d) 大 \(\Lambda\) 闭式。
故 \(\alpha^\star\to0\)，且按 \(\ln\Lambda/\Lambda\) 消失。
证明
第一步：写出 \(J'\)。\(\Delta C'(q)=(\Delta C_{\max}/q_{\mathrm{sat}})e^{-q/q_{\mathrm{sat}}}\)，故 \(\Delta C'(q^\star)\kappa T_{\mathrm{env}}=\Delta C_{\max}\Lambda e^{-\Lambda\alpha}\)。命题 5.1 第二步给出
这一步做了什么：把 \(\kappa T_{\mathrm{env}}/q_{\mathrm{sat}}\) 合并成 \(\Lambda\)，\(q^\star/q_{\mathrm{sat}}\) 合并成 \(\Lambda\alpha\)。
第二步：单调性。\(A(\alpha)\) 是两个正的严格减函数 \(e^{-\Lambda\alpha}\) 与 \(1-\alpha\) 之积，严格减。\(B(\alpha)\) 因 \(1-e^{-\Lambda\alpha}\) 递增而严格增。故 \(J'=A-B\) 在 \([0,1]\) 上严格减。\(J'(1)=0-[C_0+\Delta C_{\max}(1-e^{-\Lambda})]<0\)。
这一步做了什么：\(J'\) 严格减意味着 \(J\) 先增后减（或一直减），最多一个驻点。
第三步：(a) 与 (b)。\(J'(0)=\Delta C_{\max}\Lambda-C_0\)。
- 若 \(\Lambda\le C_0/\Delta C_{\max}\)，则 \(J'(0)\le0\)，由严格减 \(J'<0\) 于 \((0,1]\)，\(J\) 递减，\(\alpha^\star=0\)。
- 若 \(\Lambda>C_0/\Delta C_{\max}\)，则 \(J'(0)>0>J'(1)\)，由连续与严格减恰有一个零点 \(\alpha^\star\in(0,1)\)。其左 \(J'>0\)、其右 \(J'<0\)，故为全局最大。\(\square\)
**第四步：(c)。**令 \(J'(\alpha)=0\)：\(\Delta C_{\max}\Lambda e^{-\Lambda\alpha}(1-\alpha)=C_0+\Delta C_{\max}-\Delta C_{\max}e^{-\Lambda\alpha}\)。把含 \(e^{-\Lambda\alpha}\) 的项移到一边：
两边取对数、除以 \(-\Lambda\)，得 (c)。\(\square\)
这一步做了什么：只是代数移项。注意右边的分母里仍含 \(\alpha\)，所以是不动点方程，不是闭式。
**第五步：(d)。**记 \(\alpha_0:=\frac1\Lambda\ln\frac{\Delta C_{\max}\Lambda}{C_0+\Delta C_{\max}}\)。(c) 的右端与 \(\alpha_0\) 之差为
先确认 \(\alpha^\star\) 确实小。(c) 的对数里 \(1-\alpha+1/\Lambda\le1+1/\Lambda\)，而 \(\ln(1+x)\le x\)，故 \(\alpha^\star\le\alpha_0+1/\Lambda^{2}=O(\ln\Lambda/\Lambda)\)。
于是可以对对数做一阶展开：\(\ln(1+x)=x+O(x^2)\)，取 \(x=-\alpha+1/\Lambda\)，得 \(\ln(1-\alpha+1/\Lambda)=-\alpha+1/\Lambda+O(\alpha^2+1/\Lambda^2)\)。代回 (c)，在 \(\alpha=\alpha^\star\) 处：
这一步做了什么：把 (c) 的右端拆成不含 \(\alpha\) 的主项 \(\alpha_0\) 与一个量级为 \(1/\Lambda\) 倍的修正。
把含 \(\alpha^\star\) 的项移到左边：\(\alpha^\star(1+1/\Lambda)=\alpha_0+1/\Lambda^2+\dots\)。两边除以 \(1+1/\Lambda\)，用 \(1/(1+1/\Lambda)=1-1/\Lambda+O(1/\Lambda^2)\)，得 \(\alpha^\star=\alpha_0(1-1/\Lambda)+O(1/\Lambda^{2})\)。
最后，\(\alpha_0/\Lambda\) 与 \(1/\Lambda^2\) 都是 \(O(\ln\Lambda/\Lambda^{2})\)，故 \(\alpha^\star=\alpha_0+O(\ln\Lambda/\Lambda^{2})\)。\(\blacksquare\)
算例 5.4（饱和型：三组 \(\Lambda\) 的数值最优与闭式近似）
取 \(C_0=1\)、\(\Delta C_{\max}=0.5\)（环境全知最多把容量提高 50%）。阈值 \(\Lambda_c=1/0.5=2\)。
闭式 (d) 化为 \(\alpha_0=\ln(\Lambda/3)/\Lambda\)，因为 \(\Delta C_{\max}/(C_0+\Delta C_{\max})=0.5/1.5=1/3\)。
表中各列的算法：
- "数值最优"一列是 (c) 的不动点。
- \(J(\alpha^\star)\) 一列把它代回 \(J(\alpha)=(1-\alpha)\bigl[1+0.5(1-e^{-\Lambda\alpha})\bigr]\)，例如 \(\Lambda=10\) 时 \(0.8815\times\bigl[1+0.5\times(1-0.3058)\bigr]=0.8815\times1.3471=1.1875\)。
- 增益一列就是 \(J(\alpha^\star)-1\)。
| \(\Lambda\) | 闭式 \(\alpha_0=\ln(\Lambda/3)/\Lambda\) | 数值最优 \(\alpha^\star\)（(c) 的不动点） | \(J(\alpha^\star)\) | 相对 \(J(0)=1\) 的增益 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | \(\ln3.333/10=1.2040/10=\mathbf{0.1204}\) | \(\mathbf{0.1185}\) | 1.1875 | +18.7% |
| 100 | \(\ln33.33/100=3.5066/100=\mathbf{0.0351}\) | \(\mathbf{0.0348}\) | 1.4329 | +43.3% |
| 1000 | \(\ln333.3/1000=5.8091/1000=\mathbf{0.0058}\) | \(\mathbf{0.0058}\) | 1.4898 | +49.0% |
不动点迭代（\(\Lambda=10\)，两轮）
- 第一轮：从 \(\alpha_0=0.1204\) 起，\(\Lambda(1-\alpha)+1=10\times0.8796+1=9.796\)，\(0.5\times9.796/1.5=3.265\)，\(\ln3.265=1.1834\)，\(\alpha=0.1183\)。
- 第二轮：\(10\times0.8817+1=9.817\)，\(0.5\times9.817/1.5=3.272\)，\(\ln3.272=1.1855\)，\(\alpha=0.1186\)。
收敛到 \(0.1185\)。
这一步做了什么：把当前的 \(\alpha\) 代入 (c) 的右端，算出的值当作新的 \(\alpha\)。
收敛这么快，是因为右端对 \(\alpha\) 的导数只有 \(-1/[\Lambda(1-\alpha)+1]\approx-0.10\)：每一轮误差缩到约十分之一并改变符号，所以迭代值在 \(0.1185\) 两侧来回（\(0.1204\to0.1183\to0.1186\)），两轮就到四位精度。
校验
- (a) 代回一阶条件（\(\Lambda=10\)，\(\alpha^\star=0.1185\)）：左边 \(A=0.5\times10\times e^{-1.185}\times0.8815=5\times0.3058\times0.8815=1.348\)，右边 \(B=1+0.5\times(1-0.3058)=1.347\)。差 \(0.001\)，在四位舍入内相等 ✓。\(\Lambda=100\)，\(\alpha^\star=0.0348\)：\(A=50\times e^{-3.48}\times0.9652=50\times0.03080\times0.9652=1.486\)，\(B=1+0.5\times(1-0.0308)=1.485\) ✓。
- (b) 用 \(J\) 的直接搜索复算：在 \([0,1]\) 上以 \(10^{-6}\) 步长最大化 \(J\)，得 \(0.1185/0.0348/0.0058\)，与不动点解一致 ✓。
- (c) 近似误差的量级：(d) 预言 \(\alpha_0-\alpha^\star\approx\alpha_0/\Lambda\)。\(\Lambda=10\) 处 \(0.1204/10=0.012\) 对实际差 \(0.0019\)，同量级，因为还有 \(+1/\Lambda^2=0.01\) 的抵消项：\(0.1204\times0.9+0.01=0.1184\) ✓。\(\Lambda=100\) 处 \(0.0351\times0.99+0.0001=0.0348\) ✓。
- (d) 两端极限：\(\Lambda\to\infty\) 时 \(\alpha^\star\to0\)（环境不变，一次建库永久受益）。\(\Lambda\le2\) 时 \(\alpha^\star=0\)（环境变得比你学得快，攒不下知识）。中间必有峰，数值上峰在 \(\Lambda\approx6.9\)，\(\alpha^\star\approx0.124\) ✓。
- (e) 增益的饱和：\(J(\alpha^\star)\) 随 \(\Lambda\) 趋于 \(C_0+\Delta C_{\max}=1.5\)，\(\Lambda=1000\) 时已达 \(1.49\) ✓。
5.4.5 形状二：幂律型汇率#
推论 5.3（幂律型汇率的认知平衡点）【本站演算】
取 \(\Delta C(q)=c\,(q/q_{\mathrm{sat}})^{\beta}\)，\(c>0\)、\(0<\beta<1\)。则
(a) 对一切 \(\Lambda>0\)，\(\alpha^\star\in(0,1)\) 存在、唯一、为全局最大。没有阈值，总值得感知。
(b) 精确不动点。
(c) 极限。\(\alpha^\star\) 随 \(\Lambda\) 严格增，且 \(\lim_{\Lambda\to\infty}\alpha^\star=\beta/(1+\beta)\)，与 \(T_{\mathrm{env}}\) 无关。
证明
第一步：\(J'\) 的因式分解。\(\Delta C'(q)\kappa T_{\mathrm{env}}=c\beta(q/q_{\mathrm{sat}})^{\beta-1}\Lambda=c\beta\Lambda^{\beta}\alpha^{\beta-1}\)。命题 5.1 第二步：
这一步做了什么：提出公因子 \(c(\Lambda\alpha)^\beta>0\)，于是 \(J'\) 的符号由方括号 \(F(\alpha)\) 决定。
第二步：\(F\) 在每个零点处下穿，由此得 (a)。\(\beta(1-\alpha)/\alpha\) 严格减。\(-C_0/(c\Lambda^\beta\alpha^\beta)\) 随 \(\alpha\) 严格增（负号翻转了 \(\alpha^{-\beta}\) 的递减）。所以 \(F\) 是"严格减 + 严格增"，需要小心。
先看两端。改写第一项与第三项：
- 当 \(\alpha\to0^+\)：\(\beta/\alpha\) 以 \(\alpha^{-1}\) 发散，第三项以 \(\alpha^{-\beta}\) 发散，但 \(\beta<1\)，故 \(F\to+\infty\)。
- 当 \(\alpha=1\)：\(F(1)=-1-C_0/(c\Lambda^\beta)<0\)。
再看 \(F\) 的导数：
在 \(F\) 的任何零点处，由 \(F=0\) 得 \(C_0c^{-1}\Lambda^{-\beta}\alpha^{-\beta}=\beta/\alpha-\beta-1\)，故 \(C_0c^{-1}\Lambda^{-\beta}\alpha^{1-\beta}=\beta-(\beta+1)\alpha<\beta<1\)。于是 \(F'<0\)：\(F\) 在每个零点处都是下穿。
连续函数从 \(+\infty\) 到负值且在零点只能下穿，零点唯一。左侧 \(J'>0\)、右侧 \(J'<0\)，全局最大。\(\square\)
这一步做了什么：不直接证 \(F\) 单调（它未必单调），而证"每个零点都是下穿"，这足以保证唯一。
为什么足够
假如有两个零点 \(z_1<z_2\)。
- \(F'(z_1)<0\)，所以 \(F\) 在 \(z_1\) 右侧紧邻处为负。
- \(F'(z_2)<0\)，所以 \(F\) 在 \(z_2\) 左侧紧邻处为正。
令 \(z_3:=\inf\{\alpha>z_1:F(\alpha)>0\}\)，则 \(z_1<z_3<z_2\)，由连续性 \(F(z_3)=0\)，且 \(F\) 在 \((z_1,z_3)\) 上 \(\le0\)。可 \(F'(z_3)<0\) 要求 \(F\) 在 \(z_3\) 左侧紧邻处为正，矛盾。
零点的存在则来自介值定理：\(F\) 从 \(+\infty\) 连续地走到 \(F(1)<0\)。
第三步：(b)。\(F(\alpha^\star)=0\) 即 \(\beta(1-\alpha^\star)/\alpha^\star=1+C_0/(c(\Lambda\alpha^\star)^\beta)\)。两边乘 \(\alpha^\star\)：\(\beta-\beta\alpha^\star=\alpha^\star\bigl[1+C_0/(c(\Lambda\alpha^\star)^\beta)\bigr]\)，故 \(\alpha^\star\bigl[1+\beta+C_0/(c(\Lambda\alpha^\star)^\beta)\bigr]=\beta\)。取 \(C_0=1\) 即 (b)。\(\square\)
**第四步：(c) 的单调性与极限。**先看上界：(b) 的分母大于 \(1+\beta\)，故 \(\alpha^\star<\beta/(1+\beta)\) 恒成立。
再看单调。固定 \(\alpha\)，\(F\) 的第三项 \(-C_0c^{-1}\Lambda^{-\beta}\alpha^{-\beta}\) 随 \(\Lambda\) 严格增，故 \(\Lambda_1<\Lambda_2\) 时 \(F_{\Lambda_2}(\alpha)>F_{\Lambda_1}(\alpha)\) 对一切 \(\alpha\) 成立。在 \(\alpha^\star(\Lambda_1)\) 处 \(F_{\Lambda_2}>F_{\Lambda_1}=0\)。由第二步，\(F_{\Lambda_2}\) 在它唯一零点的左侧为正、右侧为负，所以 \(\alpha^\star(\Lambda_1)\) 落在该零点左侧，即 \(\alpha^\star(\Lambda_2)>\alpha^\star(\Lambda_1)\)，严格增。
最后求极限。单调有界故有极限 \(\bar\alpha\)，且 \(\bar\alpha\ge\alpha^\star(\Lambda_1)>0\)，于是 \(\Lambda\alpha^\star\to\infty\)。记 \(\varepsilon(\Lambda):=1/(c(\Lambda\alpha^\star)^\beta)\)。它是 (b) 分母里那一项的简写，与 \(q_{\mathrm{sat}}\) 里的精度 \(\varepsilon\) 无关。于是 \(\varepsilon\to0\)，(b) 给出 \(\bar\alpha=\beta/(1+\beta)\)。\(\blacksquare\)
算例 5.5（幂律型：\(\Lambda=100\) 的数值最优与极限 \(1/3\)）
取 \(c=0.5\)、\(\beta=1/2\)、\(C_0=1\)。极限 \(\beta/(1+\beta)=0.5/1.5=\mathbf{1/3}\)。
| \(\Lambda\) | \(\alpha^\star\) | \(\Lambda\alpha^\star=q^\star/q_{\mathrm{sat}}\) | \(\Delta C(q^\star)=0.5\sqrt{\Lambda\alpha^\star}\) | \(J(\alpha^\star)\) |
|---|---|---|---|---|
| 10 | \(\mathbf{0.163}\) | 1.63 | 0.64 | 1.371 |
| 100 | \(\mathbf{0.265}\) | 26.5 | 2.57 | 2.627 |
| 1000 | \(\mathbf{0.310}\) | 310 | 8.80 | 6.764 |
| \(\to\infty\) | \(\to1/3\) | \(\to\infty\) | \(\to\infty\) | \(\to\infty\) |
不动点（\(\Lambda=100\)）
把数值解 \(\alpha^\star=0.2647\)（\(\Lambda\alpha^\star=26.47\)）代回推论 5.3(b) 的右端，看它能否把自己还原出来：\(\varepsilon=1/(0.5\sqrt{26.47})=1/(0.5\times5.145)=0.3887\)，\(\alpha=0.5/(1.5+0.3887)=0.5/1.8887=0.2647\) ✓。
数值解本身可以从极限值 \(1/3\) 出发，反复代入 (b) 的右端求得：\(0.3333\to0.2708\to0.2653\to0.2648\to0.2647\)。
校验
- (a) 代回一阶条件（\(\Lambda=100\)，\(\alpha^\star=0.2647\)）：\(\beta(1-\alpha)/\alpha=0.5\times0.7353/0.2647=1.389\)，\(1+1/(c(\Lambda\alpha)^\beta)=1+0.3887=1.389\) ✓。
- (b) \(J\) 的直接搜索：以 \(10^{-6}\) 步长最大化 \((1-\alpha)[1+0.5\sqrt{100\alpha}]\)，得 \(0.2647\) ✓。
- (c) 与极限对照：\(0.265/0.333=0.79\)，\(\Lambda=1000\) 时 \(0.310/0.333=0.93\)，\(\Lambda=10^{6}\) 时 \(0.3326\)，单调逼近 \(1/3\) ✓。
- (d) 极限公式的独立推导：\(\Lambda\to\infty\) 时略去 \(\varepsilon\)，\(J\approx(1-\alpha)c\Lambda^{\beta}\alpha^{\beta}\)，对 \(\alpha\) 求导 \(\propto\beta\alpha^{\beta-1}(1-\alpha)-\alpha^\beta=\alpha^{\beta-1}[\beta-(1+\beta)\alpha]\)，零点 \(\alpha=\beta/(1+\beta)\) ✓。
- (e) 物理性提醒：\(\Lambda=100\) 时 \(q^\star=26.5\,q_{\mathrm{sat}}\)，\(\Delta C=2.57\,C_0\)。幂律族在此处已越过猜想 3.4 的天花板，物理上不再合理。它描述的是"在所关心的范围内汇率一直在涨"这一理想化，真实曲线必在某处饱和。两族形状是真实曲线的两个包络，本算例的用途是显示答案对形状的敏感度，不是预言 26.5% 本身。
关键结论：认知平衡点由 Q3 曲线的形状决定【本站提法·可证伪预言】
同一个 \(\Lambda=100\)（"一个相干期内能把知识池灌满一百遍"）：
- 饱和型汇率 \(\Rightarrow\) \(\alpha^\star=3.5\%\)，且随 \(T_{\mathrm{env}}\) 按 \(\ln\Lambda/\Lambda\) 消失；
- 幂律型汇率 \(\Rightarrow\) \(\alpha^\star=26.5\%\)，且随 \(T_{\mathrm{env}}\) 趋于常数 \(\beta/(1+\beta)\)。
两者差一个数量级。\(\Lambda\) 大 \(\ne\) 少感知，要看 \(\Delta C\) 会不会饱和。
第一部第 9 章"CKM 的香农曲线"两端点已知、中段形状未知（凹增 / 阈值跳变 / 早饱和三条候选）。本章把这个未知翻译成工程量的未知：
- 数字孪生该多久同步一次；
- CKM 该分多少测量给建库；
- ISAC 波形该留多少给探测。
Q3 不解，这些数就没有定理，只有启发式。
可证伪判据
在一个可以人为改变环境变化率的试验台（数字孪生仿真、可移动散射体的暗室）上，测量"吞吐最优的感知占比"随 \(T_{\mathrm{env}}\) 的变化：
- 若按 \(1/T_{\mathrm{env}}\)（乘一个对数）衰减，Q3 曲线在该场景饱和；
- 若趋于一个与 \(T_{\mathrm{env}}\) 无关的常数，Q3 曲线在该范围内仍是幂律增长。
证据现状：截至 2026 年 9 月，据本站检索，文献中没有任何直接给出 \(\Delta C\)（容量增益对环境信息量）曲线的 CKM 仿真数字。Xu–Zeng [15] 给的是地图精度（AMSE）对采样密度，不是容量增益。感知辅助波束"节省 93% 训练开销"[17] 是感知已就绪时的增益，不是 \(\Delta C\) 的标定值。所以这条结论是本站模型的预言，不是已被数据支持的事实。
怎么读这张图：横轴是 \(\log_{10}\Lambda\)（环境越静、感知越快，\(\Lambda\) 越大）。下方先升后降的曲线是饱和型：\(\Lambda\le2\) 处为零（图外），峰在 \(\Lambda\approx7\)，随后按 \(\ln\Lambda/\Lambda\) 归零。中间单调上升的曲线是幂律型，逼近上方水平线 \(\beta/(1+\beta)=1/3\)。
两条曲线在 \(\log_{10}\Lambda=2\) 处相差 \(0.265/0.035\approx7.6\) 倍，在 \(\log_{10}\Lambda=4\) 处相差 400 倍。数据点由推论 5.2(c) 与推论 5.3(b) 的不动点方程逐点解出（算例 5.4、5.5），全部是本站模型的输出，不是文献数字。
怎么读这张图：三条曲线自下而上对应 \(\Lambda=10,100,1000\)，都从 \(J(0)=1\)（不感知）出发。\(\Lambda=10\) 的峰在 \(\alpha\approx0.12\)、高度 1.19。\(\Lambda=100\) 的峰在 \(0.035\)、高度 1.43。\(\Lambda=1000\) 的峰几乎贴着纵轴（\(0.006\)）、高度 1.49。
\(\Lambda\) 越大，峰越靠左、越高：一次投入换来更多，也更快饱和。\(\alpha\ge0.1\) 之后三条曲线几乎重合：知识早已饱和，多感知只是少传数据，\(J\approx1.5(1-\alpha)\)。数据由 \(J(\alpha)=(1-\alpha)[1+0.5(1-e^{-\Lambda\alpha})]\) 逐点算出。
flowchart TB
S["感知资源份额 $$\alpha$$<br/>（导频 / 波束扫描 /<br/>ISAC 探测）"] -->|"获取率 $$\kappa\alpha$$"| Q["环境知识 $$q(t)$$<br/>稳态 $$q^\star=\kappa\alpha T_{\mathrm{env}}$$"]
Q -->|"折旧 $$q/T_{\mathrm{env}}$$"| Q
Q -->|"Q3 汇率曲线 $$\Delta C(q)$$"| C["容量 $$C_0+\Delta C(q^\star)$$"]
C -->|"乘以传输份额 $$(1-\alpha)$$"| J["长期吞吐 $$J(\alpha)$$"]
J -->|"一阶条件（命题 5.1）"| S
T["环境相干时间 $$T_{\mathrm{env}}$$<br/>（行人 s · 家具 h–d ·<br/>建筑 月–年）"] -.-> Q
K["知识天花板<br/>$$q_{\mathrm{sat}}=d_{\mathrm{eff}}\log_2(1/\varepsilon)$$<br/>（第 3 章猜想 3.4）"] -.-> C
M["例行测量<br/>（RRM 上报 · 空闲态测量 · MDT）"] -.->|"$$\kappa_0$$，不占 $$\alpha$$"| Q怎么读这张图：实线是回路本身：感知 → 知识 → 汇率 → 容量 → 资源 → 感知。它与 Haykin 的感知–行动回路 [7] 同形，只是每条边都标了本章模型里的量。
三条虚线是外生的：\(T_{\mathrm{env}}\) 决定折旧（§5.6 把它拆成三层），\(q_{\mathrm{sat}}\) 决定汇率曲线的横轴刻度，例行测量带来一条不占 \(\alpha\) 的知识流 \(\kappa_0\)（下一小节）。回路的"增益"由 \(\Delta C\) 那条边的形状决定，这就是本站与第一部 Q3 的接口。
5.4.6 加一条免费的知识流：例行测量不占感知份额#
上面的模型把"认识环境"全部记在 \(\alpha\) 的账上，好像每一比特环境知识都要从传数据的资源里挤出来。实际的网络不是这样。
终端本来就一直在测：
- 连接态要做 RRM 测量并上报；
- 空闲态要为小区重选测量；
- 运维还会让终端顺手记下带位置的测量（最小化路测，MDT）。
一条 RSRP 从测到报到被记下来的全过程，见预备篇第 6 章"一条 RSRP 的一生"。这些测量为了别的目的照做不误，顺带就把一部分环境知识写进了库里，不占 \(\alpha\)。
真实的代价多半出在别处：把测量汇聚起来、存下来、算成地图，以及跨系统的信令。预备篇第 11 章算过一笔存储账。
把这条免费的流记作 \(\kappa_0\ge0\)（bit/s），定义 5.4(c) 的获取项改成 \(\kappa_0+\kappa\alpha\)：
稳态的推导与前面的四步完全相同，只是写入率多了一个常数。与 \(\Lambda\) 对应，记 \(\Lambda_0:=\kappa_0T_{\mathrm{env}}/q_{\mathrm{sat}}\)：一个环境相干期内，免费流自己能把知识池灌满几遍。
命题 5.1′（加上被动知识流的认知平衡点）【本站演算】
设 \(\Delta C\) 可微、单调不减且凹，\(J(\alpha)=(1-\alpha)\bigl[C_0+\Delta C(q^\star(\alpha))\bigr]\)，\(q^\star(\alpha)=(\kappa_0+\kappa\alpha)T_{\mathrm{env}}\)。
(a) 不值得主动感知的条件。\(\alpha^\star=0\) 当且仅当
**(b) 饱和型汇率的门槛。**取 \(\Delta C(q)=\Delta C_{\max}(1-e^{-q/q_{\mathrm{sat}}})\)，\(\Lambda>\Lambda_c\)。则 \(\alpha^\star=0\) 当且仅当
\(\Lambda_0<\Lambda_0^\star\) 时，\(\alpha^\star\) 是方程 \(\Lambda_0+\Lambda\alpha=\ln\dfrac{\Delta C_{\max}\bigl(\Lambda(1-\alpha)+1\bigr)}{C_0+\Delta C_{\max}}\) 在 \((0,1)\) 内的唯一解。
证明
命题 5.1 的第一、二步原样适用，只是 \(q^\star\) 多了常数项，求导时 \(\mathrm{d}q^\star/\mathrm{d}\alpha\) 仍是 \(\kappa T_{\mathrm{env}}\)：
(a) 的推导。\(\Delta C\) 单调不减且凹，\(J'\) 的第一项是两个非负递减因子之积，第二项也递减，所以 \(J'\) 在 \([0,1]\) 上单调不增。于是 \(J'(0)\le0\) 推出处处 \(J'\le0\)，\(\alpha^\star=0\)。反过来 \(J'(0)>0\) 时 \(J\) 在 \(0\) 右侧上升，\(\alpha^\star>0\)。\(J'(0)\le0\) 写出来就是 (a)。
**(b) 的推导。**代入饱和族，\(\Delta C'(q)\kappa T_{\mathrm{env}}=\Delta C_{\max}\Lambda e^{-q/q_{\mathrm{sat}}}\)，\(J'(0)\le0\) 化为 \(\Delta C_{\max}\Lambda e^{-\Lambda_0}\le C_0+\Delta C_{\max}(1-e^{-\Lambda_0})\)。把含 \(e^{-\Lambda_0}\) 的项移到左边：\(e^{-\Lambda_0}\Delta C_{\max}(\Lambda+1)\le C_0+\Delta C_{\max}\)，取对数即得门槛。
内点情形令 \(J'(\alpha)=0\)，照推论 5.2 第四步移项、取对数，得到 (b) 的方程。\(\blacksquare\)
读法
(b) 的方程左边是总量 \(\Lambda_0+\Lambda\alpha\)，也就是稳态知识按 \(q_{\mathrm{sat}}\) 计的倍数。右边只通过 \(1-\alpha\) 依赖 \(\alpha\)，而 \(\alpha\) 本来就只有几个百分点，右边几乎是常数。
所以最优的总知识量几乎不随 \(\Lambda_0\) 变：免费流来多少，主动探测就让出多少，直到免费流单独就超过原来的最优量，主动探测归零。
数值
沿用算例 5.4 的口径 \(C_0=1\)、\(\Delta C_{\max}=0.5\)。\(\Lambda=100\) 时门槛 \(\Lambda_0^\star=\ln(50.5/1.5)=3.52\)。会议室那组 \(\Lambda=27.7\) 时 \(\Lambda_0^\star=\ln(14.35/1.5)=2.26\)。
| \(\Lambda_0\) | \(\Lambda=100\)：\(\alpha^\star\) | 主动量 \(\Lambda\alpha^\star\) | 总量 \(\Lambda_0+\Lambda\alpha^\star\) | \(J(\alpha^\star)\) | \(\Lambda=27.7\)：\(\alpha^\star\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3.48% | 3.48 | 3.48 | 1.433 | 7.87% |
| 1 | 2.49% | 2.49 | 3.49 | 1.448 | 4.39% |
| 2 | 1.50% | 1.50 | 3.50 | 1.463 | 0.90% |
| 3 | 0.51% | 0.51 | 3.51 | 1.478 | 0（已过门槛） |
怎么读这张表：第一行就是算例 5.4 的 \(\Lambda=100\)，3.48% 与那里的 3.5% 一致。往下每多一份免费流，主动量就少一份，总量从 3.48 只挪到 3.51。吞吐 \(J\) 却一路上涨，因为同样多的知识不再占传数据的资源。
会议室那组的 \(\Lambda\) 小，原来的最优总量只有 2.18，免费流到 \(\Lambda_0=2.26\) 就把主动探测完全顶掉。数值由 (b) 的方程求根得出，并用 \([0,1]\) 上 \(2\times10^5\) 格的直接搜索复核，两者在表中精度内一致【本站演算】。
这件事的工程含义很直接：先数清网络里已经在流动的测量能提供多少知识（\(\Lambda_0\)），再决定要不要专门为认识环境花资源。对饱和型汇率，\(\Lambda_0\) 一旦超过 \(\ln\frac{\Delta C_{\max}(\Lambda+1)}{C_0+\Delta C_{\max}}\)，专门的探测就是浪费。还没超过时，专门探测只需补足差额。
两池的细化
免费流有一个盲区：它只覆盖实际测得到的那部分链路，也就是终端驻留和走过的小区、栅格、波束。没人去过的地方，例行测量一比特也写不进去。
更贴切的模型要把知识池拆成两个：可观测池 \(q_{\mathrm{o}}\) 由 \(\kappa_0+\kappa\alpha_{\mathrm{o}}\) 写入，不可观测池 \(q_{\mathrm{u}}\) 只能靠主动探测 \(\kappa\alpha_{\mathrm{u}}\) 写入，汇率按两池的覆盖份额加权。上面的结论只对可观测池成立。不可观测池里的知识仍得花 \(\alpha\) 去买，而它值不值得买，取决于那些地方会不会有用户去【本站提法】。
因果可行性：这些界都是设计期的工具
\(\alpha^\star\)、门槛 \(\Lambda_0^\star\)、本章各处的后悔与吞吐，都是在知道 \(\kappa\)、\(T_{\mathrm{env}}\) 和汇率曲线 \(\Delta C\) 的前提下算出来的。运行期没有这些量的真值，尤其拿不到"用真实信道算出来的后悔"：真实信道要是在手，也就不需要地图了。
所以它们适合在设计期决定预算、周期和测量配置，不能直接拿来当运行期的更新触发器。这个因果圈套在预备篇第 11 章有更具体的说法。
运行期怎么触发更新：用看得见的漂移，和固定周期比
运行期站得住的触发信号，只能来自可观测池：在实际测到的链路上比较地图的预测与实测，残差持续变大，说明环境变了、知识过时了。标准里有两类现成的先例，都是"用运行期拿得到的量决定测多测少"：
- Rel-16 起的放松测量（TS 38.304 §5.2.4.9）：低移动、不在小区边缘的终端可以少测。
- 非地面网络里按位置、按时间启动邻区测量（TS 38.304 §5.2.4.2）：离参考位置够近就先不测，到服务结束时刻之前再开始测。
任何更聪明的触发方案都要和一个简单基线比：按 \(T_{\mathrm{env}}\) 的量级固定周期更新（家具层按天、建筑层按月）。它不依赖任何运行期真值，实现也最简单。比不过它的触发规则，没有理由上线【本站判断】。
到此为止我们得到了什么
- 一个能算数的回路与它的平衡点。稳态知识 \(q^\star=\kappa\alpha T_{\mathrm{env}}\)，吞吐 \(J=(1-\alpha)[C_0+\Delta C(q^\star)]\)，一阶条件是等边际原理。
- 饱和型汇率给出带阈值 \(\Lambda_c=C_0/\Delta C_{\max}\)、按 \(\ln\Lambda/\Lambda\) 消失的 \(\alpha^\star\)。幂律型给出趋于 \(\beta/(1+\beta)\) 的常数。\(\Lambda=100\) 处是 3.5% 对 26.5%。
- 平衡点的位置由第一部 Q3 曲线的形状决定，这是本章的可证伪预言。
- 加上例行测量带来的免费知识流后，最优的总知识量几乎不变，主动探测几乎一比一地让位，免费流超过门槛 \(\Lambda_0^\star\) 就归零。
5.5 同一条律：耐用品与易逝品，从 \(T_{\mathrm{coh}}\) 到 \(T_{\mathrm{env}}\)#
5.5.1 Hassibi–Hochwald 的答案与并排对照#
直觉
"多少训练才够"是无线里最老的资源分配问题之一：每个相干块里花几个符号发导频、剩下几个发数据。它和"多少资源投给认识环境"是同一个问题，只是知识的对象从信道（易逝品，活一个相干块）换成了环境（耐用品，活一个 \(T_{\mathrm{env}}\)）。
如果认知回路是对的，它应当在"对象 = CSI"时退化成教科书答案。
教科书答案是 Hassibi–Hochwald 2003 [6]：Rayleigh 块衰落、\(M\) 根发射天线、相干长度 \(T\) 符号，训练与数据功率可独立分配时，最优训练符号数 \(T_\tau=M\)，恰是让信道可辨识的最小长度。容量下界具有 \((1-T_\tau/T)\log(1+\rho_{\mathrm{eff}})\) 的结构，其中 \(\rho_{\mathrm{eff}}\) 由训练与数据功率的最优分配决定。
功率不可变（等功率）时最优 \(T_\tau\) 可能大于 \(M\)，且随 SNR 变化：高 SNR 下只略长于 \(M\)，SNR 越低越长，低 SNR 下趋于半个相干块（[6] 第 III-D 节与第 V 节）。
Zheng–Tse 2002 [5] 从非相干角度给出同一结构：高 SNR 下 SNR 每增加 3 dB，容量增加 \(M^\star(1-M^\star/T)\) 比特/秒/赫兹，即自由度 \(M^\star(1-M^\star/T)\)，\(M^\star=\min(M,N,\lfloor T/2\rfloor)\)（[5] 摘要）。
把两者并排：
| 认知回路（本章） | Hassibi–Hochwald [6] | |
|---|---|---|
| 知识对象 | 环境（耐用品） | 信道 CSI（易逝品） |
| 时间常数 | \(T_{\mathrm{env}}\)（秒到年） | 相干块长 \(T\)（毫秒级） |
| 资源份额 | \(\alpha\) | \(T_\tau/T\) |
| 吞吐结构 | \((1-\alpha)[C_0+\Delta C(q^\star)]\) | \((1-T_\tau/T)\log(1+\rho_{\mathrm{eff}})\) |
| 知识饱和值 | \(q_{\mathrm{sat}}=d_{\mathrm{eff}}\log_2(1/\varepsilon)\) | \(M\) 个复系数（可辨识性） |
| 汇率形状 | 未知（Q3 三条候选） | 阈值型：不足 \(M\) 个符号不可辨识，超过 \(M\) 个只是浪费时间 |
| 最优份额 | \(\ln\Lambda/\Lambda\)（饱和型）/ 常数（幂律型） | \(M/T\) |
最后两行是重点。Hassibi–Hochwald 的"超过 \(M\) 个训练符号只是浪费"，在本章语言里就是一条阈值型汇率：\(\Delta C(q)=\Delta C_{\max}\cdot\mathbf{1}[q\ge q_{\mathrm{sat}}]\)（知识不到饱和值时几乎无用，到了就全有）。这是第一部 Q3 三条候选形状之一。
5.5.2 算例：把对象换成 CSI，回路是否退化#
算例 5.6（一致性检验：把对象换成 CSI，回路是否退化为 \(T_\tau=M\)）
设 \(M=4\)、\(T=100\)。Hassibi–Hochwald：训练占比 \(T_\tau/T=4/100=\mathbf{4\%}\)。
回路的翻译
- 知识对象 = 本块的 \(M=4\) 个信道系数，故 \(q_{\mathrm{sat}}=M=4\)（以"系数个数"计）。
- 每个训练符号写入一个系数，\(\kappa=1\) 系数/符号。
- 块末全部作废，\(T_{\mathrm{env}}=T=100\) 符号。
于是 \(\Lambda=\kappa T/q_{\mathrm{sat}}=100/4=25\)。
阈值型汇率
\(J(\alpha)=(1-\alpha)[C_0+\Delta C_{\max}\mathbf{1}[\Lambda\alpha\ge1]]\)：
- \(\alpha<1/\Lambda\) 时 \(J=(1-\alpha)C_0\) 递减；
- \(\alpha\ge1/\Lambda\) 时 \(J=(1-\alpha)(C_0+\Delta C_{\max})\) 递减。
跳变发生在 \(\alpha=1/\Lambda\)。两段都递减，最大值只能在两处取到：\(\alpha=0\) 处 \(J=C_0\)，跳变点处 \(J=(1-1/\Lambda)(C_0+\Delta C_{\max})\)。后者更大 \(\iff(\Lambda-1)(C_0+\Delta C_{\max})>\Lambda C_0\iff\Delta C_{\max}>C_0/(\Lambda-1)\)。此时最大值在跳变点
回路在阈值型汇率下精确退化为 Hassibi–Hochwald。
饱和型汇率（指数）
推论 5.2(c) 在 \(\Lambda=25\)、\(\Delta C_{\max}=0.5\) 下给 \(\alpha^\star=\mathbf{0.083}\)，闭式 \(\ln(25/3)/25=2.120/25=0.085\)。比 \(M/T\) 大一倍：指数饱和比阈值"软"，值得多学一会儿。
随 \(T\) 的标度
- 阈值型：\(\alpha^\star T=M=4\)，常数。
- 指数型：由推论 5.2(d) 的闭式，\(\alpha^\star T\approx(q_{\mathrm{sat}}/\kappa)\ln\!\bigl(\kappa T/(3q_{\mathrm{sat}})\bigr)\)（给 \(8.5\) 与 \(17.7\)）。按不动点精确解，\(T=100\) 时 \(8.3\)，\(T=1000\) 时 \(17.6\)。
两者同样是 \(1/T\) 的形态，差一个对数因子。
校验
- (a) 阈值型的条件 \(\Delta C_{\max}>C_0/(\Lambda-1)=1/24=0.042\) 在 \(\Delta C_{\max}=0.5\) 下成立 ✓。
- (b) 指数型 \(\alpha^\star=0.083\) 代回一阶条件：\(A=0.5\times25\times e^{-2.076}\times0.917=12.5\times0.1254\times0.917=1.437\)，\(B=1+0.5\times(1-0.1254)=1.437\) ✓。
- (c) \(T=1000\)：\(\Lambda=250\)，\(\alpha^\star=0.01764\)（不动点），\(\alpha^\star T=17.6\)。闭式 \(\ln(250/3)/250=4.423/250=0.01769\) ✓。
- (d) 极限一致：
- \(T\to\infty\) 时两种形状的 \(\alpha^\star\) 都 \(\to0\)，与"块长无穷时训练开销可忽略"一致 ✓。
- \(T\to M\)（\(\Lambda\to1\)）时两种形状也都给 \(\alpha^\star=0\)（干脆不训练、非相干传输），只是门槛不同。指数型在 \(\Lambda\le\Lambda_c=2\) 时就不值得感知。阈值型要越过门槛须投入 \(\alpha\ge1/\Lambda\)，\(\Lambda\to1\) 时这等于把整块都拿去训练、数据份额趋于零，按 (a) 的条件只有 \(\Lambda>1+C_0/\Delta C_{\max}=3\) 才划算。
- 短块上知识不值得买，与 Zheng–Tse 非相干自由度 \(M^\star(1-M^\star/T)\) 在 \(T\) 小时要把所用天线数缩到 \(M^\star=\lfloor T/2\rfloor\) 是同一个方向（[5] 摘要）。其定理 12 另指出，发射天线多于接收天线数 \(N\) 且 \(T\ge2N\) 时，只用 \(N\) 根发射天线就能达到高 SNR 容量，多出的天线不添自由度 ✓。
5.5.3 0.035 与 0.04 的巧合，以及方法的边界#
直觉：0.035 与 0.04 的巧合
算例 5.4 里 \(\Lambda=100\) 的饱和型 \(\alpha^\star=3.5\%\)，与 \(M=4\)、\(T=100\) 的 Hassibi–Hochwald 训练占比 \(4\%\) 数值相近。这只是类比级的巧合，不是推导：前者的 \(\Lambda=100\) 与后者的 \(\Lambda=25\) 并不相同，汇率形状也不同（指数对阈值）。
它的教学价值只有一句话：耐用品与易逝品服从同一条律 \((1-\alpha)\cdot f(\alpha)\)，只是时间常数从 \(T_{\mathrm{coh}}\) 换成 \(T_{\mathrm{env}}\)。
第一部第 9 章说"易逝品已有定价理论、耐用品还没有"，原因现在可以说得更准：易逝品的汇率形状是已知的（可辨识性给出阈值），耐用品的汇率形状是 Q3 的开放问题。
方法的边界
Hassibi–Hochwald 解决了块内的"训练多长"，且给出闭式。它回答不了跨块的知识累积（块末全部作废是它的模型假设）。Zheng–Tse 解决了非相干极限的自由度。两者都没有"环境"这个层次。
认知回路把块长换成 \(T_{\mathrm{env}}\)，代价是引入了一条形状未知的曲线。这就是本部缺失定理的落点：耐用品汇率的形状。
到此为止我们得到了什么
一次一致性检验。把认知回路的对象从环境换成 CSI、把 \(T_{\mathrm{env}}\) 换成块长、把汇率换成可辨识性给出的阈值型，回路精确退化为 \(T_\tau=M\)。换成指数饱和型，则给出同为 \(1/T\) 形态、差一个对数因子的答案。耐用品与易逝品同律，差别只在时间常数与汇率形状，而后者恰是耐用品那侧的未知。
5.6 多时间尺度：\(T_{\mathrm{env}}\) 不止一个，知识应分层折旧#
5.6.1 环境变化的三个层#
直觉
同一间房里，有些东西一秒钟就变（走过的人），有些东西几天变一次（搬动的桌椅），有些东西几年不变（墙）。把它们的知识记在同一本账上按同一个折旧率摊销，显然不对：墙的知识值得花一次大成本永久保存，人的知识根本不值得保存。它们要按各自的寿命分开记账。
量级估计（不是实测）
本站检索到的文献里只有一条相关口径：Bykhovsky 2020 [19] 实测室内光无线（可见光 / 红外）信道的相干时间，结论是多数移动场景下信道约 100 ms 内变化缓慢。它量的是终端移动引起的光链路变化，不是射频信道，也不是环境本身的变化，只能当量级旁证。文献里没有"人员 / 家具 / 建筑"三级的实测分层数字。
下表按量级估计写，明确标注为估计【本站估计】：
| 层 \(\ell\) | 环境要素 | \(T_{\mathrm{env},\ell}\)（量级估计） | 在第 3 章格里的层 | 与 \(\lambda/L\) 的关系（第一部第 2 章） |
|---|---|---|---|---|
| 1 快 | 行人、车辆、门 | \(10^{0}\) s（秒级） | 尾 CDF、瞬时 LoS 指示 | 遮挡边缘，\(L\sim1\) m，\(\sqrt{\lambda/L}\approx0.3\) |
| 2 中 | 家具、货架、临时隔断 | \(10^{4}\)–\(10^{5}\) s（小时到天） | 增益向量、BIM 的局部修正 | 反射面，\(L\sim1\) m |
| 3 慢 | 墙体、地形、建筑 | \(10^{7}\)–\(10^{8}\) s（月到年） | APS、BIM 的主体、K 因子 | 大尺度结构，\(L\gg\lambda\) |
5.6.2 分层模型与等杠杆边际条件#
分层模型（定义 5.4 的直接推广）
设知识分 \(\ell=1,\dots,L\) 层，各层独立折旧：
总感知占比 \(\alpha=\sum_\ell\alpha_\ell\)。若汇率对各层可加（这是一个额外假设，见下），\(\Delta C(q_1,\dots,q_L)=\sum_\ell\Delta C_\ell(q_\ell)\)，则
对 \(\alpha_m\) 求偏导。乘积法则加链式法则，与命题 5.1 的三步逐字相同，只是 \(u=1-\sum\alpha_\ell\) 对 \(\alpha_m\) 的偏导仍是 \(-1\)：
物理意义
- 右边对所有层相同：最后一单位资源去传数据换来的容量。
- 左边每层各一个：该层的边际汇率乘以该层的杠杆 \(\kappa_mT_{\mathrm{env},m}\)。
所以所有被投资的层在最优点有相同的"杠杆化边际汇率"。杠杆太小的层（\(\Delta C_m'(0^+)\kappa_mT_{\mathrm{env},m}\le\) 右边）一分钱也不投。
行为分析
各层的无量纲数 \(\Lambda_\ell=\kappa_\ell T_{\mathrm{env},\ell}/q_{\mathrm{sat},\ell}\) 相差许多个数量级。
- 慢层：在饱和型汇率下 \(\alpha_\ell^\star\sim\ln\Lambda_\ell/\Lambda_\ell\) 极小（一次建库，长期受益）。
- 快层：若 \(\Lambda_\ell\le\Lambda_c\) 则 \(\alpha_\ell^\star=0\)。快层的知识不该进耐用品的账本，它属于易逝品，用 CSI 级的即时感知处理。
这给第 3 章"CKM 该存哪几层"（存 \(\bigvee_T\mathcal{S}_T\)）加上了时间维：存格上那些 \(\Lambda_\ell>\Lambda_c\) 的层。
5.6.3 算例：三层各自的 \(\Lambda\) 与 \(\alpha^\star\)#
算例 5.7（三层各自的 \(\Lambda\) 与 \(\alpha^\star\)：量级账）【本站估计】
会议室天花板 \(q_{\mathrm{sat}}=1.3\times10^{6}\) 比特（算例 3.4）按层拆分（估计）：慢层 \(10^{6}\)（墙体几何与材质占了绝大部分可见维度）、中层 \(10^{5}\)、快层 \(10^{4}\)。
各层感知写入率都取 \(\kappa_\ell=10^{3}\) bit/s（一个量级估计：相当于每秒把一条 CSI 的环境相关部分写进地图）。各层 \(\Delta C_{\max,\ell}=0.5\)、\(C_0=1\)，饱和型。
| 层 | \(q_{\mathrm{sat},\ell}\) | \(T_{\mathrm{env},\ell}\) | \(\Lambda_\ell=\kappa_\ell T_\ell/q_{\mathrm{sat},\ell}\) | \(\alpha_\ell^\star\)（单层近似，推论 5.2） |
|---|---|---|---|---|
| 慢（建筑） | \(10^{6}\) | \(10^{7}\) s（约 4 个月） | \(10^{3}\times10^{7}/10^{6}=10^{4}\) | \(\ln(10^{4}/3)/10^{4}=8.11/10^{4}=\mathbf{0.08\%}\) |
| 中（家具） | \(10^{5}\) | \(10^{5}\) s（约 1 天） | \(10^{3}\times10^{5}/10^{5}=10^{3}\) | \(\ln(10^{3}/3)/10^{3}=5.81/10^{3}=\mathbf{0.58\%}\) |
| 快（行人） | \(10^{4}\) | \(1\) s | \(10^{3}\times1/10^{4}=0.1\) | \(0.1<\Lambda_c=2\Rightarrow\mathbf{0}\) |
读法
- 建筑层：一年 \(3\times10^{7}\) s 里只需约 \(2.5\times10^{4}\) s（7 小时）的感知资源，"一次路测管一年"。
- 家具层：每天 \(0.58\%\times86400\approx500\) s（8 分钟），"每天扫一遍"。
- 行人层：不值得建任何耐用知识。行人的影响（第一部第 5 章：一个未建模行人 = 21–30 dB）必须由即时感知（CSI / 雷达回波，易逝品）承担。
校验
- (a) \(\Lambda\) 的量纲：bit/s × s / bit = 无量纲 ✓。
- (b) 慢层的绝对数用另一条路径复算：\(\alpha^\star T_{\mathrm{env}}=8.11\times10^{-4}\times10^{7}=8.1\times10^{3}\) s \(\approx2.3\) 小时每 4 个月，一年即 \(6.8\) 小时，与"7 小时"一致 ✓。
- (c) 分层比单层合理：若把三层合成一个 \(T_{\mathrm{env}}\)（比如取中层的 \(10^{5}\) s、总 \(q_{\mathrm{sat}}=1.3\times10^{6}\)），\(\Lambda=10^{3}\times10^{5}/1.3\times10^{6}=77\)，\(\alpha^\star=\ln(77/3)/77=4.2\%\)。这比分层后的总和 \(0.66\%\) 高 6 倍，因为它按家具的寿命去折旧墙体的知识 ✓。
- (d) 可加性假设的边界：若三层知识对容量的贡献不可加（比如墙体知识只有在家具知识也准确时才值钱，即"并"而非"和"），上式失效。这与命题 3.2(d)"交只有不等式"是同一类困难 ✓。
方法的边界
数字孪生文献里"同步频率–保真度–能耗"的折中与 drift-adaptive 同步（变化快时提频、平稳时抑制）与本节的 \(\alpha_\ell\) 分配同构。但据本站检索均为启发式或应用型结果，没有基本极限。
CKM 文献从"能不能"转向"要多少数据、多久更新"（Zeng 等教程 [14]、Xu–Zeng [15]），后者给出的是地图精度对采样密度的标度，尚未连接到容量增益。
回答不了的部分，即各层的 \(\Delta C_\ell\) 形状与可加性，正是本部缺失定理的落点。
到此为止我们得到了什么
时间维上的分层。\(T_{\mathrm{env}}\) 是一族数，不是一个数。各层在最优点有相同的杠杆化边际汇率。\(\Lambda_\ell\) 低于阈值的层根本不该进耐用品账本。第 3 章的"CKM 该存哪几层"由此加上了一条时间判据：存 \(\Lambda_\ell>\Lambda_c\) 的层。
5.7 三元 region：分时凸包可达，内部形状开放#
现在回到章标题。§5.2 否决了"决策后悔当独立第三轴"的三元 region。本节给出让它适定的前提，证明在此前提下能证的部分（分时凸包），并把剩下的写成猜想。
5.7.1 三资源设定与三条前提#
直觉
三个人分一块蛋糕（资源），各做各的事：一个传数据，一个看路上的车（外部目标），一个研究这条路本身好不好走（自身信道）。三个人各得多少、各做成多少，是一个三维图。
图里最容易证明的一件事是：如果三种分法各自可行，那么"轮流用"也可行。这就是分时凸包。
定义 5.5（三资源设定与三元 region）【本站提法】
时间分块，每块长 \(T_b\)。每块内资源（时隙 / 功率）按份额 \((\gamma_{\mathrm{c}},\gamma_{\mathrm{s}},\gamma_{\mathrm{k}})\)，\(\gamma_{\mathrm{c}}+\gamma_{\mathrm{s}}+\gamma_{\mathrm{k}}=1\)，分给三个互不重叠的资源汇：
- 通信 \(\gamma_{\mathrm{c}}\)：传数据，每块交付的比特数 \(B_n\)；
- 外部感知 \(\gamma_{\mathrm{s}}\)：估计一个外部目标（不是自身信道）的状态，每块的感知损失 \(\epsilon_n\in[0,1]\)（例如归一化均方误差）；
- 自身知识 \(\gamma_{\mathrm{k}}\)：获取关于自身信道 / 环境的知识，用于任务 \(T\) 的决策，每块的决策后悔 \(\rho_n\in[0,1]\)（定义 5.1）。
一个策略是份额序列与各汇内部编码 / 估计 / 决策规则的选择。性能三元组为长期平均
（极限存在时）。三元 region \(\mathcal{R}_T\) 是所有策略可达三元组集合的闭包。
前提：(P1) 感知对象是外部目标，其感知损失不由自身信道知识决定；(P2) 决策的知识来自独立的资源汇 \(\gamma_{\mathrm{k}}\)；(P3) 三个度量都是每块可加的量。
为什么要这三条前提
- 没有 (P1)，感知的对象就是自身信道，\(\epsilon\) 与 \(\rho\) 由同一份知识决定，退回 §5.2 的塌缩。
- 没有 (P2)，\(\rho\) 不是独立可拨动的。
- 没有 (P3)，"轮流用"的平均性能不是各段性能的平均。CRB 就不是每块可加的（它是方差下界，不是损失），所以本定义用 MSE 一类的损失而非 CRB。
5.7.2 分时凸包可达#
命题 5.4（分时凸包可达）【本站演算·标准分时论证】
在定义 5.5 的前提下，\(\mathcal{R}_T\) 是凸集。特别地，若三个"纯"策略（\(\gamma\) 分别取 \((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)）可达的三个角点为 \(\mathbf{p}_{\mathrm{c}},\mathbf{p}_{\mathrm{s}},\mathbf{p}_{\mathrm{k}}\in\mathbb{R}^3\)，则它们的凸包
证明（三步）
**第一步：两个可达点的有理分时。**设策略 \(\sigma_1,\sigma_2\) 分别可达 \(\mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2\)，取有理数 \(t=a/b\in[0,1]\)（\(a,b\) 正整数）。构造策略 \(\sigma\)：把时间按每 \(b\) 块一组分组，每组前 \(a\) 块运行 \(\sigma_1\)、后 \(b-a\) 块运行 \(\sigma_2\)。
这一步做了什么：因为三个资源汇互不重叠且各块独立（(P1)(P2)），在一块里运行 \(\sigma_1\) 不影响另一块里 \(\sigma_2\) 的性能。这是分时论证成立的全部前提。
**第二步：平均性能是凸组合。**由 (P3)，前 \(N=kb\) 块的平均为
这一步做了什么：把求和按"哪个策略在跑"分成两堆，每堆各自的平均趋于该策略的性能，权重恰是时间份额。非整倍数的 \(N\) 只多出不到 \(b\) 块，对平均的影响是 \(O(b/N)\to0\)。
**第三步：无理分时与闭包。**无理 \(t\) 用有理数列 \(t_j\to t\) 逼近，对应的可达点 \(t_j\mathbf{p}_1+(1-t_j)\mathbf{p}_2\to t\mathbf{p}_1+(1-t)\mathbf{p}_2\)，落在闭包 \(\mathcal{R}_T\) 中。于是 \(\mathcal{R}_T\) 对任意两点的凸组合封闭，即凸。
三点的凸包由两两凸组合迭代得到（先取 \(\mathbf{p}_{\mathrm{s}},\mathbf{p}_{\mathrm{k}}\) 的凸组合，再与 \(\mathbf{p}_{\mathrm{c}}\) 取凸组合），故包含于 \(\mathcal{R}_T\)。\(\blacksquare\)
物理意义
这是 ISAC 文献里"分时内界"（time-sharing inner bound）的三维版本，与算例 5.1 的弦是同一件事。它给出三元 region 的一个内界，是一个三角形。
行为分析
- **(P3) 不是装饰。**把 \(\epsilon\) 换成 CRB，第二步的"平均 = 凸组合"就不成立：两段各自的 CRB 不能按时间平均成整体的 CRB。文献里 CRB–rate 区域的分时内界因此需要单独论证 [11]。
- **凸包通常不紧。**算例 5.1 已在二维显示联合设计严格高于弦。三维里三个汇共用一份波形时（ISAC 波形既传数据又探测目标又学信道），预期同样如此。
- **放弃前提 (P1) 会怎样。**感知目标 = 自身信道时，\(\gamma_{\mathrm{s}}\) 与 \(\gamma_{\mathrm{k}}\) 合并，\(\epsilon\) 与 \(\rho\) 由同一份知识经两个任务映射得到，region 塌成一张由 \(\alpha\) 与任务索引的曲面。那就是 §5.4 的 \(J(\alpha)\) 曲线加第 3 章的任务格。
5.7.3 三角形内界的算例与形状猜想#
算例 5.8（三角形内界的一个点）【本站示意】
沿用算例 5.1 的功率分割玩具给出角点（后悔用算例 2.4 的 0.25 作"无自身知识"时的值，有自身知识时为 0）：
- \(\mathbf{p}_{\mathrm{c}}=(R,\epsilon,\rho)=(3.459,\ 1,\ 0.25)\)：全部通信，外部目标不感知（\(\epsilon\) 取先验方差 1），无自身知识；
- \(\mathbf{p}_{\mathrm{s}}=(0,\ 0.0909,\ 0.25)\)：全部感知外部目标；
- \(\mathbf{p}_{\mathrm{k}}=(0,\ 1,\ 0)\)：全部学自身信道，决策无后悔。
取时间份额 \((1/2,1/4,1/4)\)：
校验
- (a) 份额之和 \(1/2+1/4+1/4=1\) ✓。
- (b) 每个坐标都落在三个角点对应坐标的最小值与最大值之间：\(R\in[0,3.459]\)、\(\epsilon\in[0.0909,1]\)、\(\rho\in[0,0.25]\) ✓。
- (c) 与二维弦的一致性：把 \(\gamma_{\mathrm{k}}=0\)、份额 \((1-t,t,0)\) 代入，得 \((R,\epsilon)=((1-t)3.459,\ 1-0.9091t)\)，消去 \(t\) 恰是算例 5.1 的弦 \(R=3.459(\epsilon-0.0909)/0.9091\) ✓。
- (d) 联合设计的证据：在 \(\epsilon=0.25\) 处弦给 \(R=0.605\)、联合功率分割给 \(3.000\)。凸包内界离真实边界很远，这就是猜想 5.5(a) 的二维证据 ✓。
猜想 5.5（三元 region 的形状）【开放·本站提法】
在定义 5.5 的前提 (P1)–(P3) 下：
**(a) 严格大于凸包。**当三个资源汇共用同一份波形（ISAC 波形同时传数据、探测目标、学信道）时，\(\mathcal{R}_T\supsetneq\mathrm{conv}\{\mathbf{p}_{\mathrm{c}},\mathbf{p}_{\mathrm{s}},\mathbf{p}_{\mathrm{k}}\}\)，且边界在内部处处严格凸。
(b) 两个投影已知。\(\rho=\rho_{\max}\)（不学信道）的切片是 ISAC 二维 region（[10][11] 的两条路径各给一个版本）。\(\epsilon=\epsilon_{\max}\)（不感知外部目标）的切片在稳态下是 §5.4 的曲线 \(\{(J(\alpha),\rho(\alpha))\}\)，其中 \(\rho(\alpha)\) 由稳态知识 \(q^\star(\alpha)\) 经任务映射得到。
**(c) 后悔轴的刻度由任务格决定。**对任务类 \(\mathcal{T}\)，\(\rho\) 轴应替换为 \(\sup_{T\in\mathcal{T}}\rho_T\)，其可达下界由 \(\|L_T\|\delta_{\mathcal{T}}(\mathcal{E}_{\mathrm{k}},\mathcal{E}_0)\)（定义 3.1(c) 的任务限制亏格）控制。\(\mathcal{T}\) 越宽，region 越小。
已知与未知的边界
- 已知：凸包可达（命题 5.4）；(b) 的第一个切片在点对点高斯模型下已有角点与内外界 [11]；(b) 的第二个切片是本章模型的输出。
- 未知：(a) 的严格性（需要一个三资源共用波形的显式可达方案）；region 的任何外界；(c) 里 \(\delta_{\mathcal{T}}\) 的显式值（第 3 章 Q3.1）。
- 文献状态：截至 2026 年 9 月，ISCC 文献（含综述 [16]【预印本·未评审】）只做三类多目标优化的问题表述，把第三维取作"计算"而非"决策"。据本站检索未见感知–通信–决策三维性能区域的形式化刻画，也未见对其适定性的讨论。把 control 作为第三维的工作以 UAV 跟踪等应用型论文为主，无基本极限结果。本猜想是本站提法，文献既未证实也未证否。
到此为止我们得到了什么
一个适定的三元 region 与它已知的部分。前提是三个互不重叠的资源汇、外部感知目标、每块可加的度量。
在此前提下，凸包（三角形）可达，两个二维切片分别是 ISAC 二维图与认知回路曲线。内部形状、任何外界、任务类版本的刻度全部开放。没有这些前提，三元 region 退回 §5.2 的塌缩。
5.8 两种信息的合流、四个场景与方法盘点#
5.8.1 关于未来与关于环境：双变量版本#
本部与第三部互为姊妹。第一部 Q3 的 \(\Delta C(R_{\mathrm{env}})\) 定价"关于环境的信息"，第三部第 5 章的 \(V(I):=\sup_{q:\,I(\xi;M)\le I}\sup_{\pi\in\Pi(M)}J(\pi,q)\)【本站原创】定价"关于未来的信息"（单调不减、凹、小 \(I\) 处极陡）。
一部真实系统同时在买两种信息：CKM 建库是前者，CSI 预测 / 流量预测是后者，两者花同一份预算。把认知回路推广成双变量：
定义 5.6（双信息认知回路）【本站提法】
感知份额 \(\alpha_{\mathrm{e}}\) 投给环境知识（稳态 \(q^\star=\kappa_{\mathrm{e}}\alpha_{\mathrm{e}}T_{\mathrm{env}}\)），份额 \(\alpha_{\mathrm{f}}\) 投给关于未来的信息（稳态 \(I^\star=\kappa_{\mathrm{f}}\alpha_{\mathrm{f}}T_{\mathrm{pred}}\)，\(T_{\mathrm{pred}}\) 为预测信息的有效寿命）。在可加假设下，
一阶条件的形态（与 §5.6 的分层推导逐字相同）：
物理意义
两种信息的杠杆化边际价格相等，且都等于传数据的边际价格。\(V\) 是凹的（第三部定理），所以 \(V'\) 递减，\(\alpha_{\mathrm{f}}\) 一侧总有唯一内点解或角点解。\(\Delta C\) 的形状未知，所以 \(\alpha_{\mathrm{e}}\) 一侧的解依赖 Q3。
状态：【开放·本站提法】。可加假设未经论证：两种信息很可能互补（知道环境让预测更准），不能简单相加。\(T_{\mathrm{pred}}\) 与第一部 Q2 的预测半径 \(r_{\max}\approx1.5\) m \(\approx17\lambda\) 的关系未建立。这是第 7 章纲领里"与四条 converse 的接口表"的一行。
5.8.2 四个场景：每个场景对应回路的一个环节#
| 场景 | 回路环节 | \(\Lambda\) 的量级估计【本站估计】 | 已有方法解决了什么 | 回答不了什么 |
|---|---|---|---|---|
| ISAC 波形设计 | "感知 → 知识"这条边：探测与利用共用波形，有 ISAC 版对偶效应（DRT 是反向对偶） | 块内 \(\Lambda\sim T/M\sim10\)–\(10^{2}\)（易逝品） | 容量–失真 [10]、CRB–rate 角点与 ST/DRT [11]、MIMO 半闭式 [12]；雷达辅助预测波束在车联网实证"感知服务通信" [9]；Demirhan–Alkhateeb 实测雷达辅助波束预测 top-5 约 90%、节省约 93% 波束训练开销 [17]【预印本 / WCNC】 | 跨块的知识累积；93% 是感知已就绪时的增益，不是 \(\Delta C\) 的标定值 |
| 主动感知（选测什么） | "资源 → 感知"这条边：在给定份额内选测量 | 与对象同 | 贝叶斯实验设计 [4]：效用期望最大化，线性模型 + Shannon 效用 \(\Rightarrow\) D-最优；不同效用给不同准则——这正是第 3 章"任务决定要哪部分"的统计学版本 | 静态：不含折旧与稳态，没有 \(T_{\mathrm{env}}\) |
| 数字孪生的更新预算 | 整条回路：\(\alpha^\star\) 就是"同步频率"的工程读法 | 网络级 \(\Lambda\sim10^{3}\)–\(10^{4}\)（小时到天级的运维对象） | drift-adaptive 同步（变化快时提频）与本章 \(\alpha_\ell\) 分配同构【据本站检索为启发式】 | 无基本极限；孪生的 misspecification 归第 4 章 |
| CKM 的测量–使用循环 | "知识 → 汇率 → 容量"这条边 | 建库级 \(\Lambda\sim10^{4}\)（算例 5.7 慢层） | CKM 教程 [14]：栅格原则；Xu–Zeng [15]：地图精度对采样密度的标度（AMSE） | \(\Delta C\)（容量增益对环境信息量）的曲线数字——本章最大的证据缺口 |
怎么读这张图：横轴是 \(\log\Lambda\) 的定性位置，纵轴是"该场景的汇率曲线更像饱和型还是幂律型"。纵坐标是未知量（Q3 的形状），本站只按物理直觉定性放置：块内训练的汇率是阈值型（可辨识性），故放在最下；CKM 与数字孪生的汇率形状完全未知，故放在纵轴中央。
左下（行人级跟踪）\(\Lambda<\Lambda_c\)，知识攒不下，按易逝品处理。右下是"一次建库、长期摊销"。这张图的用途是指出：同一场景在纵轴上的位置一旦确定，\(\alpha^\star\) 的量级就随之确定。这就是把 Q3 的形状问题翻译成工程量的方式【本站定位，非测量值】。
5.8.3 方法盘点#
| 方法谱系 | 解决了什么 | 回答不了什么 | 落点 |
|---|---|---|---|
| ISAC 基本限（两条路径 [10][11][12]） | 点对点"精度值多少速率"；角点；ST/DRT 两重折中 | 组网 / 多用户只有特例；CRB 域整体；波形受限；单块，无知识累积 | §5.1；猜想 5.5(b) 的第一个切片 |
| 对偶控制（Feldbaum [1]、Bar-Shalom–Tse [2]、Mesbah [8]、分离间隙 [18]） | 原理与判据：动作进后验方差则须联合设计；LQG 下分离 | 有原理无闭式：最优解计算不可行；无稳态 / 摊销版本 | §5.3；认知回路是其稳态玩具 |
| POMDP 信息价值 | 信息价值的动态定义 | 有定义无闭式；不含物理结构 | 第三部第 4 章"四种不知道"的第三种 |
| 贝叶斯实验设计 [4] | "测什么"的静态最优准则 | 静态，无折旧 | §5.8 场景二 |
| 感知辅助通信的启发式与 DRL [9][17] | 实测增益（93% 开销节省、top-5 约 90%） | 有增益无极限；不给 \(\Delta C\) | 场景一 |
| 训练开销理论（Hassibi–Hochwald [6]、Zheng–Tse [5]） | 块内最优训练长度 \(T_\tau=M\)、非相干自由度 | 块末知识作废；无环境层 | §5.5 同律 |
| CKM 工程化（[14][15]） | 栅格原则、数据量–精度标度 | 精度到容量的汇率；更新周期与 \(T_{\mathrm{env}}\) 的关系 | §5.6；证据缺口 |
| 认知回路（本章【本站模型】） | 稳态平衡点、两种形状两种结论、与 HH 同律、分层折旧 | \(\Delta C\) 的形状（Q3）；可加性；三元 region 内部 | 第 7 章纲领的暗线四件套 |
表的最后一列说明：现有方法要么有极限但无时间维（ISAC、训练理论），要么有时间维但无闭式（对偶控制、POMDP），要么有数字但无极限（DRL、CKM 工程化）。认知回路把三者接在一起的代价是引入一条形状未知的曲线。
所有"回答不了"最终汇到同一个缺口：耐用品汇率 \(\Delta C(R_{\mathrm{env}})\) 的中段形状。
到此为止我们得到了什么
- 两种信息在同一预算下的等边际条件（开放）。
- 四个场景，各对应回路的一条边与一个 \(\Lambda\) 量级。
- 一张方法表。所有方法的空白汇成同一个缺口：Q3 曲线的形状。它同时是第一部的开放问题与本章平衡点定理的前提。
跨部连线
- 第三部第 4 章「一句「不知道未来」，四种严格化」：同一个"边做边学"的困难，在资源分配里有四种严格化，各自给出不同的性能语言。
- 第三部第 5 章「第四级台阶」：预测的价值 \(V(I)\) 与本章的环境知识汇率，可以放进同一个平衡条件（第二部 7.7 节的双信息回路，尚未证明）。
- 第四部 9.8 节：探测者不止一个时，"谁去感知、测多密、给不给别人看"成了群体决策问题。
开放问题#
Q5.1（\(\Delta C\) 曲线的第一组数）【开放·本站提法】
- 精确陈述：在第一部第 10 章的单反射面玩具族上，对 \(R_{\mathrm{env}}\in\{1,2,\dots,20\}\) 比特的环境描述（反射面位置 / 材质的量化），计算 \(\Delta C(R_{\mathrm{env}})=\sup[C(\text{prior}+\text{env code})-C(\text{prior})]\)，判定其形状属于三条候选中的哪一条。
- 已知工具：第 3 章定理 3.5 的间接率失真给出"每比特能换多少任务效用"的编码论上界；第 2 章 Q2.5 的夹逼关系给出亏格上界。
- 第一步可证引理：单反射面 + 两径模型下，\(\Delta C\) 在 \(R_{\mathrm{env}}\to\infty\) 处的极限 \(\Delta C_{\max}\) 是反射系数与几何的闭式。
- AI 可攻子问题：在校准射线追踪（第一部第 5 章：3–6 dB RMSE）的仿真环境里数值扫描 \(\Delta C\) 对环境描述比特数。
这是本章一切结论的前提。
Q5.2（认知平衡点的可证伪检验）【开放·本站提法】
在可控 \(T_{\mathrm{env}}\) 的试验台上测"吞吐最优感知占比"随 \(T_{\mathrm{env}}\) 的标度：\(\ln\Lambda/\Lambda\) 对常数。
第一步：数字孪生仿真中人为设置散射体移动周期，扫 \(T_{\mathrm{env}}\) 三个数量级。
Q5.3（认知回路的严格版本：对偶控制的稳态极限）【开放】
定义 5.4 是玩具：线性获取、指数折旧、可加汇率。
- 精确陈述：对一个 POMDP（环境状态马尔可夫链，相干时间 \(T_{\mathrm{env}}\)；动作 = 份额 \(\alpha\)；观测 = 感知输出；回报 = 传输速率），证明其长期平均最优策略在 \(T_{\mathrm{env}}\to\infty\) 时收敛到命题 5.1 的平衡点，并给出有限 \(T_{\mathrm{env}}\) 的修正项。
- 已知工具：Bar-Shalom–Tse 判据 [2] 保证问题非平凡；分离间隙随后验收缩消失的经验规律 [18]【预印本·未评审】。
- 第一步可证引理：两状态环境（"墙在 / 不在"）、二元感知信道的 POMDP 显式解。
Q5.4（可加性与"并"）【开放·本站提法】
§5.6 与定义 5.6 都假设汇率对层 / 对信息种类可加。命题 3.2(d) 说任务的公共知识是"交只有不等式"，暗示汇率更可能是并的函数。
精确陈述：\(\Delta C(q_1,q_2)\ge\Delta C_1(q_1)+\Delta C_2(q_2)\)（互补）还是 \(\le\)（替代）？在两径模型上算出 \(\Delta C(\text{方向},\text{能量比})\) 的交叉项符号。
Q5.5（三元 region 的外界）【开放·本站提法】
命题 5.4 只给内界。
精确陈述：在定义 5.5 的前提下，给出 \(\mathcal{R}_T\) 的任何非平凡外界。候选形态是把 ISAC 的容量–失真 converse [10] 与第 2 章定理 2.4 的风险界叠加：\(\rho\ge\) 由 \(\gamma_{\mathrm{k}}\) 决定的亏格下界。
第一步：证明在 \(\epsilon=\epsilon_{\max}\) 切片上 \(J(\alpha)\) 曲线本身是外界（即定义 5.4 的稳态是该切片的最优）。
Q5.6（\(T_{\mathrm{env}}\) 的可测定义）【开放·文献共识】
环境时变尺度没有统一的可测量定义，本章三层数字全是量级估计。
精确陈述：以第一部第 8 章的环境等价类 \([E]_\varepsilon\) 为对象，定义 \(T_{\mathrm{env}}(\varepsilon):=\)"环境离开当前等价类的平均时间"，并给出从 CSI 时间序列估计它的统计量。它与 CSI 相干时间的关系（后者是易逝品的 \(T\)）应当是 \(T_{\mathrm{env}}\gg T_{\mathrm{coh}}\)，比值即 \(\Lambda\) 的一个因子。
预告
本章全程假设知识描述的就是当前环境：回路里只有折旧，没有误配。换城市、换厂商、仿真到实网时，\(q\) 里存的可能是别处的环境，折旧率再低也没用。这是第二种退化，后面几章接着处理：
- 第 4 章的相位 / 结构二分（泛化半径 \(\lambda/4\) 对特征尺度 \(L\)）处理的就是这种误配。
- 第 6 章把本章的 \(\alpha^\star\) 与第 2 章的亏格接成一条三环链的数值预算。
- 第 7 章把"Q3 形状的可证伪判据"作为本部对第一部的反馈写进纲领。
参考文献#
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未单列的备查条目：Torgersen 1991 的 \(k\)-亏格与 Le Cam 1964 的风险界按第 2 章参考文献 4、5编号引用；Shannon 1953 信息格与 Dobrushin–Tsybakov 间接率失真按第 3 章参考文献 1、3。