3 · 数字通信一页通：从比特到波形#
第 1 章讲了电磁波怎么被辐射出去，第 2 章讲了它在空中会遇到什么。本章接上最后一段：我们真正想送的是比特，可天线只会发波形。从一串 0/1 到一段射频信号，再从被噪声和衰落破坏过的接收信号里把这串 0/1 猜回来，这条链路上的每个环节，都是后面所有理论的共同底座。
本章的主线可以用一句话说完：在 AWGN 信道里，误码率随信噪比指数下降；一旦加上衰落，它就退化成反比关系。这个从指数到反比的退化，是无线通信里最重要的一个坏消息，也是分集、MIMO、OFDM、HARQ 这一整套技术存在的唯一理由。我们会把它一步不跳地推出来。
你将学会：
- 画出并解释数字通信系统的分层框图，说清每一层的输入输出与"量纲"；
- 读懂星座图，为 BPSK/QPSK/16QAM 写出符号集、能量归一化系数与判决域；
- 从柯西–施瓦茨不等式推出匹配滤波器，理解它为什么是最优的；
- 完整推导 BPSK 在 AWGN 下的 \(P_b = Q\!\left(\sqrt{2E_b/N_0}\right)\)，并对 \(Q\) 函数建立数值直觉；
- 完整推导瑞利衰落下的平均误码率 \(\bar{P}_b = \tfrac{1}{2}\bigl(1-\sqrt{\bar{\gamma}/(1+\bar{\gamma})}\bigr)\approx 1/(4\bar{\gamma})\)，并解释"指数塌成反比"的物理根源；
- 说清分集阶数的定义、时间/频率/空间三种实现方式的代价，推导 MRC 的合并增益；
- 讲清 OFDM 为什么能把频选信道拆成一堆平坦信道，CP 到底在防什么，并用 5G numerology 算一遍参数；
- 独立完成一次链路预算：从发射功率一路算到接收 SNR，再判定能用几阶调制、能跑多少 Mbps。
- 说清 5G 为什么数据用 LDPC、控制用 Polar，码长有限时离容量还差多少，HARQ 的两种合并各能收回多少。
3.1 一张框图：比特是怎么变成波形又变回来的#
3.1.1 直觉：一次跨国快递#
设想你要把一件易碎的瓷器寄到国外。合理的流程是：
- 先拆掉包装盒里的空气（同样的东西用更小的体积装，省运费），这是信源编码。
- 再裹上泡沫和气柱袋（故意增加体积，换来摔一下不碎），这是信道编码。
- 然后装上卡车（把包裹放到一个能在公路上跑的载体上），这是调制。
- 接着是路况（颠簸、雨水、丢件），这是信道。
- 到了对面卸货（把包裹从卡车上取下来），这是解调。
- 检查并修复破损（靠泡沫的冗余判断哪里出了问题），这是译码。
- 最后还原成原物，这是信源解码。
信源编码和信道编码的方向相反，却都必要：信源编码在删冗余，信道编码在加冗余。
这并不矛盾。前者删的是信源自身没用的冗余（相邻像素高度相关），后者加的是设计过的冗余（校验位放在最能救命的地方）。
香农的信源–信道分离定理保证，在足够长的码长下，这两件事分开做不损失最优性（详见第 4 章）。
flowchart LR
subgraph TXS["发送端"]
direction TB
S["信源<br/>语音/图像/数据"] --> SC["信源编码<br/>删冗余<br/>下界=熵 $$H$$"] --> CC["信道编码<br/>加冗余<br/>码率 $$R_c=k/n$$"] --> MOD["调制<br/>比特→星座符号<br/>每符号 $$\log_2 M$$ 比特"] --> RF["脉冲成形<br/>上变频"]
end
TXS --> CH["无线信道<br/>路损·阴影·衰落<br/>+ AWGN"]
CH --> RXS
subgraph RXS["接收端"]
direction BT
RX["下变频<br/>匹配滤波"] --> DEM["解调<br/>符号→软信息 LLR"] --> DEC["译码<br/>用冗余纠错"] --> SD["信源解码"] --> SK["信宿"]
end3.1.2 每一层的"量纲"#
教科书框图人人会画，真正有用的是记住每一层把什么单位变成了什么单位：
| 层 | 输入 | 输出 | 关键参数 | 理论极限 |
|---|---|---|---|---|
| 信源编码 | 信源符号 | 比特 | 压缩比 | 熵 \(H\)（bit/符号） |
| 信道编码 | \(k\) 个信息比特 | \(n\) 个编码比特 | 码率 \(R_c=k/n\le 1\) | 容量 \(C\) |
| 调制 | \(\log_2 M\) 个比特 | 1 个复符号 | 阶数 \(M\)、符号率 \(R_s\) | 星座最小距离 |
| 成形/上变频 | 复符号序列 | 射频波形 | 滚降因子 \(\beta\) | 带宽 \(B\approx(1+\beta)R_s\) |
表中的滚降因子（roll-off factor）\(\beta\in[0,1]\) 描述脉冲成形滤波器（通常是根升余弦）比理论最小带宽多占多少。每秒 \(R_s\) 个复符号在射频上至少要占 \(R_s\) 赫兹（Nyquist 极限）。实际滤波器的边沿不可能无限陡，于是再多占 \(\beta R_s\)。
把它们串起来，就得到贯穿全章的速率链：
物理意义
比特率是三个"齿轮"相乘：每秒发多少个符号（\(R_s\)，由带宽决定），每个符号扛多少比特（\(\log_2 M\)，由调制阶数决定），其中多少比例是真信息（\(R_c\)，由编码决定）。
频谱效率 \(\eta\) 把带宽因素除掉，得到"每赫兹每秒能送几比特"，是全书最重要的量纲。
行为分析
想提速有且仅有三条路：
- 加带宽（\(R_s\uparrow\)），但频谱要花钱买；
- 加调制阶数（\(M\uparrow\)），但需要更高 SNR，见 3.4 节；
- 减少冗余（\(R_c\uparrow\)），但抗错能力下降。
三条路各有代价，所有链路自适应算法都在实时权衡这三者。
算例：5G 一条 100 MHz 载波能跑多快
取 5G NR FR1 的典型配置：子载波间隔 30 kHz，100 MHz 带宽下有 273 个资源块（RB），每个 RB 有 12 个子载波，故占用子载波数
每时隙 14 个 OFDM 符号、时隙长 0.5 ms，故每秒资源单元（RE）数为
扣掉约 14% 的导频与控制开销，剩 \(7.9\times10^{7}\) RE/s。若用 256QAM（\(\log_2 M = 8\)）、码率 \(R_c = 0.85\)、4 层空间复用：
这就是运营商宣传的"5G 峰值 2 Gbps"的来历。注意它同时要求 256QAM 可用（SNR 约 22 dB 以上）和 4 层稳定复用，是实验室条件，不是小区边缘的日常。
3.2 星座图：把比特画在平面上#
3.2.1 直觉：用"位置"编码信息#
无线里真正能自由调整的东西只有三样：载波的幅度、相位、频率。把幅度和相位合成一个复数，就得到复基带表示：
其中 \(g(t)\) 是脉冲成形波形（通常是根升余弦），\(x_k \in \mathcal{C}\) 是复符号，\(\mathcal{C}\) 就是星座（constellation），即复平面上 \(M\) 个约定好的点。发端把 \(\log_2 M\) 个比特映射到某个点，收端在噪声污染后的平面上找"离得最近的点"。
为什么一个复数就能同时管幅度和相位？只看一个符号，记 \(x_k=a+jb=Ae^{j\phi}\)，则
模 \(A\) 是幅度，辐角 \(\phi\) 是相位。实部 \(a\) 调在 \(\cos\) 上（I 路），虚部 \(b\) 调在 \(\sin\) 上（Q 路），后文 QPSK 的"I、Q 两路"就是这两项。
于是整个调制/解调问题变成了一个几何问题。星座点像撒在纸上的墨点，噪声像给每个点罩上的一团模糊光晕，只要光晕不重叠得太厉害，就能分辨。点之间的最小距离决定抗噪能力，点的个数决定信息量，这对矛盾贯穿全章。
flowchart LR
M["数字调制"] --> A["幅度类 ASK/PAM"]
M --> P["相位类 PSK"]
M --> Q["幅相联合 QAM"]
M --> F["频率类 FSK"]
P --> P1["BPSK: 1 bit/符号"]
P --> P2["QPSK: 2 bit/符号"]
P --> P3["8PSK: 3 bit/符号"]
Q --> Q1["16QAM: 4 bit/符号"]
Q --> Q2["64QAM: 6 bit/符号"]
Q --> Q3["256QAM: 8 bit/符号"]
F --> F1["GFSK/GMSK: 恒包络, 抗非线性"]3.2.2 三个必须讲透的星座#
BPSK（二相移键控）。星座只有两个点，在实轴上：\(\mathcal{C}=\{+\sqrt{E_s},\,-\sqrt{E_s}\}\)，每符号 1 比特。判决域就是实轴的正负两半，判决门限在 0。这是最"抗打"的调制：两点相距 \(2\sqrt{E_s}\)，是同能量下所有二维星座里能拉开的最大距离。
QPSK（四相移键控）。四个点均匀分布在半径 \(\sqrt{E_s}\) 的圆上，坐标为 \(\sqrt{E_s/2}\,(\pm 1 \pm j)\)，每符号 2 比特。它的妙处在于，I 路和 Q 路各自独立地承载一个 BPSK，互不干扰（因为 \(\cos\) 与 \(\sin\) 正交）。判决域是四个象限，看符号落在哪个象限就行：I、Q 两路各自与 0 比较，判决器实现极其简单。
16QAM。I、Q 各取 4 个电平 \(\{\pm 1,\pm 3\}\cdot d\)，组成 \(4\times4=16\) 个点，每符号 4 比特。判决域是 16 个矩形格子（边缘的格子无界）。
3.2.3 能量归一化：为什么是 \(1/\sqrt{10}\)#
不同星座必须在同等平均功率下比较才公平，所以要把平均符号能量归一到 1。以 16QAM 为例，设点坐标为 \((a+jb)d\)，\(a,b\in\{\pm1,\pm3\}\) 且等概。逐步算：
物理意义
\(1/\sqrt{10}\) 这个眼熟的系数（3GPP 标准里 16QAM 映射表上就写着它）不是魔法数，只是"把平均能量拉回 1"的缩放。
同理 64QAM 是 \(1/\sqrt{42}\)，256QAM 是 \(1/\sqrt{170}\)。分母分别是 \(\mathbb{E}[a^2]+\mathbb{E}[b^2]\) 在 \(\{\pm1,\pm3,\pm5,\pm7\}\) 与 \(\{\pm1,\dots,\pm15\}\) 上的取值 \(42\) 与 \(170\)。
行为分析
把点数翻 4 倍（多 2 bit/符号），最小距离大约减半（16QAM 的 \(0.632\) → 64QAM 的 \(0.309\)），而误码率对最小距离是指数敏感的。
这就预告了 3.4 节的结论：每多 2 bit/符号，大约要多花 4~5 dB 的信噪比。
关键结论：星座的核心权衡
同等平均功率下，星座点越多 → 每符号比特数越多（频谱效率高）→ 最小距离越小（抗噪差）。所有链路自适应（AMC）做的就是：实时测 SNR，在这条权衡曲线上挑一个既跑得快又不出错的工作点。
下表汇总了几种常用调制的参数：
| 调制 | bit/符号 | 归一化系数 | \(d_{\min}\)（\(E_s=1\)） | BER \(=10^{-5}\) 所需 \(E_b/N_0\) |
|---|---|---|---|---|
| BPSK | 1 | 1 | 2.000 | 9.6 dB |
| QPSK | 2 | \(1/\sqrt{2}\) | 1.414 | 9.6 dB |
| 16QAM | 4 | \(1/\sqrt{10}\) | 0.632 | 13.4 dB |
| 64QAM | 6 | \(1/\sqrt{42}\) | 0.309 | 17.8 dB |
| 256QAM | 8 | \(1/\sqrt{170}\) | 0.153 | 22.5 dB |
直觉：QPSK 为什么"白送"一倍速率
表里最反直觉的一行是 QPSK 与 BPSK 所需的 \(E_b/N_0\) 完全相同，可 QPSK 的频谱效率是两倍。
原因是 QPSK 的 I、Q 两路是两个正交的独立 BPSK：同样的每比特能量 \(E_b\)，各自独立判决，各自的误比特率就是 BPSK 的。所以从 BPSK 升到 QPSK 是"免费的午餐"，它只是把原来闲置的正交维度用起来了。从 QPSK 再往上，午餐才开始收费。
3.2.4 Gray 映射：一个便宜到不该不用的技巧#
星座点判错时，最可能错成相邻的点。若相邻点的比特标号只差 1 位（Gray 映射），一次符号错误就只造成 1 个比特错误。于是近似有
行为分析
不用 Gray 映射，16QAM 一次符号错平均会带出 2 个多比特错，BER 直接差一倍以上。而 Gray 映射的实现成本几乎为零，只是查表顺序不同。所有实际系统都用它。
3.3 AWGN 与匹配滤波：噪声从哪来，怎么对付#
3.3.1 噪声模型#
接收机里的噪声主要来自热噪声（导体中载流子的热运动）。它在极宽的频带上功率谱密度平坦，故称白噪声；由中心极限定理，大量微观贡献叠加成高斯分布。这就是加性高斯白噪声（AWGN）：
其中 \(k=1.38\times10^{-23}\) J/K 是玻尔兹曼常数，\(T_0 = 290\) K 是参考温度，\(F\) 是接收机噪声系数（线性值，它的 dB 值就是后文的 \(NF=10\log_{10}F\)）。
\(kT_0=4.0\times10^{-21}\) W/Hz（即 \(F=1\) 时的 \(N_0\)）。乘 \(10^{3}\) 换算成 mW/Hz 再取 dB，就得到工程上最常用的一个数：
行为分析
噪声总功率为 \(N = -174 + 10\log_{10}B + NF\) (dBm)。
这里用的是 \(N_0B\)，而不是 \(\frac{N_0}{2}B\)，原因在于双边谱密度把功率同时记在正、负两侧频率上。占宽 \(B\) 的带通信号连同它的负频率镜像共占 \(2B\)，噪声功率为 \(\frac{N_0}{2}\times2B=N_0B\)。
带宽每翻倍，噪声功率就 +3 dB。这是"带宽不是白拿的"的第一层含义：多要 3 dB 带宽，就多吃 3 dB 噪声。
3.3.2 匹配滤波：把信号从噪声里"捞"出来#
直觉
你在嘈杂的车站等人，对方约好会喊一句特定的暗号。你的最优策略是在脑子里预存那句暗号，把听到的一切与它逐字比对：与暗号越像的成分被放大，与暗号无关的噪声在比对中互相抵消。这就是匹配滤波。
严格推导
设接收 \(r(t)=s(t)+n(t)\)，\(t\in[0,T]\)，\(s(t)\) 已知、能量 \(E_s=\int_0^T s^2(t)\,dt\)。用任意线性滤波器 \(g(t)\) 做加权积分取判决量：
逐步算噪声方差与输出信噪比：
第二行用了白噪声的定义：不同时刻的噪声不相关，自相关只在 \(t=u\) 处是冲激，对 \(u\) 积分时 \(\delta\) 把 \(g(u)\) "筛"成 \(g(t)\)，二重积分塌成单重积分。
第三行的不等号是积分形式的柯西–施瓦茨不等式 \(\left(\int gs\,dt\right)^2\le\int g^2dt\int s^2dt\)。它的证明很短：对任意实数 \(\lambda\) 有 \(\int(g-\lambda s)^2dt\ge0\)，展开是 \(\lambda\) 的二次式，恒非负要求判别式 \(\le0\)，这就是该不等式。
取等号当且仅当某个 \(\lambda\) 使 \(g=\lambda s\)，即 \(g(t) \propto s(t)\)：滤波器的冲激响应"匹配"发送波形。
因果实现写成 \(h(t)=s(T-t)\)，在 \(t=T\) 采样得
这恰好是与 \(s\) 做相关。
物理意义
最优接收机做的事，就是与已知模板做相关。输出信噪比 \(2E_s/N_0\) 只依赖信号能量，与波形形状无关。
这个结论有点出人意料：不管你把能量摊成一个长方波、一个窄脉冲还是一段扩频序列，只要总能量相同，匹配滤波后的信噪比就相同。扩频通信、脉冲压缩雷达能成立，根本原因就在这里。
行为分析
注意 \(E_s = P\cdot T_s\)，能量是功率乘时间。所以在功率受限时，延长符号时间能提高 \(E_s\)，代价是符号率下降。这个"能量 vs 速率"的兑换关系，就是后面 \(E_b/N_0\) 与频谱效率两个坐标系的桥梁。
算例：接收机里的噪声到底有多大
5G 终端接收机，带宽 \(B = 100\) MHz，噪声系数 \(NF = 7\) dB：
即 \(2\times10^{-12}\) W（\(2\times10^{-9}\) mW）。而典型的小区边缘接收功率约 \(-100\) dBm，比噪声还低 13 dB。这不是笔误，要靠信道编码的处理增益和窄带才能把它救回来：每个用户只占几个 RB，带宽小则噪声小。
若该用户只分到 4 个 RB（\(4\times12\times30\ \text{kHz}=1.44\) MHz），噪声降为 \(-174+61.6+7=-105.4\) dBm，SNR 就回到 \(+5.4\) dB。覆盖受限时，调度器要做的正是这件事：分配更少的带宽，反而能连上。
3.4 BPSK 在 AWGN 下的误码率：一步不跳的推导#
3.4.1 \(Q\) 函数：先建立数值直觉#
标准高斯尾概率定义为
它没有初等闭式，但有两条极好用的性质：\(Q(-x)=1-Q(x)\)、\(Q(0)=1/2\)。此外，大 \(x\) 时有渐近式
这个渐近式是本章后半段所有数量级估计的来源：\(Q\) 的主导项是 \(e^{-x^2/2}\)，即关于 \(x\) 的平方指数衰减。
下表给出几个典型取值：
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(Q(x)\) | \(1.59\times10^{-1}\) | \(2.28\times10^{-2}\) | \(1.35\times10^{-3}\) | \(3.17\times10^{-5}\) | \(2.87\times10^{-7}\) | \(9.87\times10^{-10}\) |
记住 \(Q(3)\approx 0.13\%\)、\(Q(4)\approx 3\times10^{-5}\)、\(Q(6)\approx 10^{-9}\) 这三个锚点，日常估算基本够用：\(x\) 每加 1，\(Q\) 大约掉 1~2 个数量级。
3.4.2 推导#
第 1 步：等效离散模型。 BPSK 发送 \(s\in\{+\sqrt{E_b},-\sqrt{E_b}\}\)（每符号 1 比特，故 \(E_s=E_b\)），经匹配滤波并归一化后，判决量为
噪声方差是 \(N_0/2\)，因为白噪声通过单位能量的匹配滤波器后，输出方差恰为双边谱密度值 \(N_0/2\)（3.3 节已算过）。
第 2 步：最优判决。 两符号等概时，错误概率最小的判决是最大似然（maximum likelihood, ML）判决：哪个符号让收到的 \(r\) 的概率密度更大，就判哪个。高斯噪声方差为 \(N_0/2\)，两个似然之比为
它大于 1 当且仅当 \(r>0\)。所以 ML 判决就是最小距离判决，门限在 0：\(r>0\) 判 \(+\)，\(r<0\) 判 \(-\)。
第 3 步：条件错误概率。 设发的是 \(+\sqrt{E_b}\)，则错误事件是 \(r<0\)：
第三个等号两边同除以噪声标准差 \(\sqrt{N_0/2}\)，把 \(n\) 标准化成 \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\)。第四个等号用高斯密度关于 0 的对称性：\(\Pr\{Z<-x\}=\Pr\{Z>x\}=Q(x)\)。
第 4 步：化简。
第 5 步：对称性求平均。 发 \(-\sqrt{E_b}\) 时错误概率完全相同，故总误比特率
物理意义
\(Q\) 的自变量是"半个星座间距除以噪声标准差"。这里星座间距 \(d_{\min}=2\sqrt{E_b}\)，一半是 \(\sqrt{E_b}\)，噪声标准差 \(\sqrt{N_0/2}\)，两者相比正是 \(\sqrt{2E_b/N_0}\)。
所有 AWGN 下的星座误码率公式都是这个模式：\(P \sim Q\!\left(d_{\min}/(2\sigma)\right)\)。最小距离与噪声标准差之比，是理解一切调制性能的钥匙。
行为分析
把渐近式代进去，\(P_b \approx \frac{1}{\sqrt{4\pi E_b/N_0}}\exp\!\left(-E_b/N_0\right)\)。误码率随 \(E_b/N_0\)（线性值，不是 dB）指数下降。
这意味着 SNR 每提高 1 dB，BER 会成倍地下降；在 \(10^{-5}\) 附近，大约每 1 dB 掉一个数量级。工程上称之为瀑布曲线（waterfall）：SNR 略低于门限时基本不通，略高于门限时几乎全对，中间过渡带只有 2~3 dB。
下表是 BPSK 在 AWGN 下的典型取值：
| \(E_b/N_0\) | 0 dB | 4 dB | 6 dB | 8 dB | 10 dB | 12 dB |
|---|---|---|---|---|---|---|
| BPSK BER（AWGN） | \(7.9\times10^{-2}\) | \(1.25\times10^{-2}\) | \(2.4\times10^{-3}\) | \(1.9\times10^{-4}\) | \(3.9\times10^{-6}\) | \(9.0\times10^{-9}\) |
算例：6 dB 买回五个多数量级
读上表：\(E_b/N_0\) 从 6 dB 涨到 12 dB（发射功率翻 4 倍），BER 从 \(2.4\times10^{-3}\) 掉到 \(9.0\times10^{-9}\)，约 5.4 个数量级。反过来说，要把 BER 从 \(10^{-3}\) 压到 \(10^{-5}\)，需要
只要 2.8 dB。在 AWGN 世界里，可靠性是一件很便宜的事。这个印象请务必记牢，因为下一节它会被彻底打碎。
3.4.3 推广到 QPSK 与 16QAM#
QPSK：I、Q 两路各是独立 BPSK，每路能量 \(E_s/2\)，每路载 1 比特故 \(E_b=E_s/2\)。复噪声 \(\mathcal{CN}(0,N_0)\) 的实部、虚部各自方差 \(N_0/2\)，所以每一路看到的正是 BPSK 推导第 1 步的模型：幅度 \(\sqrt{E_b}\)、噪声方差 \(N_0/2\)。
一个符号判对要求两路都对，\(P_s=1-(1-P_b)^2=2P_b-P_b^2\approx2P_b\)。代入得
方形 \(M\)-QAM（Gray 映射，近似式）：
这个式子可以分三步来看。
第一步：写出平均能量。 方形 \(M\)-QAM 是 I、Q 两路各一个 \(\sqrt{M}\) 电平的 PAM，电平为 \(\{\pm1,\pm3,\dots\}\cdot d\)，平均能量 \(E_s=\frac{2(M-1)}{3}d^2\)（\(M=16\) 时为 \(10d^2\)，与 3.2 节一致）。
第二步：求 \(Q\) 的自变量。 每路噪声标准差 \(\sigma=\sqrt{N_0/2}\)，相邻电平的半间距是 \(d\)，所以 \(Q\) 的自变量是
再代 \(E_s=E_b\log_2M\)，就得到根号内的式子。
第三步：数错误的方向。 中间电平两侧都可能判错（\(2Q\)），两端电平只错一侧（\(Q\)），平均每路 \(2(1-\frac{1}{\sqrt M})Q\)。两路合计符号错误率约 \(4(1-\frac{1}{\sqrt M})Q\)，按 Gray 映射除以 \(\log_2M\) 即为误比特率。
代入 \(M=16\)：系数 \(\frac{4}{4}(1-\frac14)=0.75\)，根号内 \(\frac{3\times4}{15}=0.8\)，故
行为分析
与 BPSK 的 \(Q(\sqrt{2E_b/N_0})\) 相比，根号内系数从 \(2\) 降到 \(0.8\)，功率损失 \(10\log_{10}(2/0.8) = 3.98\) dB。这就是上表里 16QAM 比 BPSK 多花约 3.8 dB 的来源：代价的物理载体，正是 3.2 节算出的最小距离缩水。
3.5 衰落：为什么误码率从指数塌成反比#
3.5.1 模型#
第 2 章已经建立：在丰富散射、无直射径的环境里，复信道增益 \(h\) 服从复高斯分布，其模 \(|h|\) 服从瑞利分布，功率 \(|h|^2\) 服从指数分布。设归一化 \(\mathbb{E}[|h|^2]=1\)，则瞬时接收信噪比
假设接收端已知 \(h\)（相干检测），则在给定 \(\gamma\) 时误码率仍是 AWGN 公式 \(Q(\sqrt{2\gamma})\)。平均误码率是对 \(\gamma\) 的分布求期望：
3.5.2 推导#
第 1 步：分部积分。 为什么要分部积分？\(Q\) 本身没有闭式，直接积不动，但它的导数是初等函数，分部积分正好把求导挪到 \(Q\) 身上。
取 \(u=Q(\sqrt{2\gamma})\)，\(dv=\frac{1}{\bar{\gamma}}e^{-\gamma/\bar{\gamma}}d\gamma\)，则 \(v=-e^{-\gamma/\bar{\gamma}}\)（对它求导即可验证）。代入 \(\int u\,dv=[uv]-\int v\,du\)，\(v\) 自带的负号把减号变成加号：
边界项：\(\gamma\to\infty\) 时为 0；\(\gamma=0\) 时为 \(-Q(0)\cdot 1 = -\tfrac12\)。故边界项贡献 \(0-(-\tfrac12)=\tfrac12\)。
第 2 步：求导。 用 \(Q'(x) = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\) 与链式法则（\(x=\sqrt{2\gamma}\)，\(dx/d\gamma = 1/\sqrt{2\gamma}\)）：
第 3 步：合并成 Gamma 积分。
第 4 步：套公式 \(\int_0^{\infty}\gamma^{-1/2}e^{-a\gamma}d\gamma = \Gamma(\tfrac12)/\sqrt{a} = \sqrt{\pi/a}\)，其中 \(a = 1+\frac{1}{\bar{\gamma}} = \frac{1+\bar{\gamma}}{\bar{\gamma}}\)。
这个公式不必查表：令 \(\gamma=t^2/a\)，则 \(\gamma^{-1/2}d\gamma=\frac{2}{\sqrt a}dt\)，积分变成 \(\frac{2}{\sqrt a}\int_0^\infty e^{-t^2}dt=\frac{2}{\sqrt a}\cdot\frac{\sqrt\pi}{2}\)。最后一步是高斯积分 \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt\pi\) 的一半。代回：
第 5 步：高信噪比展开。 令 \(\varepsilon = 1/\bar{\gamma}\ll 1\)。根号里分子分母同除以 \(\bar{\gamma}\)，\(\frac{\bar{\gamma}}{1+\bar{\gamma}}=\frac{1}{1+\varepsilon}\)；再用 Taylor 展开 \((1+\varepsilon)^{-1/2}\approx 1-\tfrac{\varepsilon}{2}+\tfrac{3\varepsilon^2}{8}\)，只保留到一次项：
3.5.3 解读：一个指数被一个概率吃掉了#
物理意义
在 AWGN 下 \(P_b\sim e^{-E_b/N_0}\)；在瑞利衰落下 \(\bar{P}_b\sim 1/(4\bar{\gamma})\)，从指数塌成了反比。塌缩的机制可以一句话说清：平均误码率不由"平均情况"决定。决定它的，是"最坏情况出现的概率"。
具体地，出错主要发生在信道处于深衰落的那些时刻。设"深衰落"定义为 \(\gamma < \gamma_0\)（\(\gamma_0\) 是让 AWGN 误码率不可忽略的门限），则
这是一个关于 \(\bar{\gamma}\) 的一次反比。而在非深衰落的时刻，误码率被 \(e^{-\gamma}\) 压得可以忽略。于是总的平均误码率 \(\approx\) 深衰落概率 \(\times\, O(1) \sim 1/\bar{\gamma}\)。
指数的好处只在"信道正常"时兑现。它兑现得再好，也抵不过"信道偶尔深衰落"这个一次反比项。
这个粗略论证连常数 \(\tfrac14\) 也能算出来。\(\bar{\gamma}\) 很大时，\(Q(\sqrt{2\gamma})\) 只在 \(\gamma\) 不超过几的范围内不可忽略，而在那里 \(e^{-\gamma/\bar{\gamma}}\approx1\)，密度近似平坦，\(p(\gamma)\approx1/\bar{\gamma}\)。于是
最后的积分这样算：令 \(\gamma=x^2/2\)（\(d\gamma=x\,dx\)），它变成 \(\int_0^\infty xQ(x)\,dx\)。再分部积分，边界项为 0，剩下
这里用到：\(x^2\) 乘标准高斯密度在正半轴上的积分，是方差 1 的一半。所以高信噪比下，衰落下的误码率 \(\approx\) 深衰落区的概率密度 \(\times\) AWGN 误码率曲线下的面积：前者给出 \(1/\bar{\gamma}\)，后者只贡献常数 \(\tfrac14\)。
行为分析
反比意味着"SNR 每加 10 dB，BER 只掉 1 个数量级"（而 AWGN 是掉好几个）。把两者摆在一起，差距很大：
| \(E_b/N_0\) | AWGN BER | 瑞利 BER | 倍数 |
|---|---|---|---|
| 6 dB | \(2.4\times10^{-3}\) | \(5.3\times10^{-2}\) | 22× |
| 10 dB | \(3.9\times10^{-6}\) | \(2.3\times10^{-2}\) | 6 000× |
| 12 dB | \(9.0\times10^{-9}\) | \(1.5\times10^{-2}\) | \(1.7\times10^{6}\)× |
| 20 dB | \(\sim10^{-45}\) | \(2.5\times10^{-3}\) | 天文数字 |
| 30 dB | \(\approx 0\) | \(2.5\times10^{-4}\) | — |
算例：34 dB 的天堑
要达到 \(\text{BER}=10^{-5}\)：
- AWGN：\(Q(\sqrt{2\gamma})=10^{-5}\Rightarrow \sqrt{2\gamma}=4.265 \Rightarrow \gamma = 9.09 \Rightarrow\) 9.6 dB；
- 瑞利：\(\frac{1}{4\bar{\gamma}}=10^{-5}\Rightarrow \bar{\gamma}=25\,000 \Rightarrow\) 44.0 dB。
两者差 34.4 dB，即发射功率要放大 2750 倍。一台 1 W 的终端要换成 2.75 kW，物理上、成本上、监管上都不可能。所以无线通信的历史，可以说就是一部"想办法绕开这 34 dB"的历史。
这不是"信号变弱了"的问题
很多初学者以为衰落的危害是"平均信号强度下降"。其实不是。上面的推导里 \(\mathbb{E}[|h|^2]=1\)，平均功率丝毫未减。害人的是方差，也就是那些偶尔出现的深衰落时刻。
加功率对付不了它，因为深衰落的概率 \(\gamma_0/\bar{\gamma}\) 只随功率一次反比地减小。要消除它，必须让"所有路径同时完蛋"这件事变得极不可能，这就是分集。
3.6 分集：用"多个独立的机会"把指数买回来#
3.6.1 一般原理#
直觉
一个人过河，只有一座独木桥，桥断了就完蛋（概率 \(p\)）。若有 \(L\) 座独立的桥，全断的概率是 \(p^L\)。分集的思想就是这么简单：制造 \(L\) 条统计独立的信号副本，只有它们同时深衰落时才出错。
形式化：若接收端能获得 \(L\) 条独立瑞利支路，则出错概率大致是"\(L\) 条全在深衰落"的概率：
这里的 \(\doteq\) 读作"指数意义下相等"：只比较 \(\bar{\gamma}\to\infty\) 时 \(\bar{\gamma}\) 的幂次，常数 \(c\) 不计较。据此，定义分集阶数（diversity order）为高 SNR 下误码率曲线在双对数坐标上的斜率：
物理意义
\(d\) 是"独立的救命机会有几个"。\(d=1\) 是无分集的瑞利（每 10 dB 换 1 个数量级），\(d=L\) 时每 10 dB 换 \(L\) 个数量级，\(d\to\infty\) 就退化回 AWGN 的瀑布曲线。
分集不改变平均信号强度，它改变的是分布的尾巴。
3.6.2 三种实现方式#
flowchart TB
D["分集：制造 L 条独立副本"] --> T["时间分集"]
D --> F["频率分集"]
D --> S["空间分集"]
T --> T1["交织 + 编码 / HARQ 重传<br/>间隔需大于相干时间 Tc"]
F --> F1["OFDM + 频域交织 / 跳频 / 扩频<br/>间隔需大于相干带宽 Bc"]
S --> S1["多天线收发 / 多小区协作<br/>间距需大于半波长"]
T1 --> TC["代价：时延"]
F1 --> FC["代价：带宽"]
S1 --> SC["代价：体积与成本"]三种分集的"独立性条件"直接来自第 2 章的三个相干量。记号上要提醒一下：本章的最大多普勒频移 \(f_d\) 与均方根时延扩展 \(\tau_{\text{rms}}\)，在第 2 章分别写作 \(f_m\) 与 \(\sigma_\tau\)。
| 方式 | 独立性条件 | 代价 | 何时不可用 |
|---|---|---|---|
| 时间分集 | 副本间隔 \(>\) 相干时间 \(T_c\approx 0.423/f_d\) | 时延 | 低时延业务；静止终端（\(f_d\to0\)，\(T_c\to\infty\)） |
| 频率分集 | 副本间隔 \(>\) 相干带宽 \(B_c\approx 1/(5\tau_{\text{rms}})\) | 带宽 | 窄带系统；平坦信道（\(\tau_{\text{rms}}\) 极小） |
| 空间分集 | 天线间距 \(>\lambda/2\)（丰富散射下） | 尺寸、射频链路成本 | 终端太小、频段太低（\(\lambda\) 太大） |
算例：三种分集各自的"门票价格"
载频 3.5 GHz（\(\lambda = 8.57\) cm），终端时速 30 km/h（\(v=8.33\) m/s）：
- 时间：多普勒 \(f_d = v f_c/c = 8.33\times 3.5\times10^{9}/3\times10^{8} = 97.2\) Hz，相干时间 \(T_c \approx 0.423/97.2 = 4.35\) ms。要拿到 2 阶时间分集，交织跨度至少 4.35 ms。对 1 ms 预算的 URLLC 业务，时间分集直接出局。
- 频率：城区 \(\tau_{\text{rms}}\approx 300\) ns，相干带宽 \(B_c \approx 1/(5\times 3\times10^{-7}) = 667\) kHz。100 MHz 载波里约有 \(100/0.667 \approx 150\) 个独立频块，所以频率分集在宽带系统里几乎是免费的，只要把编码块散布到整个带宽上。
- 空间：\(\lambda/2 = 4.3\) cm。手机机身长约 15 cm，塞 2~4 根间距足够的天线可行；但若在 700 MHz（\(\lambda=43\) cm，\(\lambda/2=21\) cm），手机上就放不下。低频段终端侧空间分集受物理尺寸硬约束。
3.6.3 最大比合并（MRC）的推导#
有了 \(L\) 条支路，怎么合并才最优？设
线性合并 \(z = \sum_{\ell} w_\ell^{*} y_\ell\)。
第 1 步：分离信号与噪声。
第 2 步：写出合并后信噪比。 噪声独立，方差相加：
第 3 步：用柯西–施瓦茨不等式给分子封顶。
第 4 步：代回。 取等号的条件是向量 \((w_1,\dots,w_L)\) 与 \((h_1,\dots,h_L)\) 成比例：\(w_\ell = c\,h_\ell\)。合并器对第 \(\ell\) 路实际乘的是 \(w_\ell^{*}=c^{*}h_\ell^{*}\)，即信道系数的共轭。
此时分子为 \(E_s|c|^2\bigl(\sum_\ell|h_\ell|^2\bigr)^2\)，分母为 \(N_0|c|^2\sum_\ell|h_\ell|^2\)，约分即得等号（\(\gamma_\ell=|h_\ell|^2E_s/N_0\)）：
物理意义
最优权重正比于信道系数的共轭，它同时做了两件事：
- \(\arg\) 部分抵消各支路的相位旋转，让信号同相相加（相干合并）；
- 模长部分给强支路更大权重、给弱支路更小权重（信噪比高的更可信）。
结论很漂亮：MRC 输出信噪比等于各支路信噪比之和，这也是它名字的由来。
行为分析
两种增益要分清。\(L\) 条支路平均信噪比相加，得到 \(\mathbb{E}[\gamma_{\text{out}}]=L\bar{\gamma}\)，这是 \(10\log_{10}L\) 的阵列增益（\(L=4\) 时 6 dB），它只是"收集了更多能量"。
真正救命的是分集增益。\(\sum_\ell|h_\ell|^2\) 是 \(L\) 个独立指数变量之和，服从 Gamma 分布：\(\gamma_{\text{out}}=\sum_\ell\gamma_\ell\) 的密度为
它在 0 附近 \(\propto \gamma^{L-1}\)。从 0 积到 \(\gamma_0\) 得
例如 \(\gamma_0/\bar{\gamma}=0.01\) 时，单支路约 \(10^{-2}\)，\(L=2\) 约 \(5\times10^{-5}\)。深衰落概率从一次反比变成了 \(L\) 次方反比。
BPSK + \(L\) 阶 MRC 的经典结果是
\(L=1\) 时退回 \(1/(4\bar{\gamma})\)，自洽。它的来历与 3.5 节的面积论证相同：把平坦密度 \(1/\bar{\gamma}\) 换成 0 附近的 \(\frac{\gamma^{L-1}}{(L-1)!\,\bar{\gamma}^{L}}\)，再对 \(Q(\sqrt{2\gamma})\) 积分。可以算出
代入即得上式。
算例：每加一根天线省多少 dB
目标 \(\text{BER}=10^{-5}\)，解 \(\binom{2L-1}{L}(4\bar{\gamma})^{-L}=10^{-5}\)：
| \(L\) | \(\binom{2L-1}{L}\) | 所需 \(\bar{\gamma}\) | 相对 \(L=1\) 节省 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 44.0 dB | — |
| 2 | 3 | 21.4 dB | 22.6 dB |
| 3 | 10 | 14.0 dB | 30.0 dB |
| 4 | 35 | 10.3 dB | 33.7 dB |
| AWGN 极限 | — | 9.6 dB | 34.4 dB |
读三件事：
- 第二根天线最值钱，一次省下 22.6 dB，比任何功率放大器都划算；
- 收益急剧递减，第 3、4 根只再省 7.4 和 3.7 dB；
- \(L\) 增大时曲线收敛到 AWGN。这是大数定律：支路一多，\(\frac{1}{L}\sum|h_\ell|^2\to 1\)，信道被"平均"成了确定性的。这就是大规模 MIMO"信道硬化"现象的源头（见第 5 章）。
怎么读这张图
- 纵轴是 BER，按对数刻度画；低于 \(10^{-10}\) 的部分截在图底。
- 第一条是 AWGN 的 \(Q(\sqrt{2\gamma})\)，13 dB 左右就跌出图框。
- 第二条是瑞利单支路 \(\frac12\big(1-\sqrt{\bar\gamma/(1+\bar\gamma)}\big)\)，SNR 每加 10 dB 只掉一个数量级，这就是 3.5 节的"从指数塌成反比"。
- 第三、四条是 2 支路、4 支路 MRC，斜率变成 \(-2\)、\(-4\) 个数量级每 10 dB。
\(L\ge2\) 的两条用的是 MRC 的精确式，高信噪比时与上面算例的近似式 \(\binom{2L-1}{L}(4\bar\gamma)^{-L}\) 重合。按精确式，\(10^{-5}\) 处 \(L=2\)、\(L=4\) 分别需要 21.3 dB 与 10.0 dB，近似式给的是 21.4 dB 与 10.3 dB。
3.7 OFDM：把一条难走的频选信道切成一堆好走的平坦信道#
3.7.1 第一步：难在哪#
宽带信号面对的是频率选择性信道。时域看，多径时延扩展 \(\tau_{\max}\) 让相邻符号互相拖尾，形成符号间干扰（ISI）：当符号周期 \(T_s \lesssim \tau_{\max}\) 时，一个符号的能量会溅到后面好几个符号上。
数量级
城区 \(\tau_{\max}\approx 1\ \mu\)s。若单载波传 100 Msym/s（\(T_s = 10\) ns），则拖尾跨越 \(1\ \mu\text{s}/10\ \text{ns} = 100\) 个符号，需要一个上百抽头的均衡器。
而最优的最大似然序列检测（Viterbi）复杂度是 \(O(M^{L})\)，\(M=16\)、\(L=100\) 时是 \(16^{100}\)，彻底不可行。即便退到线性均衡器，抽头数与信道变化速度的乘积也让实现代价高得离谱。这就是 1990 年代宽带无线的死结。
3.7.2 第二步：正交化，把一条宽路拆成 N 条窄路#
思路反过来：既然宽带信号会遇到频选，那就别发宽带信号。把 \(N\) 个符号并行地放到 \(N\) 个窄带子载波上，每个子载波的带宽 \(\Delta f = B/N\)。只要 \(\Delta f \ll B_c\)（相干带宽），每条子载波看到的信道就是平坦的，只是一个复标量。
代价是符号周期变成 \(N\) 倍长：\(T_u = 1/\Delta f = N/B\)。而 \(T_u \gg \tau_{\max}\) 恰恰意味着 ISI 相对可忽略。同一个"变长"的动作，既让频域变平坦，又让时域抗拖尾，这是一件事的两面。
关键问题：\(N\) 条子载波挤在同一段频谱里，怎么不互相干扰？答案是正交。取子载波间隔 \(\Delta f = 1/T_u\)，则在一个符号周期内：
物理意义
每条子载波的频谱是 \(\mathrm{sinc}\) 形，主瓣宽 \(2\Delta f\)、旁瓣很高，看起来互相重叠得一塌糊涂。但每条子载波的峰值恰好落在其他所有子载波的零点上。这是"重叠但不干扰"，频谱利用率因此比传统 FDM 的保护带方案高近一倍。
这组复指数正是 DFT 的基。在一个符号内等间隔取 \(N\) 个样点 \(t=nT_u/N\)，因 \(\Delta f\,t=n/N\)，发送信号 \(\sum_{k} X_k e^{j2\pi k\Delta f t}\) 变成
这恰好是 \(\{X_k\}\) 的 IDFT（差一个 \(1/N\) 因子）。所以调制/解调可以用 IFFT/FFT 实现，复杂度 \(O(N\log N)\)。OFDM 能从"理论正确"变成"工程可行"，靠的就是 FFT。
3.7.3 第三步：循环前缀（CP），最后一块拼图#
正交性只在"接收端积分窗内恰好是整数个周期"时成立。多径会让不同时延的副本错位，破坏这个条件，造成子载波间干扰（ICI），同时残余的 ISI 也还在。解决方案是循环前缀：把每个 OFDM 符号尾部的 \(T_{cp}\) 段复制到符号最前面。
它同时解决两个问题：
- 吃掉 ISI：只要 \(T_{cp} \ge \tau_{\max}\)，前一个符号的拖尾全部落在 CP 区间内，接收端把 CP 丢掉即可；
-
把线性卷积变成循环卷积：这是 CP 真正的魔法。信道的作用本来是线性卷积，加了 CP 之后在有效窗内等效为循环卷积，而循环卷积的 DFT 是逐点相乘：
\[ y[n] = \sum_{l=0}^{L-1} h[l]\, x[(n-l) \bmod N] + w[n] \;\xrightarrow{\ \text{DFT}\ }\; Y_k = H_k X_k + W_k \]
为什么丢掉 CP 后剩下的就是循环卷积
设离散信道有 \(L\) 个抽头 \(h[0],\dots,h[L-1]\)（这里的 \(L\) 是抽头数，不是 3.6 节的分集支路数），CP 长 \(N_{\text{cp}}\ge L-1\) 个样点。发端送出 \(x[N-N_{\text{cp}}],\dots,x[N-1],\,x[0],\dots,x[N-1]\)，即编号 \(m=-N_{\text{cp}},\dots,N-1\) 的发送样点等于 \(x[m \bmod N]\)。
信道照旧做线性卷积，第 \(n\) 个输出用到编号 \(n-l\) 的样点。接收端只保留 \(n=0,\dots,N-1\)，此时 \(n-l\ge-(L-1)\ge-N_{\text{cp}}\)：用到的样点全在本符号及其 CP 之内，碰不到前一个符号，ISI 消失。
\(n-l<0\) 时取到的是 CP 样点，其值正是 \(x[(n-l)\bmod N]\)。所以这 \(N\) 个输出与循环卷积逐项相等。
看一个极小的例子。\(N=4\)，\(h=[1,\ 0.5]\)，\(x=[a,b,c,d]\)，CP 取最后 1 个样点，实际发送 \(d,a,b,c,d\)。丢掉 CP 后收到 \([\,a+0.5d,\ b+0.5a,\ c+0.5b,\ d+0.5c\,]\)，其中 \(0.5d\) 就是"绕回来"的循环项。不加 CP 时，第一项会是 \(a\) 加 0.5 倍的前一符号末样点，既有 ISI，又不再是循环结构。
循环卷积的 DFT 为何是逐点相乘
令 \(m=(n-l)\bmod N\)。由于 \(e^{-j2\pi kn/N}\) 以 \(N\) 为周期，\(e^{-j2\pi kn/N}=e^{-j2\pi kl/N}e^{-j2\pi km/N}\)，且 \(n\) 走遍 \(0,\dots,N-1\) 时 \(m\) 也恰好走遍一次，于是
其中 \(H_k\) 是信道冲激响应（补零到 \(N\) 点）的 DFT，即第 \(k\) 个子载波上的复信道增益。
物理意义
\(Y_k = H_k X_k + W_k\) 是本节最重要的一行公式。它说的是：在频域上，一个复杂的多径信道被彻底对角化成 \(N\) 个独立的标量信道。
均衡从"上百抽头的滤波器"退化成"每个子载波除以一个复数"（\(\hat{X}_k = Y_k/H_k\)，单抽头频域均衡）。4G/5G/Wi-Fi 全都选择 OFDM，根本原因就在这里。
行为分析
代价有三个，要老实承认：
- CP 是纯开销：\(T_{cp}/(T_u+T_{cp})\) 的时间和能量白白扔掉；
- PAPR 高：\(N\) 个独立子载波叠加，峰值可达平均值的很多倍，逼得功放退避工作、效率下降（这也是 5G 上行保留 DFT-s-OFDM 的原因）；
- 对频偏与相噪敏感：正交性依赖精确的频率对齐，载波频偏 \(\delta f\) 一旦超过 \(\Delta f\) 的百分之几，ICI 就爆炸。
3.7.4 5G numerology 参数算例#
5G NR 把子载波间隔参数化为 \(\Delta f = 2^{\mu}\times 15\) kHz：
| \(\mu\) | \(\Delta f\) | 符号有效长 \(T_u = 1/\Delta f\) | 普通 CP | 时隙长度 | 典型用途 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 15 kHz | 66.67 μs | 4.69 μs | 1 ms | FR1 大覆盖、兼容 LTE |
| 1 | 30 kHz | 33.33 μs | 2.34 μs | 0.5 ms | FR1 主力（100 MHz） |
| 2 | 60 kHz | 16.67 μs | 1.17 μs | 0.25 ms | 低时延、可选扩展 CP |
| 3 | 120 kHz | 8.33 μs | 0.59 μs | 0.125 ms | FR2 毫米波 |
| 4 | 240 kHz | 4.17 μs | 0.29 μs | 0.0625 ms | 仅用于同步信号块 |
算例：为什么毫米波必须用大子载波间隔
CP 开销：\(\mu=1\) 时 \(\frac{2.34}{33.33+2.34}=6.6\%\)。所有 numerology 的相对开销都约 7%，因为 CP 与 \(T_u\) 等比例缩放。
CP 能罩住多长的多径：\(\mu=1\) 的 2.34 μs 对应路程差 \(c\times 2.34\ \mu\text{s} = 702\) m。城区宏站的多径时延扩展典型值 0.5~2 μs，刚好够用；而 \(\mu=3\) 的 0.59 μs 只能罩住 177 m 的路程差。毫米波只能用在小覆盖、少反射的场景，这是 CP 长度带来的硬约束，没有选择余地。
为什么毫米波又不得不用大 \(\Delta f\)：相位噪声与多普勒都随载频线性增长。28 GHz、时速 60 km/h 时 \(f_d = 16.7\times 28\times10^{9}/3\times10^{8} = 1556\) Hz。要让 ICI 可忽略，工程经验是 \(f_d/\Delta f \lesssim 1\%\)：
- \(\mu=0\) 时 \(1556/15000 = 10.4\%\)（不可接受）；
- \(\mu=3\) 时 \(1556/120000 = 1.3\%\)（勉强可用）。
于是毫米波被夹在两头：\(\Delta f\) 必须大才能抗频偏，而 \(\Delta f\) 大又会让 CP 变短、覆盖变小。这就是 numerology 设计的真实张力。
FFT 尺寸：100 MHz、\(\mu=1\)，取 \(N=4096\)，采样率 \(4096\times 30\ \text{kHz} = 122.88\) MHz，占用 3276 个子载波（80% 填充率），其余作保护带。
3.7.5 OFDM 与分集的关系#
OFDM 把频选信道拆成了平坦子信道，这容易让人误以为它自带频率分集。下面的提示说明实际情况。
OFDM 与分集的关系
OFDM 本身不提供分集，它只是把频选信道拆开。若不加编码，落在深衰落子载波上的比特照样全错，平均 BER 仍是 \(1/(4\bar{\gamma})\) 量级。
必须配合跨子载波的信道编码与交织（即 5G 的 LDPC + 频域交织），把一个码字散布到许多个独立衰落的子载波上，才把频率分集真正兑现出来。"OFDM 抗多径"这句话严格说应该是："OFDM 让多径变得可管理，编码把多径变成好处"。
3.8 链路预算：把整章串成一次真实计算#
3.8.1 从发射机到接收机的 dB 加减法#
链路预算就是一条从发射机到接收机的 dB 加减法，它是本章所有概念的汇合点。基本恒等式：
算例：3.5 GHz 宏站下行，500 m 处能跑多快
① 发端：基站发射功率 \(P_t = 46\) dBm（40 W），有源天线阵增益 \(G_t = 25\) dBi，馈线损耗 \(L_t = 2\) dB。
② 路径损耗：用第 2 章的对数距离模型，参考点 1 m，截距取 1 m 处的自由空间路损。
下式按 \(d\) 以 km、\(f\) 以 MHz 代入。第 2 章按 m 与 GHz 代入，写成 \(32.45+20\log_{10}(1)+20\log_{10}(3.5)\)，常数只差舍入，结果同为 43.3 dB：
取路损指数 \(n = 3.5\)（城区非视距）：
③ 余量：阴影衰落余量 \(M_{\text{sh}} = 8\) dB（对应约 90% 位置覆盖率），人体遮挡 \(L_{\text{misc}} = 3\) dB，终端天线 \(G_r = 0\) dBi。
④ 接收功率：
⑤ 噪声（\(B = 98.28\) MHz，\(NF = 7\) dB）：
⑥ 信噪比：
⑦ 查 MCS 表定调制：MCS（modulation and coding scheme，调制与编码方案）表的每一档是一组"调制阶数 + 码率"及其所需 SNR，本节后面的对照表就是它的简化版。7.3 dB 落在 16QAM、码率约 1/2 的档位，频谱效率约 2 bit/s/Hz。
⑧ 吞吐：\(7.9\times10^{7}\) RE/s \(\times\ 2\) bit/RE \(=158\) Mbps/层；4 层复用约 630 Mbps。
与 3.1 节的 2.1 Gbps 峰值一比就明白了：峰值速率与真实速率之间隔着的，就是这份链路预算表。
3.8.2 调制阶数与所需 SNR#
调制阶数与所需 SNR 的对照，是链路自适应的查找表。下表为工程数量级，实际数值由 3GPP MCS 表按 10% 的 BLER 目标给出。BLER 是块差错率（block error rate），即一个编码块译码失败的概率；10% 的目标之所以能接受，是因为出错的块会由 HARQ 重传补救。
| 调制 + 码率 | 频谱效率 | 香农下界 \(2^{\eta}-1\) | 实测所需 SNR（数量级） | 实现差距 |
|---|---|---|---|---|
| QPSK 1/2 | 1.0 bit/s/Hz | 0.0 dB | ~2 dB | 2 dB |
| QPSK 3/4 | 1.5 | 2.6 dB | ~5 dB | 2.4 dB |
| 16QAM 1/2 | 2.0 | 4.8 dB | ~7 dB | 2.2 dB |
| 16QAM 3/4 | 3.0 | 8.5 dB | ~11 dB | 2.5 dB |
| 64QAM 3/4 | 4.5 | 13.4 dB | ~15.6 dB | 2.2 dB |
| 256QAM 3/4 | 6.0 | 18.0 dB | ~21 dB | 3.0 dB |
行为分析
现代 LDPC/Turbo 码把与香农极限的差距压到了 2~3 dB，编码这一环基本"做到头了"。
上表六档的差距都在 2.0–3.0 dB 之间，实测门限的口径不一，只取量级。64QAM 3/4 一行按一组公开的 5G NR 链路级仿真取值：AWGN、单天线、BLER 10% 时，64QAM、码率 772/1024（约 3/4）的门限约 15.6 dB [13]。
这个事实很重要：未来的容量增长几乎不可能再来自编码，只能来自更多的空间自由度（MIMO）、更多的带宽（毫米波/太赫兹）或更好的环境（RIS 等）。这是本站四部前沿内容的出发点。
3.8.3 链路预算的敏感度#
算例：链路预算的敏感度
- 距离翻倍（500 m → 1 km）：路损增加 \(35\log_{10}2 = 10.5\) dB，SNR 降到 \(-3.2\) dB。连 QPSK 1/2 都不够，用户掉入覆盖空洞，只能靠重复传输或更低 MCS 抢救。
- 换算成覆盖半径：在 \(n=3.5\) 下，多 3 dB 链路余量换来的距离增益是 \(10^{3/35} = 1.22\)，即 +22% 覆盖半径、约 +49% 覆盖面积。这解释了为什么运营商愿意为几个 dB 的天线增益付大价钱。
- 带宽减半（98.28 → 49.14 MHz）：噪声 \(-3\) dB，SNR 升到 10.3 dB，仍够不上上表 16QAM 3/4 所需的约 11 dB。
- 只能留在 16QAM 1/2，频谱效率不变而带宽减半，吞吐 \(158 \to 79\) Mbps/层。
- 就算乐观地升到 16QAM 3/4（\(2\to3\) bit/s/Hz），也只有 118 Mbps/层，净亏。
理论上减带宽从不增加容量：香农公式 \(B\log_2\big(1+P/(N_0B)\big)\) 随带宽单调递增，带宽很大、SNR 很低时只是逐渐饱和，趋于 \(P/(N_0\ln 2)\)（第 4 章 4.7 节）。
工程上"覆盖受限时窄带更好"来自最低 MCS 门限：SNR 低到连最低一档都解不了时，把功率集中到窄带能把 SNR 抬过门限。高 SNR 段则是宽带更好。这个跷跷板正是功率/带宽联合分配问题的雏形，完整答案在第 7 章的注水解里。
3.8.4 硬件不完美：等效噪声底#
硬件不完美的折叠：等效噪声底
上面的链路预算里，噪声只有热噪声一项。真实的收发机还有自己制造的"噪声"：功放的非线性、本振的相位噪声、数模与模数转换的量化、I/Q 两路的不平衡。
它们让发出去的星座点偏离理想位置，工程上用误差矢量幅度（error vector magnitude, EVM）来量：偏差矢量的均方根除以理想信号的均方根。最常用的处理是把它当成一份与信号功率成正比的额外噪声，"折叠"进信噪比：
物理意义
热噪声与信号无关，加大功率就能把它压下去；EVM 代表的失真随信号一起变大，加大功率压不下去。所以有效 SNR 有一个天花板 \(1/\mathrm{EVM}^2\)，换成 dB 是 \(-20\log_{10}\mathrm{EVM}\)：EVM 为 1%、3%、8% 时，天花板分别是 40.0、30.5、21.9 dB。
以 EVM 3% 为例，SNR 为 20、30、40 dB 时，有效 SNR 分别是 19.6、27.2、30.0 dB。低 SNR 时几乎没有影响，高 SNR 时被天花板钉死。
这个天花板就是标准要给发射机规定 EVM 上限的原因。具体要求如下：
- 基站下行（TS 38.104 [21]）：QPSK 17.5%、16QAM 12.5%、64QAM 8%、256QAM 3.5%。
- Rel-17 引入的 1024QAM：载频 4.2 GHz 及以下为 2.5%，以上为 2.8%。
- 终端发射（TS 38.101-1 [22]）：从 QPSK 到 256QAM 的要求与基站相同。
换算成天花板：8% 对应 21.9 dB，3.5% 对应 29.1 dB，2.5% 对应 32.0 dB。对照上面的门限表，64QAM 3/4 要约 15.6 dB，256QAM 3/4 要约 21 dB，天花板给它们各留了 6–8 dB 的余量。调制每升一档，所需 SNR 就高一截，发射机自己的失真也就得再压一档。
什么时候不能这样折叠？失真在多根天线之间相关的时候。几十根天线的功放被同一路信号驱动，非线性失真会随信号一起被波束赋形；在单用户、视距主导的情形里，它会朝用户方向聚集，而不是均匀地撒向四周。这时把它当成各天线上独立的白噪声，会低估它对目标用户的伤害。
折叠是一个好用的近似，用之前要先确认失真确实"像噪声"。用错模型要付多少代价，一般原理见第二部 4.2 节。
3.9 信道编码与 HARQ：一页通#
3.4–3.6 节算的都是不编码的误码率：每个符号单独判决，SNR 不够就错。第 4 章 4.5 节的香农定理说的是另一回事：只要速率低于容量，把很多比特编进一个长码字，错误概率可以任意小。
信道编码就是兑现这个承诺的工程，3.8 节的门限表已经说明兑现到了什么程度：现代码离香农极限只差 2–3 dB。本节讲三件事：5G 为什么同时用两种码，码长有限时要付多少代价，以及没收对的时候怎样补救。
3.9.1 编码在做什么#
最朴素的码是重复码，一个比特发三遍，收端多数表决。它的可靠性涨得慢，速率掉得快（第 4 章 4.5 节的算例算过它离容量有多远）。好的码让每个校验关系牵连好几个比特，每个比特又参与好几个校验，任何一个比特错了，都会在几个校验里同时露出马脚，接收端顺着这些线索反复推断。
LDPC 码（低密度奇偶校验码，Gallager 1962 [14]）把校验关系写成一个很稀疏的矩阵：每个校验只涉及少数比特，每个比特只参与少数校验。译码时，比特节点和校验节点在一张二分图上来回传递"这一位是 0 还是 1 的把握有多大"，叫置信传播；每一轮里所有节点可以同时计算，天然适合并行硬件。它在 1960 年代因为算不动被搁置，1990 年代被重新发现，如今是 Wi-Fi、卫星电视和 5G 数据信道的主力。
Polar 码（极化码，Arıkan 2009 [15]）是第一个被证明能以 \(O(N\log N)\) 的编译码复杂度达到二进制输入对称信道容量的构造性码。它把 \(N\) 个相同的信道反复"两两组合、再拆开"，拆出来的 \(N\) 个虚拟信道会两极分化：一部分几乎没有噪声，一部分几乎全是噪声。信息比特只放在好的那部分上，坏的那部分填上收发双方事先约定的固定值。
最容易看清"极化"的是删除信道：每个比特以概率 \(\epsilon\) 被擦掉，收端知道哪些位置被擦掉了。取两个比特 \(u_1,u_2\)，发送 \(x_1=u_1\oplus u_2\) 和 \(x_2=u_2\)。
- 先译 \(u_1\)：必须 \(x_1\)、\(x_2\) 都收到才行，被擦掉的概率变成 \(1-(1-\epsilon)^2=2\epsilon-\epsilon^2\)，信道变差了。
- 再在已知 \(u_1\) 的条件下译 \(u_2\)：\(x_2\) 收到了可以直接读，\(x_1\) 收到了也能用 \(x_1\oplus u_1\) 算出来，两个都被擦掉才失败，概率是 \(\epsilon^2\)，信道变好了。
两个新信道的容量之和是 \((1-2\epsilon+\epsilon^2)+(1-\epsilon^2)=2(1-\epsilon)\)，总量一点没少，只是被重新分配了。
\(\epsilon=0.5\) 时，一步之后擦除概率是 0.75 和 0.25，两步之后是 0.9375、0.5625、0.4375、0.0625；递归十次得到 1024 个信道，其中 382 个的擦除概率低于 0.01，382 个高于 0.99，平均容量仍是 0.5。递归次数越多，夹在中间的信道占比越小，好信道的比例趋于容量 \(1-\epsilon\)。
3.9.2 5G 的两套码：数据用 LDPC，控制用 Polar#
5G NR 的信道编码分工如下：
- 业务数据（下行与上行共享信道）：LDPC。
- 下行控制信息和广播信道：Polar。
- 上行控制信息超过 11 比特：Polar。
- 上行控制信息 11 比特及以下：用短码。1 比特用重复编码，2 比特用单纯形码，3 到 11 比特用 (32, K) 线性分组码，业界通常叫它 RM 码（TS 38.212 [18]）。
分工的理由在于两类信息的形状不同。
数据块长，要的是每秒几个吉比特的吞吐和低时延，LDPC 的并行译码正合适。它有两张基图，一张对应大块、高码率，一张对应小块、低码率，用同一套结构覆盖从几十到上万比特的块长。
选哪张基图有明确规则：传输块不超过 292 比特，或不超过 3824 比特且码率不超过 0.67，或码率不超过 0.25，用基图 2，其余用基图 1（TS 38.212 §6.2.2、§7.2.2）。
控制信息短，常常只有几十比特，却必须极其可靠：控制信道一错，整个时隙的数据都白发了。Polar 码配合循环冗余校验辅助的列表译码，在这种短块长上表现很好。
3.9.3 短包的代价：码长有限时差多少#
香农容量是码长趋于无穷时的极限。码长为 \(n\) 个信道使用、要求错误概率不超过 \(\epsilon\) 时，能达到的最高速率由 Polyanskiy–Poor–Verdú 2010 的正态近似刻画 [16]：
\(Q^{-1}\) 是 3.4 节 \(Q\) 函数的反函数，\(V\) 叫信道色散（channel dispersion），度量每次信道使用携带的信息量围绕均值 \(C\) 起伏有多大。复高斯 AWGN 信道上
物理意义
码长有限时，噪声在一个码字里"运气不好"的概率不可忽略，必须留出余量。余量按 \(1/\sqrt n\) 缩小，要求越可靠（\(\epsilon\) 越小、\(Q^{-1}(\epsilon)\) 越大），余量越大。
行为分析
SNR 为 0 dB 时 \(C=1\)、\(V=1.561\)。要求 \(\epsilon=10^{-5}\)（\(Q^{-1}=4.265\)）时：
- \(n=100\)：\(R^*\approx1-\sqrt{1.561/100}\times4.265=0.47\)，只有容量的 47%；
- \(n=1000\)：0.83；
- \(n=10000\)：0.95。
SNR 为 10 dB 时代价小一些，\(n=100\) 时是容量的 82%，\(n=1000\) 时 94%。近似式再加一项 \(\frac{\log_2 n}{2n}\) 会更准，\(n=100\) 时多出 0.03，不改变量级。
低时延高可靠业务（URLLC）的包往往只有几十个字节、要求 \(10^{-5}\) 量级的错误概率，恰好落在代价最重的角落。一个 32 字节（256 比特）的包，SNR 0 dB、\(\epsilon=10^{-5}\)：按容量只需 256 次信道使用，按正态近似要约 357 次，多出四成。
怎么读这张图
- 第一条线是 SNR 0 dB，第二条线是 SNR 10 dB，都按正态近似的两项式 \(C-\sqrt{V/n}\,Q^{-1}(\epsilon)\) 计算。
- 码长每翻十倍，差距大约缩到原来的三分之一（\(1/\sqrt{10}\)）。
- 低 SNR 时信道色散相对容量更大，短码吃亏更多。
第 9 章 9.5 节提到深度联合信源信道编码在短块长下表现好，原因也在这里：分离定理"码长趋于无穷"的前提在短包里不成立。
3.9.4 HARQ：没收对，就再发一点#
一次发送总有译不出来的时候。最朴素的办法是自动重传（ARQ）：错了就整包重发，收端把错包扔掉。混合自动重传（HARQ）多做一步：错包不扔，留着它的软信息，和重传的内容合起来再译。合并有两种：
- Chase 合并 [17]：重传完全相同的编码比特，收端把两次收到的信号按最大比合并（3.6 节），等效 SNR 相加。
- 增量冗余（incremental redundancy, IR）：重传新的校验比特，码字越拼越长、码率越来越低，相当于把两次收到的互信息相加。
两次传输、每次 SNR 都是 \(\gamma\) 时
\(\gamma=10\) dB 时，单次是 3.46，Chase 合并后 4.39，增量冗余后 6.92 b/s/Hz（按第一次发送的符号数计）。如果第一次按 6 b/s/Hz 发、没译出来，Chase 合并之后仍然不够，增量冗余就够了。\(\gamma\) 低时两者接近（0 dB 时 1.58 对 2.00），高时差距拉大。
NR 的 LDPC 用环形缓冲区做速率匹配，每次重传从缓冲区的不同起点取比特，起点由冗余版本号决定，重复传输时按 0、2、3、1 的顺序轮换（TS 38.214 [19]）。
规范要求接收端把重传与缓存里的软信息合并后再译，具体用什么合并算法由实现决定。按默认的冗余版本顺序，每次重传送的多是新的校验比特，所以 NR 实际工作在增量冗余方式。
HARQ 是"停等"式的：发一包，等反馈。为了不让链路干等，同时开几个 HARQ 进程轮流用，进程数要盖住从发出到收到反馈的往返时间。NR 每个小区下行、上行各最多 16 个进程（下行未配置时默认 8 个）。
卫星链路的往返时间长得多（第 11 章 11.1 节）：600 km 低轨透明转发时最大往返时延约 26 ms（TR 38.821 [20]），按 1 ms 的时隙算就要二十几个进程才不会停下来等；高轨约 541 ms，进程再多也盖不住。
所以 Rel-17 为卫星把进程数上限加到 32，同时允许干脆关掉 HARQ 反馈。32 个进程后来也用到了 52.6–71 GHz 频段和 Rel-19 地面网络的下行，前提都是终端声明支持（TS 38.214、38.306）。
3.9.5 6G 怎么办#
6G 研究在 2025 年 10 月的 RAN1#122bis 会议上定下：数据（含系统信息块）用 LDPC，超过 11 比特的物理层控制信息（含广播信道）用 Polar。在 NR 已覆盖的速率和净荷范围内直接复用 NR 的 LDPC 与 Polar 设计，当时还是一条"工作假设"，为超出 NR 范围的峰值速率扩展 LDPC 则继续研究。
这是"采纳"线索的一个好例子：编码离极限只差 2–3 dB，再换一套码，收益抵不上芯片、测试与兼容的代价。编码上真正还有空间的，是短包、低时延、联合信源信道编码这些"码长无穷"不再成立的场景。
常见误解#
初学者常踩的坑
-
"SNR 和 \(E_b/N_0\) 是一回事。" 两者差一个频谱效率因子：\(\text{SNR} = \frac{E_b}{N_0}\cdot\frac{R_b}{B} = \frac{E_b}{N_0}\cdot\eta\)。
比较不同调制阶数的性能必须用 \(E_b/N_0\)，因为它把速率差异折算掉了。做链路预算、判定能否解调必须用 SNR，那是接收机端真实测得的量。混用这两个坐标系，是初学者最常见的算错来源。
-
"衰落的危害就是信号平均变弱了，加功率就行。" 3.5 节的推导里 \(\mathbb{E}[|h|^2]=1\)，平均功率没有任何损失，误码率却从指数塌成反比。
真正的杀手是分布的尾巴，也就是偶发的深衰落。加功率只能让深衰落概率一次反比地下降（每 10 dB 换 1 个数量级），而分集能让它 \(L\) 次方地下降。要对付方差，靠的是分集，加功率帮不上多少忙。
-
"OFDM 天生抗多径，所以 OFDM 系统不怕频选衰落。" OFDM 只做了"对角化"：把频选信道拆成 \(N\) 个平坦子信道，落在深衰落子载波上的符号照样全军覆没。
必须靠跨子载波的编码+交织，才能真正兑现频率分集。没有编码的裸 OFDM，平均 BER 和单载波瑞利一样差。
-
"星座点越多速率越高，所以尽量用高阶调制。" 高阶调制只在 SNR 足够时才有意义。
SNR 不够时强上 256QAM，BLER 会飙到接近 1，HARQ 反复重传，有效吞吐反而低于老老实实用 QPSK。链路自适应存在的全部意义，就是选对这个工作点。
-
"CP 加得越长越安全。" CP 是纯开销：加长 CP 直接按比例削减有效吞吐与能量效率。
\(T_{cp}\) 应当匹配实际的时延扩展，这就是 5G 提供多套 numerology、并为特殊场景保留扩展 CP 的原因。"为了保险统一用最长 CP"，是拿全网吞吐去买一个大多数场景用不上的保险。
通往前沿#
3.8 节的链路预算算例已经暴露了一个问题：功率、带宽、调制阶数三者的组合不能随便挑，它是一个有约束的最优化问题。多用户、多子载波场景下它的标准答案是注水（water-filling）。本站第三部会从经典的凸优化视角把它讲透，见资源分配的经典地基，其数学准备在第 7 章。
而 3.5 与 3.6 节的故事有一个更深的续集。我们用"独立支路"这个假设换来了 \(\bar{\gamma}^{-L}\)，可真实环境里的支路从来不是独立的。它们的相关性由散射体的空间分布决定，是环境的几何属性，不是可以随便假设的统计参数。
当天线数走向成百上千、孔径走向连续，"到底有几个真正独立的自由度"就不再能靠数天线个数回答，必须回到电磁场本身。这是第一部的主线，见空间结构与自由度。
本章的多天线合并思想在第 5 章展开为完整的 MIMO 理论，而"可靠通信的极限究竟在哪"则由第 4 章的容量理论回答。
3.9 节的短包代价是另一条线：码长有限时，香农极限本身要打折扣，这是低时延业务与联合信源信道编码的理论入口（第 9 章 9.5 节）。
本章所在的线索：采纳、残差与失配、极限与基线。在八条线索一页里，可以顺着这几条线读到四部的相关章节。
参考文献#
- D. Tse and P. Viswanath, Fundamentals of Wireless Communication. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 2005.
- A. Goldsmith, Wireless Communications. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 2005.
- J. G. Proakis and M. Salehi, Digital Communications, 5th ed. New York: McGraw-Hill, 2008.
- A. F. Molisch, Wireless Communications, 2nd ed. Chichester, U.K.: Wiley-IEEE Press, 2011.
- T. M. Cover and J. A. Thomas, Elements of Information Theory, 2nd ed. Hoboken, NJ: Wiley, 2006.
- B. Sklar, "Rayleigh fading channels in mobile digital communication systems, Part I: Characterization," IEEE Communications Magazine, vol. 35, no. 7, pp. 90–100, 1997.
- R. W. Chang, "Synthesis of band-limited orthogonal signals for multichannel data transmission," Bell System Technical Journal, vol. 45, no. 10, pp. 1775–1796, 1966.
- S. B. Weinstein and P. M. Ebert, "Data transmission by frequency-division multiplexing using the discrete Fourier transform," IEEE Transactions on Communication Technology, vol. 19, no. 5, pp. 628–634, 1971.
- A. Peled and A. Ruiz, "Frequency domain data transmission using reduced computational complexity algorithms," in Proc. IEEE ICASSP, 1980, pp. 964–967.
- D. G. Brennan, "Linear diversity combining techniques," Proceedings of the IRE, vol. 47, no. 6, pp. 1075–1102, 1959.
- C. E. Shannon, "A mathematical theory of communication," Bell System Technical Journal, vol. 27, pp. 379–423 and 623–656, 1948.
- 3GPP TS 38.211, "NR; Physical channels and modulation," 3rd Generation Partnership Project, Release 15 及后续版本.
- H. Hong, K.-K. Wong, H. Li, H. Xu, H. Xiao, H. Shin, K.-F. Tong, and Y. Zhang, "FAS meets OFDM: Enabling wideband 5G NR," IEEE Transactions on Communications, vol. 73, no. 11, pp. 12884–12898, 2025. DOI: 10.1109/TCOMM.2025.3591751（预印本 arXiv:2503.05384，题为 "Fluid antenna system empowering 5G NR"；本章所用门限取自预印本表 II）
- R. G. Gallager, "Low-density parity-check codes," IRE Transactions on Information Theory, vol. 8, no. 1, pp. 21–28, 1962. DOI: 10.1109/TIT.1962.1057683
- E. Arıkan, "Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels," IEEE Transactions on Information Theory, vol. 55, no. 7, pp. 3051–3073, 2009. DOI: 10.1109/TIT.2009.2021379
- Y. Polyanskiy, H. V. Poor, and S. Verdú, "Channel coding rate in the finite blocklength regime," IEEE Transactions on Information Theory, vol. 56, no. 5, pp. 2307–2359, 2010. DOI: 10.1109/TIT.2010.2043769
- D. Chase, "Code combining—A maximum-likelihood decoding approach for combining an arbitrary number of noisy packets," IEEE Transactions on Communications, vol. 33, no. 5, pp. 385–393, 1985. DOI: 10.1109/TCOM.1985.1096314
- 3GPP TS 38.212, "NR; Multiplexing and channel coding," V19.4.0, 2026（§5.3.3、§6.2.2、§7.2.2）.
- 3GPP TS 38.214, "NR; Physical layer procedures for data," V19.5.0, 2026（§5.1、§6.1）.
- 3GPP TR 38.821, "Solutions for NR to support non-terrestrial networks (NTN)," V16.2.0, Table 4.2-2.
- 3GPP TS 38.104, "NR; Base Station (BS) radio transmission and reception," V19.6.0, 2026（§6.5.2）.
- 3GPP TS 38.101-1, "NR; User Equipment (UE) radio transmission and reception; Part 1: Range 1 Standalone," V19.6.0, 2026（§6.4.2.1）.