3 · 任务-知识格：每个任务到底需要环境的什么#

同一间房，三个任务，三张价签。

波束管理要知道信号从哪个方向来，64 个波束里挑一个，最多 6 比特。切换判决只要知道邻区是不是比本区强，1 比特。中断预测既不要方向，也不要"谁更强"，它要的是增益分布的尾巴，也就是一条曲线的最左端。三个任务面对的是同一个环境，同一份信道知识地图。它们从中各取一小块，取的块互不相同，大小相差好几个数量级。

这件事人人都知道，却没有人把"任务需要什么"写成一个数学对象。第 2 章给了"谁更有信息"的语言（Blackwell 序）和"差多少"的数（Le Cam 亏格），但两者都任务无关，对一切任务取最坏，所以常常偏松。同一个亏格 0.08 在 MMSE 任务上松了 8 倍（算例 2.3(d)），粗化一次的亏格 0.5 在波束任务上只兑现了 0.25（算例 2.4）。要把界收紧，就得回答本章标题里的问题：这个任务到底需要环境的哪一部分？

答案落在一个 1953 年就存在的对象上：Shannon 的信息格（lattice of information）[1]。本章把任务映射为格中的元素，称为"任务类充分统计量"。顶元素是第一部 Q1 的"信道看得见的一切"，底元素是单个任务的最优动作本身，中间就是任务格。然后用间接率失真（1962 年就有的编码定理）给格里每个元素标上比特价签。

本章预备知识

只需概率论、线性代数与信号与系统的本科内容，以及本部前两章。用到的内容：

熵 \(H(\cdot)\)、条件熵、互信息、二元熵函数 \(h(\cdot)\)（预备篇记作 \(H_b\)）、率失真函数 \(R(D)\) 的定义：预备篇 4（率失真在 4.9 节）。
实验 = 行随机矩阵、garbling = 矩阵相乘、Blackwell 定理（定理 2.1）及其证明里的向量 \(\mathbf{v}_j\) 与凹函数 \(\psi\)、Le Cam 亏格（定义 2.3）、风险界（定理 2.2）、引理 2.3 的三角不等式与两条单调性：第 2 章。
链 \(T=\pi\circ\mathcal{D}\circ\mathcal{C}\circ\Phi(\mathcal{E})\) 与两种退化：第 1 章 §1.2–1.3。
有效维度 \(d_{\mathrm{eff}}(E;\varepsilon)\) 与环境等价类 \([E]_\varepsilon\)：第一部第 8 章。地图是分布泛函 \(m_T(\mathbf{x})=T[P(h\mid\mathbf{x})]\)：第一部第 7 章。

预备篇只给了高斯信源的率失真闭式。本章要用的二元对称源闭式 \(R(D)=1-h(D)\)，在算例 3.6 第四步就地推出。

**不需要测度论。**文献里的"\(\sigma\)-代数"在本章一律写成"划分"（partition）：把观测空间切成若干块，一个统计量就是一种切法。有限情形下两者是同一件事，本章只在备注里点一句对应关系。

3.1 三个任务、三个比特数，与一个陷阱#

先把开头那三张价签算清楚，再指出其中藏着的陷阱。这个陷阱本身就是本章的主定义。

**波束管理。**基站有一个 64 波束的码本，对每个终端位置要选出增益最大的那个。答案是一个索引，\(\log_2 64=6\) 比特。这是个算术事实，不依赖任何标准表格：64 个东西里挑一个，6 比特恰好够用。

**切换判决。**LTE / NR 里同频切换约九成由 A3 事件触发：邻区比本区强出一个门限就切。判决结果只有"切 / 不切"，1 比特。

中断预测。问"这个位置在未来一段时间里链路断掉的概率是否超过 \(p\)"。要回答它，必须知道增益的下尾分布，也就是分布函数最左边那一小段。均值和最强方向在这里都不够用。

三个任务，三种知识，三个量级：一条曲线 \(\gg 6\) 比特 \(\gg 1\) 比特。

现在看陷阱。"切换只要 1 比特"这句话成立的前提是门限固定。A3 判决里有两个门限参数：

偏置 \(\mathrm{Off}\)（offset）规定邻区至少要强出多少。
迟滞 \(\mathrm{Hys}\)（hysteresis）让进入门限与离开门限错开，防止终端在边界附近来回"乒乓"切换。

把 A3 的判决式写出来，其中 \(M_s,M_n\) 为本区与邻区测量值，单位 dB，忽略小区个体偏移：

\[ \text{进入：}\ M_n-\mathrm{Hys}>M_s+\mathrm{Off},\qquad \text{离开：}\ M_n+\mathrm{Hys}<M_s+\mathrm{Off} . \]

算例 3.1（切换到底要几比特：门限固定 vs 门限可调）

取 LTE / NR 同频切换中一组常见配置：\(\mathrm{Off}=3\) dB、\(\mathrm{Hys}=1\) dB、触发时延 TTT（time-to-trigger）\(=320\) ms。记增益差 \(\Delta:=M_n-M_s\)。

**门限固定。**进入条件即 \(\Delta>\mathrm{Off}+\mathrm{Hys}=4\) dB，离开条件即 \(\Delta<\mathrm{Off}-\mathrm{Hys}=2\) dB。每个测量周期，判决只需要知道 \(\Delta\) 落在三段中的哪一段：\((-\infty,2)\)、\([2,4]\)、\((4,\infty)\)。三段的熵最多 \(\log_2 3=1.585\) 比特。

之所以是三段而不是两段，原因如下：

\(\Delta>4\) dB 时一定进入切换态。
\(\Delta<2\) dB 时一定离开。
落在中间的 \([2,4]\) 则维持原状，此时该做什么取决于判决器自己记着的"当前是否已在切换态"。

这一比特记忆是判决器的内部状态，不是环境知识。环境只需告诉它 \(\Delta\) 落在哪一段，输出的动作仍是 1 比特。所以任务需要的环境知识 \(\le 1.585\) 比特。

门限可调。若运营商可能把 \(\mathrm{Off}\) 设在 \(\{0,0.5,\dots,6\}\) dB、\(\mathrm{Hys}\) 设在 \(\{0,0.5,\dots,3\}\) dB，则两个门限 \(\mathrm{Off}\pm\mathrm{Hys}\) 会落在 \([-3,9]\) dB 的 0.5 dB 网格上任何一点。要对所有可能配置都判对，知识必须告诉判决器 \(\Delta\) 落在这些门限切出的哪一段：

门限落在 \([-3,9]\) dB 的网格上：共 \((9-(-3))/0.5+1=25\) 个可能的门限，把数轴切成 \(26\) 段，\(\log_2 26=4.70\) 比特。
门限落在 \([-15,15]\) dB 的整个 0.5 dB 网格上：\(61\) 个门限、\(62\) 段、\(5.95\) 比特。

同一个"切换"，从 1 比特变成了 6 比特。

校验

(a) 进入与离开门限之差 \(=2\,\mathrm{Hys}=2\) dB，与迟滞带宽度定义一致 ✓。
(b) 极限：\(\mathrm{Hys}\to0\) 时三段塌成两段（门限 \(\mathrm{Off}\) 一侧一段），\(\log_2 2=1\) 比特，回到"1 比特"的朴素说法 ✓。
(c) 门限数复算：\(61=30/0.5+1\)、\(25=12/0.5+1\) ✓。\(k\) 个门限切出 \(k+1\) 段，与固定门限时 2 个门限切出 3 段是同一个数法 ✓。\(2^{4.70}=26.0\)、\(\log_2 62=5.954\) ✓。
(d) TTT 的作用是要求进入条件在 320 ms 窗口内持续成立。它把"一段"变成"一段序列"，每周期的知识需求不变，只是要连续几个周期都拿到 ✓。

陷阱说清楚了：任务需要多少知识，取决于你要同时应付多宽的一族任务。固定门限的切换是一个任务，"所有门限的切换"是一个任务类（task class）。任务类越宽，所需知识越细。

本章讲的就是这件事。下面把它变成定义、命题、猜想和一条编码定理。

到此为止我们得到了什么

三张价签（曲线 / 6 比特 / 1 比特）和一个反转它们的旋钮。价签不贴在任务上，贴在任务类上。旋钮是任务类的宽度。

3.2 "够用"的精确含义：任务类充分统计量#

直觉

一份体检报告有几十项指标。要判断"能不能献血"，只看血红蛋白和几项传染病标记就够了，这几项对这个问题是"够用的摘要"。要判断"能不能跑马拉松"，要看的是另一组指标。要应付"医生可能问的一切问题"，就得留下整份报告。

"够用"永远是相对于一组问题说的。统计学把"对一切问题都够用"叫充分统计量（sufficient statistic）。本章要的是"对某一类问题够用"。

3.2.1 记号：把第 2 章的向量再用一次#

设实验 \(\mathcal{E}\) 的矩阵为 \(\mathbf{P}\)（\(m\times n\)，行是状态 \(\theta_i\)，列是观测 \(y_j\)，定义 2.1）。一个统计量（statistic）是一个函数 \(S:\mathcal{Y}\to\mathcal{S}\)。它把观测空间切成若干块 \(C_s:=\{j:S(y_j)=s\}\)，这些块合起来就是 \(\mathcal{Y}\) 的一个划分。

"只看 \(S\)"等价于把 \(\mathcal{E}\) 过一道 0/1 的行随机矩阵 \(\mathbf{K}_S[j,s]=\mathbf{1}[S(y_j)=s]\)，得到实验 \(S\circ\mathcal{E}\)，矩阵为 \(\mathbf{P}\mathbf{K}_S\)。由定义 2.2，永远有 \(\mathcal{E}\succeq S\circ\mathcal{E}\)。

一个决策问题（decision problem）记作 \(T=(A_T,L_T,\pi_T)\)：动作集、损失、先验。先验写进任务里是本章特意的选择。§3.1 的陷阱说明"够用"既依赖损失也依赖先验。给定先验，沿用定理 2.1 证明中的记号：

\[ \mathbf{v}_j:=\bigl(\pi_1\mathbf{P}[1,j],\dots,\pi_m\mathbf{P}[m,j]\bigr),\qquad \psi_T(\mathbf{v}):=\min_{a\in A_T}\ \sum_{i=1}^{m}v_i\,L_T(\theta_i,a), \]

\(\mathbf{v}_j\) 是"状态且观测到 \(y_j\)"的联合概率向量，\(\psi_T\) 是"手握这份未归一化后验时最好动作的损失"。定理 2.1 证明的第四步给出

\[ r_T(\mathcal{E})=\sum_{j=1}^{n}\psi_T(\mathbf{v}_j),\qquad r_T(S\circ\mathcal{E})=\sum_{s}\psi_T(\mathbf{w}_s),\quad \mathbf{w}_s:=\sum_{j\in C_s}\mathbf{v}_j . \]

第二个式子只是说：只看 \(S\) 时，同一块里的观测被合并，联合概率向量相加。

再记 \(\mathrm{Opt}_T(\mathbf{v}):=\arg\min_{a}\sum_i v_iL_T(\theta_i,a)\) 为在 \(\mathbf{v}\) 处最优动作的集合（可能不止一个）。

3.2.2 任务类充分统计量的定义与算例#

定义 3.1（任务类、任务类充分统计量、任务限制亏格）【经典工具·本站用于任务类】

(a) 一个任务类（task class）\(\mathcal{T}\) 是决策问题 \(T=(A_T,L_T,\pi_T)\) 的任意集合。若 \(\mathcal{T}\) 与某个 \((A,L)\) 一起包含了所有先验 \(\pi\)，称 \(\mathcal{T}\) 对 \((A,L)\) 先验封闭。

(b) 统计量 \(S\) 对任务类 \(\mathcal{T}\) 充分（\(\mathcal{T}\)-sufficient），若

\[ r_T(S\circ\mathcal{E})=r_T(\mathcal{E})\qquad\text{对每个 }T\in\mathcal{T}. \]

即：对这一类里的每个问题，只看 \(S\) 与看全部观测的 Bayes 风险相等。

(c) 对同一 \(\Theta\) 上的实验 \(\mathcal{F},\mathcal{E}\)，任务限制亏格（task-restricted deficiency）

\[ \delta_{\mathcal{T}}(\mathcal{F},\mathcal{E}):=\inf\Bigl\{\epsilon\ge0:\ \forall T\in\mathcal{T}\ (L_T\in[0,1]),\ \forall\ \mathcal{E}\text{-规则 }\rho,\ \exists\ \mathcal{F}\text{-规则 }\rho'\ \text{使}\ R_{\mathcal{F}}(\theta,\rho')\le R_{\mathcal{E}}(\theta,\rho)+\epsilon\ \ \forall\theta\Bigr\}. \]

读作"用 \(\mathcal{F}\) 在任务类 \(\mathcal{T}\) 上模拟 \(\mathcal{E}\) 差多少"。当 \(\mathcal{T}\) 取"动作数 \(\le k\) 的一切问题"时，它就是 Torgersen 的 \(k\)-亏格 \(\delta_k\) [8]。

由定理 2.2 立得 \(\delta_{\mathcal{T}}\le\delta\)。把定理 2.2 里 \(\mathcal{E}\)、\(\mathcal{F}\) 的角色互换，它说损失在 \([0,1]\) 时，\(\epsilon=\delta(\mathcal{F},\mathcal{E})\) 对一切任务都满足花括号里的条件，当然也对 \(\mathcal{T}\) 里的任务满足，而下确界不超过任何一个可行值。

\(\mathcal{T}\) 越宽，花括号里要满足的条件越多，可行的 \(\epsilon\) 越少，\(\delta_{\mathcal{T}}\) 越大。

**产权。**限制决策类的亏格是 Torgersen 1991 [8] 的现成工具。"收缩决策问题类 \(\Rightarrow\) 更粗的等价关系"这一层级，在 2025 年的一份预印本里被写成严格包含链（Le Cam 失真 ⊃ 似然失真 ⊃ 似然比失真 ⊃ 充分性，Akdemir [20] 定理 3.7【预印本·未评审】）。本站在此没有新定义，新意只在下一节把它与 Shannon 信息格配对。

先用一个 \(2\times3\) 的例子看"够用"怎么随任务类改变。

算例 3.2（BEC 上的一个统计量，对三个任务类各是否够用）

实验取算例 2.2 的 BEC(0.6)：\(\theta\in\{+1,-1\}\)，观测 \(\{+1,\mathrm{e},-1\}\)。统计量 \(S\) 把 \(\{+1,\mathrm{e}\}\) 合成一块"非负"，\(\{-1\}\) 单独一块。问：\(S\) 对下面三个任务类够不够用？

任务类一：0-1 判决、等概先验。\(\pi=(1/2,1/2)\)，联合概率向量（分量顺序 \((\theta=+1,\theta=-1)\)）：\(\mathbf{v}_{+1}=(0.2,0)\)、\(\mathbf{v}_{\mathrm{e}}=(0.3,0.3)\)、\(\mathbf{v}_{-1}=(0,0.2)\)。

全观测：\(\psi(\mathbf{v}_{+1})=0\)（报 \(+1\)）、\(\psi(\mathbf{v}_{\mathrm{e}})=0.3\)（怎么报都错 0.3）、\(\psi(\mathbf{v}_{-1})=0\)，合计 \(0.30\)，与算例 2.2 的 \(\epsilon/2=0.30\) 一致。
只看 \(S\)：块 \(\{+1,\mathrm{e}\}\) 的 \(\mathbf{w}=(0.5,0.3)\)，报 \(+1\) 损失 \(0.3\)、报 \(-1\) 损失 \(0.5\)，取 \(0.3\)。块 \(\{-1\}\) 损失 0。合计 \(0.30\)。

两条路径相等，够用。

这里有三个 \(\epsilon\) 要分清：算例 2.2 里 \(\epsilon=0.6\) 是 BEC 的擦除概率；定义 3.1(c) 里的 \(\epsilon\) 是模拟误差的容许量；\([E]_\varepsilon\)、\(d_{\mathrm{eff}}(E;\varepsilon)\) 里的 \(\varepsilon\) 是分辨精度。三者无关。

任务类二：0-1 判决、先验 \(\pi(+1)=0.3\)。

全观测：只有擦除时会错，风险 \(=0.6\times\min\{0.3,0.7\}=0.18\)。
只看 \(S\)：块 \(\{+1,\mathrm{e}\}\) 的 \(\mathbf{w}=(0.4\times0.3+0.6\times0.3,\ 0.6\times0.7)=(0.30,0.42)\)，报 \(+1\) 损失 \(0.42\)、报 \(-1\) 损失 \(0.30\)，取 \(0.30\)。块 \(\{-1\}\) 损失 0。合计 \(0.30>0.18\)。

结论：不够用。把 \(+1\) 与擦除合并后，先验偏向 \(-1\) 时整块都被判成 \(-1\)，把本来判对的 \(+1\) 也拖下水。

**任务类三：三档估计、等概先验。**动作 \(a\in\{+1,0,-1\}\)，损失 \(L=(\theta-a)^2/4\in[0,1]\)。

全观测：看到 \(\pm1\) 报 \(\pm1\) 损失 0，看到 \(\mathrm{e}\) 报 0 损失 \(1/4\)，风险 \(0.6\times0.25=0.15\)（与算例 2.3(d) 的 \(0.15\) 一致）。
只看 \(S\)：块 \(\{+1,\mathrm{e}\}\)，\(\mathbf{w}=(0.5,0.3)\)。报 \(+1\) 损失 \(0.3\times1=0.30\)，报 \(0\) 损失 \(0.8\times0.25=0.20\)，报 \(-1\) 损失 \(0.5\times1=0.50\)，取 \(0.20\)。块 \(\{-1\}\) 损失 0。合计 \(0.20>0.15\)。

结论：不够用。

校验

(a) 任务类一的两条路径都给 \(0.30\)，且等于闭式 \(\epsilon/2\) ✓。
(b) 任务类二在 \(\pi(+1)\to1/2\) 时全观测风险 \(\to0.30\)、只看 \(S\) 的风险 \(\to0.30\)，两者在等概处重新相等，与任务类一衔接 ✓。
(c) 任务类三中 \(\mathbf{w}\) 的总质量 \(0.8=1-\Pr\{y=-1\}=1-0.2\) ✓。
(d) 三个结论与下面引理 3.1 的判据 (iii) 逐一吻合：
- 任务类一里块 \(\{+1,\mathrm{e}\}\) 上 \(\mathrm{Opt}(\mathbf{v}_{+1})=\{+1\}\)、\(\mathrm{Opt}(\mathbf{v}_{\mathrm{e}})=\{+1,-1\}\)，有公共最优动作 \(+1\)。
- 任务类二里 \(\mathrm{Opt}(\mathbf{v}_{\mathrm{e}})=\{-1\}\)，没有公共动作。
- 任务类三里 \(\mathrm{Opt}(\mathbf{v}_{+1})=\{+1\}\)、\(\mathrm{Opt}(\mathbf{v}_{\mathrm{e}})=\{0\}\)，没有公共动作 ✓。

3.2.3 引理 3.1：三种等价说法及证明#

同一个 \(S\)，对一类够用、对另两类不够用。"够用"的判据到底是什么？下面这条引理给出三种说法，并证明它们是一回事。

引理 3.1（任务类充分性的三种说法）【已解决（经典骨架）·本站给有限情形完整证明】

设 \(S\) 是有限实验 \(\mathcal{E}\) 上的统计量，\(\mathcal{T}\) 是任务类。考虑：

(i)（风险） \(r_T(S\circ\mathcal{E})=r_T(\mathcal{E})\) 对每个 \(T\in\mathcal{T}\)；

(ii)（模拟） \(\delta_{\mathcal{T}}(S\circ\mathcal{E},\mathcal{E})=0\)；

(iii)（公共最优动作） 对每个 \(T\in\mathcal{T}\) 与 \(S\) 的每一块 \(C_s\)，存在一个动作对块内所有观测都最优：\(\bigcap_{j\in C_s}\mathrm{Opt}_T(\mathbf{v}_j)\neq\varnothing\)。

则 (i)\(\iff\)(iii) 对任意 \(\mathcal{T}\) 成立；(ii)\(\Rightarrow\)(i) 对任意 \(\mathcal{T}\) 成立；若 \(\mathcal{T}\) 对其包含的每个 \((A,L)\) 先验封闭，则 (i)\(\Rightarrow\)(ii)，三者等价。

证明。

**第一步：把等号落到每一块上，证 (i)\(\iff\)(iii)。**定理 2.1 证明的第三步给出 \(\psi_T\) 的超可加性：\(\psi_T(\mathbf{u}+\mathbf{u}')\ge\psi_T(\mathbf{u})+\psi_T(\mathbf{u}')\)。对一块 \(C_s\) 反复使用，得

\[ \psi_T(\mathbf{w}_s)=\psi_T\Bigl(\sum_{j\in C_s}\mathbf{v}_j\Bigr)\ \ge\ \sum_{j\in C_s}\psi_T(\mathbf{v}_j). \]

*这一步说：合并观测只会让损失变大或不变，每块各自如此。*对 \(s\) 求和即 \(r_T(S\circ\mathcal{E})\ge r_T(\mathcal{E})\)（这就是定理 2.1 的 (i)\(\Rightarrow\)(ii) 在本例的样子）。于是 (i) 成立当且仅当每一块的不等式都取等。

现在看一块何时取等。取 \(a^\star\in\mathrm{Opt}_T(\mathbf{w}_s)\)，记 \(\mathbf{v}\cdot L_a:=\sum_iv_iL_T(\theta_i,a)\)。则

\[ \psi_T(\mathbf{w}_s)=\mathbf{w}_s\cdot L_{a^\star}=\sum_{j\in C_s}\mathbf{v}_j\cdot L_{a^\star}\ \ge\ \sum_{j\in C_s}\min_a\mathbf{v}_j\cdot L_a=\sum_{j\in C_s}\psi_T(\mathbf{v}_j), \]

*中间的不等号是逐项的：每一项 \(\mathbf{v}_j\cdot L_{a^\star}\ge\min_a\mathbf{v}_j\cdot L_a\)。*一串逐项不等式的和取等，当且仅当每一项取等，即 \(a^\star\in\mathrm{Opt}_T(\mathbf{v}_j)\) 对块内每个 \(j\) 成立，这就是 (iii)。

反过来，若有公共最优动作 \(a\)，则 \(\psi_T(\mathbf{w}_s)\le\mathbf{w}_s\cdot L_a=\sum_j\mathbf{v}_j\cdot L_a=\sum_j\psi_T(\mathbf{v}_j)\le\psi_T(\mathbf{w}_s)\)，两头夹住，取等。\(\square\)

**第二步：证 (ii)\(\Rightarrow\)(i)。**取 \(\rho\) 为 \(\mathcal{E}\) 在 \(T\) 下的 Bayes 最优规则。(ii) 给出 \(S\circ\mathcal{E}\) 上的 \(\rho'\)，在每个 \(\theta\) 处风险不超过 \(\rho\)，对先验 \(\pi_T\) 取期望得 \(r_T(S\circ\mathcal{E})\le r_T(\mathcal{E})\)。反向不等式已在第一步得到。\(\square\)

**第三步：先验封闭时证 (i)\(\Rightarrow\)(ii)，用一次分离超平面。**固定 \(T\in\mathcal{T}\)（\(L_T\in[0,1]\)）与 \(\mathcal{E}\) 上任一（可随机化的）规则 \(\rho\)，记其风险向量 \(\mathbf{u}=(R_{\mathcal{E}}(\theta_i,\rho))_i\in\mathbb{R}^m\)。令 \(\mathcal{R}\subset\mathbb{R}^m\) 为 \(S\circ\mathcal{E}\) 上一切随机化规则的风险向量集合。

一个随机化规则是 \(|\mathcal{S}|\times|A_T|\) 的行随机矩阵，风险向量是它的线性函数。行随机矩阵集是单纯形的乘积，紧且凸。线性像保持紧与凸，故 \(\mathcal{R}\) 是紧凸集。这一步与定理 2.1 (ii)\(\Rightarrow\)(i) 证明的第一步是同一句话。

令 \(\mathcal{K}:=\mathcal{R}+\mathbb{R}^m_{\ge0}\)（"某个规则的风险向量再加任意非负量"），它是闭凸集。若 \(\mathbf{u}\in\mathcal{K}\)，则存在 \(S\circ\mathcal{E}\) 上的规则逐点风险 \(\le\mathbf{u}\)，这就是 (ii) 中 \(\epsilon=0\) 的要求。故只需证 \(\mathbf{u}\in\mathcal{K}\)。

反证：设 \(\mathbf{u}\notin\mathcal{K}\)。分离超平面定理给出 \(\boldsymbol{\lambda}\in\mathbb{R}^m\) 与常数 \(c\)，使

\[ \boldsymbol{\lambda}\cdot\mathbf{u}\ <\ c\ \le\ \boldsymbol{\lambda}\cdot\mathbf{w}\qquad\text{对一切 }\mathbf{w}\in\mathcal{K}. \]

因 \(\mathbf{w}+t\mathbf{e}_i\in\mathcal{K}\) 对一切 \(t\ge0\) 成立，若某个 \(\lambda_i<0\)，令 \(t\to\infty\) 右端会趋于 \(-\infty\)，矛盾。故 \(\boldsymbol{\lambda}\ge0\)。又 \(\boldsymbol{\lambda}\ne\mathbf{0}\)（否则 \(0<c\le0\)）。于是 \(\pi:=\boldsymbol{\lambda}/\sum_i\lambda_i\) 是一个先验。这一步把分离超平面的法向量翻译成了一个先验，与定理 2.1 证明里把 \(\Lambda\) 翻译成损失是同一种手法。

两边同除 \(\sum_i\lambda_i>0\)，记 \(c':=c/\sum_i\lambda_i\)，分离不等式变成 \(\pi\cdot\mathbf{u}<c'\le\pi\cdot\mathbf{w}\) 对一切 \(\mathbf{w}\in\mathcal{K}\) 成立。\(\mathcal{R}\subseteq\mathcal{K}\)（非负量取零），所以对一切 \(\mathbf{w}\in\mathcal{R}\) 也成立。于是

\[ r_{(A_T,L_T,\pi)}(S\circ\mathcal{E})=\min_{\mathbf{w}\in\mathcal{R}}\pi\cdot\mathbf{w}\ \ge\ c'\ >\ \pi\cdot\mathbf{u}\ \ge\ r_{(A_T,L_T,\pi)}(\mathcal{E}), \]

最左边的等号是"Bayes 风险 = 最好规则的先验加权风险"（\(\mathcal{R}\) 紧故最小值可取到），最右边的不等号是"Bayes 风险不超过任何具体规则 \(\rho\) 的加权风险"。由先验封闭，\((A_T,L_T,\pi)\in\mathcal{T}\)，上式与 (i) 矛盾。故 \(\mathbf{u}\in\mathcal{K}\)，(ii) 成立。\(\blacksquare\)

物理意义

三种说法对应三种工程直觉：

(i) 是性能：换成摘要后任务不变差。
(iii) 是结构：摘要把观测切成块，每块里的观测本来就要做同一个动作，所以合并它们不损失任何东西。这是"够用"最直白的样子。
(ii) 是可模拟：拿着摘要的人，能在这一类任务上完全冒充拿着全观测的人。

行为分析

损失函数进入判据的方式只有一种。(iii) 说明充分性完全由"最优动作在哪些观测上相同"决定，损失函数只通过它诱导的最优动作划分起作用。两个损失若处处给出同样的最优动作，它们对充分性的要求一模一样。
**先验封闭是 (i)\(\Rightarrow\)(ii) 的真前提。**算例 3.2 的 \(S\) 对"等概 0-1 判决"够用，却不对"先验 0.3 的 0-1 判决"够用。所以它对 \(\{\)等概 0-1 判决\(\}\) 这个单点任务类满足 (i) 但不满足 (ii)。

原因是 (ii) 逐个 \(\theta\) 比风险，先验不参与。取全观测上"看到 \(+1\) 报 \(+1\)，看到 \(\mathrm{e}\) 或 \(-1\) 报 \(-1\)"的规则（正是先验 0.3 时的 Bayes 规则），风险为 \(R(+1)=0.6\)、\(R(-1)=0\)。只看 \(S\) 的规则若要 \(R(-1)=0\)，就必须在两块上都报 \(-1\)，于是 \(R(+1)=1>0.6\)。没有哪个只看 \(S\) 的规则能逐点不差于它，所以 \(\delta_{\mathcal{T}}>0\)。

**把 \(\mathcal{T}\) 推到两端。**下面两种极端的任务类，各有一个经典答案。

一端：\(\mathcal{T}=\) 一切决策问题

(iii) 对一切损失、一切先验成立，等价于 \(S\circ\mathcal{E}\succeq\mathcal{E}\)（定理 2.1 (ii)\(\Rightarrow\)(i)），即经典的 Blackwell 充分性。

有限情形下最粗的充分划分是"按归一化似然向量分块"：令 \(\boldsymbol{\ell}(y_j):=\bigl(\mathbf{P}[i,j]\bigr)_i/\sum_i\mathbf{P}[i,j]\)，把 \(\boldsymbol{\ell}\) 相同的观测放进同一块，记为 \(M_{\mathrm{all}}\)。

它充分，因为 \(\mathbf{v}_j=\bigl(\sum_i\mathbf{P}[i,j]\bigr)\cdot\bigl(\pi_i\ell_i(y_j)\bigr)_i\) 是同一向量的正倍数，而 \(\mathrm{Opt}_T\) 对正倍数不变，同块内最优动作集合相同。

它最粗，因为两个观测若 \(\boldsymbol{\ell}\) 不同，必有某对状态 \((\theta_i,\theta_{i'})\) 的似然比不同。取只支撑在这两个状态上的先验与 0-1 损失，可让二元检验在这两个观测处给出不同的唯一最优动作，于是任何把它们合在一块的划分都违反 (iii)。

这是 Bahadur 1954 [2] 最小充分统计量在有限情形的样子【已解决（经典）·本站演算】。

一般测度空间上情况复杂得多。最小充分统计量的存在要靠被支配族这类条件。常用的"似然比等值类"判据是：两个观测点的似然之比与 \(\theta\) 无关就归为一类。这个判据一般并不成立：arXiv:2603.10288【预印本·未评审】利用 Radon–Nikodym 导数版本不唯一构造了反例，并指出 Sato 1996 给出的使它成立的正则条件往往难以验证。本站只用有限情形【表述待核：被支配族条件的出处（Bahadur 1954 [2]）本站未读到原文】。

另一端：\(\mathcal{T}=\) 单个固定问题 \((A,L,\pi)\)，且每个正概率观测处最优动作唯一

(iii) 化为"每块上 \(a^\star\) 取常值"，故最粗的充分划分就是按最优动作分块：\(y\mapsto a^\star(y)\) 的水平集。这是本章的任务地板（task floor）。

文献里的严格版本是 Sevetlidis 2026 [21] 的"贝叶斯充分 / 贝叶斯极小"表示（定义 \(\mathcal{I}_{\ell,P}=\sigma(a^\star)\)，定理 3.2 给出与"最优动作可测"的等价）【预印本·未评审】。最优动作不唯一时退化为"块上存在公共最优动作"，即引理 3.1 的 (iii)（同文命题 A.2）。本站不主张这一层的原创。

到此为止我们得到了什么

一个精确的"够用"。统计量对任务类充分，当且仅当它的每一块上有一个公共最优动作。先验封闭时，又当且仅当任务限制亏格为零。

两端各有一个经典答案：一切任务 \(\Rightarrow\) 似然划分，单个任务 \(\Rightarrow\) 最优动作划分。中间那一大段，需要一个能放下"所有划分"的容器。

3.3 划分的格：Shannon 1953 的信息格#

3.3.1 划分、粗细、交与并#

直觉

把一个班的学生分组，有很多种分法：按性别分两组，按宿舍分十组，按"性别 + 宿舍"分二十组。第三种分法比前两种都细，知道了第三种，前两种自动知道。

反过来，"按性别"和"按宿舍"有没有一个共同能推出的更粗分法？有，至少"全班一组"这个平凡分法总能推出。

Shannon 1953 [1] 把"知道一件事"定义成"能把样本空间切到多细"，并证明所有切法在"细 / 粗"关系下构成一个格（lattice）：任意两种切法都有最细的公共粗化与最粗的公共细化。

定义 3.2（划分、粗细、交与并）【已解决（经典）】

有限集 \(\mathcal{Y}\) 的一个划分（partition）是一族两两不交、并为 \(\mathcal{Y}\) 的非空子集（块）。任何统计量 \(S\) 给出划分 \(\{C_s\}\)；反之任何划分都是某个统计量的块。

**粗细。**记 \(\mathcal{S}\preceq\mathcal{S}'\)（"\(\mathcal{S}'\) 至少与 \(\mathcal{S}\) 一样细 / 一样有信息"），若 \(\mathcal{S}'\) 的每一块都包含在 \(\mathcal{S}\) 的某一块里；等价地，\(\mathcal{S}\) 是 \(\mathcal{S}'\) 的函数（\(S=f\circ S'\)）。

交（meet）\(\mathcal{S}\wedge\mathcal{S}'\)：最细的公共粗化，即所有既粗于 \(\mathcal{S}\) 又粗于 \(\mathcal{S}'\) 的划分中最细的那个。构造：把 \(\mathcal{S}\) 的块与 \(\mathcal{S}'\) 的块画成二部图，两块相交就连边；每个连通分量所覆盖的元素构成交的一块。

并（join）\(\mathcal{S}\vee\mathcal{S}'\)：最粗的公共细化，即所有既细于 \(\mathcal{S}\) 又细于 \(\mathcal{S}'\) 的划分中最粗的那个。构造：块为所有非空的 \(C\cap C'\)（\(C\in\mathcal{S}\)，\(C'\in\mathcal{S}'\)）。

顶与底。\(\top\) = 每个元素自成一块（"什么都分得清"）；\(\bot\) = 全体一块（"什么都分不清"）。

Shannon 1953 的定理。\(\mathcal{Y}\) 上全体划分在 \(\preceq\) 下构成完全格：任意一族划分都有交与并。出处：[1]，原文用"等价关系"与"信息元素"的说法。有限情形下等价关系即划分，本站据此改写。

为什么构造是对的（两句话证明）

**并。**任何同时细于 \(\mathcal{S},\mathcal{S}'\) 的划分，每块必落在某个 \(C\) 内又落在某个 \(C'\) 内，故落在 \(C\cap C'\) 内，所以 \(\{C\cap C'\}\) 是最粗的。
**交。**任何同时粗于 \(\mathcal{S},\mathcal{S}'\) 的划分，只要两块 \(C,C'\) 相交就必须把它们放进同一块，否则它既不粗于 \(\mathcal{S}\) 也不粗于 \(\mathcal{S}'\)。沿着相交关系传递下去，整个连通分量必在同一块。而"连通分量"本身确实粗于两者，故它是最细的。\(\square\)

一个交不平凡的小例子

取 \(\mathcal{Y}=\{1,2,3,4\}\)，\(\mathcal{S}=\{\{1,2\},\{3\},\{4\}\}\)，\(\mathcal{S}'=\{\{1\},\{2,3\},\{4\}\}\)。

并：两两求交，非空的是 \(\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\)，所以 \(\mathcal{S}\vee\mathcal{S}'=\top\)，两份知识合起来什么都分得清。
交：\(\{1,2\}\) 与 \(\{2,3\}\) 共有元素 2，\(\{2,3\}\) 与 \(\{3\}\) 共有元素 3，于是 \(1,2,3\) 连成一个分量。\(\{4\}\) 只与 \(\{4\}\) 相连，自成一块。所以 \(\mathcal{S}\wedge\mathcal{S}'=\{\{1,2,3\},\{4\}\}\)：两边都能回答的问题只有"是不是 4"。

名字别看反

交与并是按"信息"起的名。并是两份知识合起来，划分更细，它的块反而是集合的交 \(C\cap C'\)。交是两份知识的公共部分，划分更粗，它的块是若干块拼成的更大集合。换成下面备注里的 \(\sigma\)-代数说法，交与并就和集合运算同向了。

3.3.2 算例：四格房间，以及与公共信息的关系#

算例 3.3（四格房间：两个任务的划分、它们的交与并）

服务区分成四个格 \(\theta\in\{1,2,3,4\}\)，先验均匀。这是本章贯穿的玩具：知识就是"知道 \(\theta\) 落在哪一块"，实验矩阵是单位阵 \(\mathbf{I}_4\)（沿用算例 2.4 的设定），于是 \(\mathbf{v}_j=\tfrac14\mathbf{e}_j\)，划分就是划分 \(\Theta\) 本身。两个波束 \(b_1,b_2\) 在四格的增益（dB）：

格	\(b_1\)	\(b_2\)	最优波束	最优增益	最优增益 \(\ge7\) dB？
1	10	0	\(b_1\)	10	是
2	8	2	\(b_1\)	8	是
3	6	5	\(b_1\)	6	否
4	\(-2\)	9	\(b_2\)	9	是

**任务 B（选波束，0-1 损失）**的最优动作划分：\(\mathcal{S}_B=\{\{1,2,3\},\{4\}\}\)。
**任务 M（能否用高阶 MCS：最优增益是否 \(\ge7\) dB，0-1 损失）**的最优动作划分：\(\mathcal{S}_M=\{\{1,2,4\},\{3\}\}\)。

并：非空交集 \(\{1,2,3\}\cap\{1,2,4\}=\{1,2\}\)、\(\{1,2,3\}\cap\{3\}=\{3\}\)、\(\{4\}\cap\{1,2,4\}=\{4\}\)，故 \(\mathcal{S}_B\vee\mathcal{S}_M=\{\{1,2\},\{3\},\{4\}\}\)。同时做两个任务需要分清三种情况。

交：块 \(\{1,2,3\}\) 与 \(\{1,2,4\}\) 相交、与 \(\{3\}\) 相交；\(\{4\}\) 与 \(\{1,2,4\}\) 相交；二部图连通，故 \(\mathcal{S}_B\wedge\mathcal{S}_M=\{\{1,2,3,4\}\}=\bot\)。两个任务没有任何公共知识：知道该选哪个波束，对"能不能上高阶 MCS"一无所知，反之亦然。

熵。\(H(\mathcal{S}_B)=H(\mathcal{S}_M)=h(1/4)=0.811\) 比特，\(H(\mathcal{S}_B\vee\mathcal{S}_M)=H(\tfrac12,\tfrac14,\tfrac14)=1.5\) 比特，\(H(\top)=2\) 比特，\(H(\bot)=0\)。

再看 \(\mathcal{S}_M\) 对任务 B 够不够用（引理 3.1 (iii)）：块 \(\{1,2,4\}\) 里格 1、2 要 \(b_1\)，格 4 要 \(b_2\)，没有公共最优动作 \(\Rightarrow\) 不够用。风险计算如下：

块 \(\{1,2,4\}\) 的 \(\mathbf{w}=(\tfrac14,\tfrac14,0,\tfrac14)\)，选 \(b_1\) 损失 \(\tfrac14\)（格 4 错），选 \(b_2\) 损失 \(\tfrac12\)，取 \(\tfrac14\)。
块 \(\{3\}\) 损失 0。
合计 \(0.25\)，而全知风险为 0。

校验

(a) 熵的单调性：\(\bot\preceq\mathcal{S}_B\preceq\mathcal{S}_B\vee\mathcal{S}_M\preceq\top\) 对应 \(0\le0.811\le1.5\le2\) ✓。次可加性 \(H(\mathcal{S}_B\vee\mathcal{S}_M)=1.5\le0.811+0.811=1.622\) ✓。
(b) \(\mathcal{S}_B\) 与 \(\mathcal{S}_M\) 熵相等却互不可比。这是 Shannon 原文那句话的具体化："\(H(X)\) 几乎不是实际的信息"（用他的说法，熵只是格上的一个标量，不是格元素本身）✓。
(c) \(0.25\) 与算例 2.4 的粗地图风险 \(0.25\) 相同并非巧合：算例 2.4 的粗划分 \(\{\{1,2\},\{3,4\}\}\) 与这里的 \(\mathcal{S}_M\) 都恰好把"一个要 \(b_2\) 的格"与"要 \(b_1\) 的格"合在一块，块内最好也得错掉 \(\tfrac14\) 的概率质量 ✓。

备注：σ-代数、Gács–Körner 公共信息、Wyner 公共信息

测度论读者把"由统计量 \(S\) 生成的划分"读成"由 \(S\) 生成的 \(\sigma\)-代数 \(\sigma(S)\)"，\(\preceq\) 读成包含，\(\wedge\) 读成 \(\sigma\)-代数之交，\(\vee\) 读成由并生成的 \(\sigma\)-代数。有限情形下逐字对应。

**交与 Gács–Körner。**一个函数同时是 \(\mathcal{S}\) 与 \(\mathcal{S}'\) 的函数，当且仅当它在 \(\mathcal{S}\wedge\mathcal{S}'\) 的每块上取常值。所以交的块指标就是"两者共同能算出的最大公共函数"（公共部分）。

Gács–Körner 公共信息回答的问题是：甲只看到 \(X\) 的长序列、乙只看到 \(Y\) 的长序列，两人不通信，最多能各自算出多少比特完全相同的随机比特？Gács–Körner 1973 [5] 证明：在渐近零误差的意义下，这个最大速率恰是上述最大公共函数的熵，且一般远小于互信息（论文标题即结论）。

用上面的小例子（四个元素等概）：公共函数是"是不是 4"，GK 公共信息 \(=h(1/4)=0.811\) 比特，而 \(I(\mathcal{S};\mathcal{S}')=H(\mathcal{S})+H(\mathcal{S}')-H(\mathcal{S}\vee\mathcal{S}')=1.5+1.5-2=1\) 比特。

算例 3.3 更极端：交是 \(\bot\)，GK 公共信息为 0，但 \(I(\mathcal{S}_B;\mathcal{S}_M)=0.811+0.811-1.5=0.12\) 比特 \(>0\)。两个任务的知识统计相关，却没有一比特能被两边各自确定地算出来。

**请注意用法。**格的交是一个划分，GK 公共信息是它的熵。一个是集合，一个是数，不要写成等式。

Wyner 公共信息（Wyner 1975 [6]）\(C(X;Y)=\inf_{X-W-Y}I(X,Y;W)\) 引入了一个不是样本空间函数的辅助变量 \(W\)，不是格运算。三者的一般排序是 \(K_{\mathrm{GK}}\le I(X;Y)\le C_{\mathrm{Wyner}}\)。本章只用格的交，不用 Wyner。

到此为止我们得到了什么

一个能装下"所有摘要"的容器。观测空间的每种切法是一个元素，细者在上、粗者在下。任意两种切法有最细的公共粗化（交）与最粗的公共细化（并）。

四格算例里两个任务的并要 1.5 比特，交是平凡的。任务之间的"共享知识"与"合计知识"从此有了确切的运算。

3.4 任务格：从任务类到划分的单调映射#

现在把 §3.2 与 §3.3 拼起来。每个任务类 \(\mathcal{T}\) 都有它的"最粗的够用划分"，任务类越宽，这个划分越细。于是"任务类 \(\mapsto\) 划分"是一个从任务集合到信息格的单调映射，它的像就是本章的主角。

3.4.1 任务格的定义与结构命题#

定义 3.3（任务格）【本站提法】

设 \(\mathcal{E}\) 为有限实验。称任务类 \(\mathcal{T}\) 满足无平局假设 (H)：对每个 \(T\in\mathcal{T}\) 与每个在 \(\pi_T\) 下有正概率的观测 \(y\)，Bayes 最优动作 \(a^\star_T(y)\) 唯一。记 \(\mathcal{S}_T\) 为 \(y\mapsto a^\star_T(y)\) 的水平集划分（单任务的地板）。

若存在最粗的 \(\mathcal{T}\)-充分划分，记为 \(\mathcal{S}_{\mathcal{T}}\)，称为 \(\mathcal{T}\) 的任务类充分划分（或任务类最小充分统计量）。任务格（task lattice）

\[ \Lambda(\mathcal{E}):=\bigl\{\mathcal{S}_{\mathcal{T}}:\ \mathcal{T}\ \text{满足 (H)}\bigr\}\ \subseteq\ \{\mathcal{Y}\ \text{的全体划分}\} \]

是映射 \(\mathcal{T}\mapsto\mathcal{S}_{\mathcal{T}}\) 的像。

命题 3.2（任务格的结构）【本站演算】

在无平局假设 (H) 下：

(a) 存在性与显式公式。\(\mathcal{S}_{\mathcal{T}}\) 存在，且

\[ \mathcal{S}_{\mathcal{T}}=\bigvee_{T\in\mathcal{T}}\mathcal{S}_T . \]

(b) 单调。\(\mathcal{T}\subseteq\mathcal{T}'\Rightarrow\mathcal{S}_{\mathcal{T}}\preceq\mathcal{S}_{\mathcal{T}'}\)。

(c) 保并。\(\mathcal{S}_{\mathcal{T}\cup\mathcal{T}'}=\mathcal{S}_{\mathcal{T}}\vee\mathcal{S}_{\mathcal{T}'}\)。

(d) 交只有不等式。\(\mathcal{S}_{\mathcal{T}\cap\mathcal{T}'}\preceq\mathcal{S}_{\mathcal{T}}\wedge\mathcal{S}_{\mathcal{T}'}\)，且可以严格。

(e) 夹在两端之间。\(\bot=\mathcal{S}_{\varnothing}\preceq\mathcal{S}_{\mathcal{T}}\preceq M_{\mathrm{all}}\preceq\top\)，其中 \(M_{\mathrm{all}}\) 是 §3.2 的似然划分（经典最小充分划分）。

(f) 格。\(\Lambda(\mathcal{E})\) 对 \(\vee\) 封闭且含 \(\bot\)，因而本身是一个格；但它的交一般不等于划分格中的交（(d) 的严格情形）。

证明。

(a)　由引理 3.1 (iii) 与 (H)，一个划分 \(\mathcal{S}\) 对单个 \(T\) 充分，当且仅当下面几条依次等价：

每块上有公共最优动作；
（最优动作唯一）\(a^\star_T\) 在每块上取常值；
每块落在 \(a^\star_T\) 的某个水平集内，即 \(\mathcal{S}\succeq\mathcal{S}_T\)。

这一步把"充分"翻译成了格里的一个不等式。

对整类 \(\mathcal{T}\) 充分，当且仅当 \(\mathcal{S}\succeq\mathcal{S}_T\) 对每个 \(T\) 成立，当且仅当 \(\mathcal{S}\) 是 \(\{\mathcal{S}_T\}\) 的一个共同上界，当且仅当（并的定义：最小上界）\(\mathcal{S}\succeq\bigvee_T\mathcal{S}_T\)。有限集上的划分只有有限个，所以即使 \(\mathcal{T}\) 无限，这个并也只是有限多个不同划分的并。

于是 \(\mathcal{T}\)-充分划分的集合恰是 \(\{\mathcal{S}:\mathcal{S}\succeq\bigvee_T\mathcal{S}_T\}\)，其最粗元素就是 \(\bigvee_T\mathcal{S}_T\)。\(\square\)

(b)　\(\mathcal{T}\subseteq\mathcal{T}'\) 时，(a) 右端对更多元素取并，并只会变细。\(\square\)

(c)　\(\bigvee_{T\in\mathcal{T}\cup\mathcal{T}'}\mathcal{S}_T=\bigl(\bigvee_{\mathcal{T}}\mathcal{S}_T\bigr)\vee\bigl(\bigvee_{\mathcal{T}'}\mathcal{S}_T\bigr)\)，这是并的结合律与交换律。\(\square\)

(d)　由 (b)，\(\mathcal{S}_{\mathcal{T}\cap\mathcal{T}'}\) 同时粗于 \(\mathcal{S}_{\mathcal{T}}\) 与 \(\mathcal{S}_{\mathcal{T}'}\)，故不超过它们的最大下界。

严格的例子用算例 3.3：令 \(\mathcal{T}=\{B,M\}\)，\(\mathcal{T}'=\{J\}\)，其中 \(J\) 是"同时报波束与 MCS 档"的联合任务，其最优动作划分恰为 \(\mathcal{S}_B\vee\mathcal{S}_M=\{\{1,2\},\{3\},\{4\}\}\)。则 \(\mathcal{S}_{\mathcal{T}}=\mathcal{S}_{\mathcal{T}'}=\{\{1,2\},\{3\},\{4\}\}\)，交也是它。但 \(\mathcal{T}\cap\mathcal{T}'=\varnothing\)，\(\mathcal{S}_{\varnothing}=\bot\)。严格。\(\square\)

(e)　空类的并是 \(\bot\)（对空族取最小上界即最小元）。

\(\mathcal{S}_T\preceq M_{\mathrm{all}}\)：由 §3.2，\(\mathbf{v}_j\) 是 \(\bigl(\pi_i\ell_i(y_j)\bigr)_i\) 的正倍数，而 \(\mathrm{Opt}_T\) 对正倍数不变，故 \(a^\star_T(y_j)\) 只通过 \(\boldsymbol{\ell}(y_j)\) 依赖于 \(y_j\)，即 \(\mathcal{S}_T\) 粗于 \(M_{\mathrm{all}}\)。再取并仍粗于 \(M_{\mathrm{all}}\)。\(\square\)

(f)　\(\Lambda(\mathcal{E})\) 是有限集，对 \(\vee\) 封闭（由 (c)），含最小元 \(\bot\)。有限并半格（join-semilattice：任意两元素都有并、但不一定有交的偏序集）若有最小元则是格。

理由是：任意两元素 \(x,y\) 的下界集合非空（含 \(\bot\)）且有限，对其取并，得到的元素仍 \(\preceq x\) 且 \(\preceq y\)（\(x\) 是每个下界的上界，所以也是它们的并的上界），因而就是最大下界。\(\blacksquare\)

物理意义

(a) 说：一个任务类需要的知识，就是把它里面每个任务各自需要的知识合并起来（取并）。没有别的来源，也不会更少。
(d) 说：两个任务类的"公共知识"可能比它们各自知识的公共部分更少。因为"公共任务"才算数，而"公共知识"可能来自两边完全不同的任务恰好需要同样的东西。

行为分析

**(b) 就是 §3.1 的陷阱。**门限固定 \(\Rightarrow\) \(\mathcal{T}\) 是一个点，\(\mathcal{S}_{\mathcal{T}}\) 是符号划分（1 比特）。门限可调 \(\Rightarrow\) \(\mathcal{T}\) 变宽，\(\mathcal{S}_{\mathcal{T}}\) 是整条增益差的量化（6 比特）。
**(H) 不是装饰。**若允许平局，"最粗充分划分"可以不存在。下面是一个例子。
(e) 给出全章最重要的两个端点。\(M_{\mathrm{all}}\) 是"任何任务都不可能需要更多"的天花板，\(\mathcal{S}_T\) 是"这一个任务不可能需要更少"的地板。

平局的反例：设四个观测的最优动作集合是 \(y_1:\{a,b\}\)、\(y_2:\{b,c\}\)、\(y_3:\{a\}\)、\(y_4:\{c\}\)。由引理 3.1 (iii)，一块够用当且仅当块内有公共最优动作，于是 \(\{y_1,y_3\}\)（公共 \(a\)）、\(\{y_2,y_4\}\)（公共 \(c\)）、\(\{y_1,y_2\}\)（公共 \(b\)）都可以成块。

\(\mathcal{P}_1=\{\{y_1,y_3\},\{y_2,y_4\}\}\) 与 \(\mathcal{P}_2=\{\{y_1,y_2\},\{y_3\},\{y_4\}\}\) 都充分，都无法再合并任何两块，且互不可比，所以不存在唯一"最粗"的那个。

它们的交按连通分量把四个观测连成一块（\(\{y_1,y_3\}\) 与 \(\{y_1,y_2\}\) 共有 \(y_1\)，\(\{y_1,y_2\}\) 与 \(\{y_2,y_4\}\) 共有 \(y_2\)），得到 \(\bot\)，而四个观测没有公共最优动作，\(\bot\) 不充分。

工程上平局是零测事件，剔除有平局的先验与门限即可。由风险对先验的连续性，剔除不改变 \(\mathcal{S}_{\mathcal{T}}\)【本站演算】。

3.4.2 无线任务格的第一张 Hasse 图#

Hasse 图（Hasse diagram）是画偏序的标准方式：每个元素一个节点，只在"直接"相邻的一对更细–更粗元素之间画边，能经传递推出的关系不再画。

现在把容器装上无线的内容。取本部第 1 章的链的第一环：知识是关于环境的，观测是"信道能看见的环境"。按第一部第 8 章，信道只能把环境分辨到等价类 \([E]_\varepsilon\)，所以我们取 \(\Theta_\varepsilon:=\{[E]_\varepsilon\}\)（离散化后有限）为状态空间，实验为单位阵，即"知道 \(\theta\) 落在哪一块"，正如算例 3.3。

此时 \(M_{\mathrm{all}}=\top\)：顶元素就是信道可见等价类本身。每个无线任务给出 \(\Theta_\varepsilon\) 的一个划分，它们的并与交按定义 3.2 计算。下图把主要节点画出来，每个节点标注"它对哪个任务类是最粗的够用划分"与"大约多少比特"。

flowchart TB
    TOP["$$\top$$ 信道可见等价类 $$[E]_\varepsilon$$<br/>一切信道任务<br/>$$\approx 1.3\times10^{6}$$ bit<br/>（会议室，算例 3.4）"]
    APS["角功率谱 APS<br/>（各发射方向上的功率）<br/>只依赖方向的一切任务类<br/>$$\approx 64\times6=384$$ bit<br/>（示意）"]
    GV["波束增益向量 $$g_1\ldots g_{64}$$<br/>（本区 + 邻区）<br/>码本固定的波束 /<br/>功控 / 切换任务类<br/>$$\le 384$$ bit"]
    TAIL["尾 CDF<br/>（增益的<br/>下尾分位数）<br/>中断预测 /<br/>链路余量任务类<br/>$$\approx 3\times6=18$$ bit"]
    KF["$$K$$ 因子<br/>（首径能量比）<br/>全部门限的<br/>LoS 判决类<br/>$$\approx 6$$ bit"]
    DIFF["增益差 $$g_n-g_s$$<br/>（量化到 0.5 dB）<br/>全部门限的切换类<br/>$$\approx 6$$ bit<br/>（算例 3.1）"]
    BI["最优波束索引<br/>$$\arg\max g$$<br/>单码本<br/>波束选择，<br/>$$k=64$$ · 6 bit"]
    SGN["增益差符号<br/>$$\mathbf{1}[g_n-g_s \gt \mathrm{Off}]$$<br/>固定门限 A3 切换，<br/>$$k=2$$ · 1 bit"]
    LOS["LoS 指示<br/>$$\mathbf{1}[K\ge K_0]$$<br/>固定门限<br/>LoS 判决，<br/>$$k=2$$ · 1 bit"]
    OUT["中断指示<br/>$$\mathbf{1}[P_{\mathrm{out}} \gt p]$$<br/>固定目标的<br/>中断判决，<br/>$$k=2$$ · 1 bit"]
    BOT["$$\bot$$ 平凡划分<br/>不需要环境知识的任务<br/>0 bit"]
    TOP --> APS
    TOP --> TAIL
    TOP --> KF
    APS --> GV
    GV --> BI
    GV --> DIFF
    DIFF --> SGN
    TAIL --> OUT
    KF --> LOS
    BI ---> BOT
    SGN --> BOT
    OUT ----> BOT
    LOS ----> BOT

怎么读这张图

向下的箭头是"粗化"（下面的节点是上面节点的函数，\(\preceq\)）。同一层里没有箭头相连的节点互不可比。
三条支路在顶元素之下就分开了：方向支路（APS → 增益向量 → 索引 / 增益差 → 符号）、尾部支路（尾 CDF → 中断指示）、首径支路（K 因子 → LoS 指示）。它们的交一般是 \(\bot\)。
节点上的比特数是本站示意性推算【本站推算】：\(64\) 波束索引 \(6\) 比特是算术事实；增益向量按 64 个方向各 6 比特幅度量化；尾 CDF 按 3 个分位数各 6 比特；\(1.3\times10^{6}\) 见算例 3.4。
图中没有画"最优波束索引"与"中断指示"之间的任何边。它们不可比，这是下面要论证的。

三条支路为什么是这样的

**方向支路的链条 \(\mathrm{APS}\succeq\mathbf{g}\succeq\{\text{索引},\ \Delta\}\succeq\text{符号}\)。**波束增益 \(g_k=\int|B_k(\varphi)|^2\,\mathrm{APS}(\varphi)\,\mathrm{d}\varphi\) 是角功率谱的线性泛函（\(B_k\) 为第 \(k\) 个波束的方向图），故增益向量是 APS 的函数。
- 最优索引是增益向量的 \(\arg\max\)。
- 本区与邻区的增益差是它的两个分量之差。
- 切换符号是增益差的门限函数。
- 每一步都是"取函数"，即划分的粗化。
**尾部支路与方向支路不可比。**取两个环境状态 \(\theta,\theta'\)：主导方向相同（故最优波束索引相同），但一个有深衰落尾巴、一个没有（中断指示不同）。于是"索引划分"不能粗于"中断划分"。再取两个状态：尾巴相同但主导方向不同，"中断划分"也不能粗于"索引划分"。两者互不为对方的函数，在格里不可比。它们的交是 \(\bot\)（除非环境族恰有某种耦合），并是"索引 × 中断"的乘积划分，7 比特。
**切换类 \(\succeq\) 中断类？不成立。**直觉上容易写出"波束管理 ≽ 切换 ≽ 中断预测"这样一条链，它只对前半段成立（增益向量确实决定"谁更强"）。后半段不成立："谁更强"是均值层面的比较，不含尾部。正确的说法是：方向支路是一条链，尾部支路是另一条链，两条链只在顶元素处汇合。

3.4.3 第一步引理：两个任务的充分统计量显式解#

任务格要落地，至少得有一个能严格证明的无线实例。取第一部第 10 章的单反射面玩具族，它就是两径模型，并把波束理想化为扇区波束，充分划分可以精确写出。

引理 3.3（两径模型上波束选择类与 LoS 判决类的充分划分）【本站演算】

模型。信道 \(\mathbf{h}=\alpha_1\mathbf{a}(\varphi_1)+\alpha_2\mathbf{a}(\varphi_2)\)：两条路径，复增益 \(\alpha_p\)、发射方向 \(\varphi_p\)，路径 1 为首到径（时延最短）。码本由 \(N\) 个理想扇区波束组成：第 \(k\) 个波束在扇区 \(\Omega_k\) 内增益为 1、扇区外为 0，扇区两两不交、并为全部方向。记 \(k(\varphi)\) 为方向 \(\varphi\) 所在的扇区编号。环境状态 \(\theta=(\varphi_1,\varphi_2,\alpha_1,\alpha_2)\)。排除零测的平局集合（\(|\alpha_1|=|\alpha_2|\)、\(\alpha_1+\alpha_2=0\)、\(\varphi_p\) 恰在扇区边界）。

(a) 单码本波束选择（任务：选 \(\arg\max_kg_k\)，0-1 损失，任意无平局先验）：

\[ a^\star(\theta)=k(\varphi_{\mathrm{dom}}),\qquad \varphi_{\mathrm{dom}}:=\begin{cases}\varphi_1,&|\alpha_1|>|\alpha_2|,\\ \varphi_2,&|\alpha_2|>|\alpha_1|.\end{cases} \]

充分划分 \(\mathcal{S}_{\mathrm{beam}}\) = 按"主导径所在扇区"分块，\(N\) 块，\(\le\log_2N\) 比特（\(N=64\) 时 6 比特）。它不依赖相对强度 \(|\alpha_2/\alpha_1|\) 的大小（只依赖谁大）与相位差。

(b) 波束选择类（任务类：码本沿方向整体平移任意偏移 \(\tau\) 的全体波束选择任务）：充分划分 = 按主导径方向 \(\varphi_{\mathrm{dom}}\) 本身分块（连续量），即只记"主导径的方向"这一个量。哪条径更强只用来决定取 \(\varphi_1\) 还是 \(\varphi_2\)，本身不单独记录。\(\varphi_{\mathrm{dom}}\) 相同而主导径不同的两个状态落在同一块，例如 \(\varphi_1=10^\circ\) 且 \(|\alpha_1|>|\alpha_2|\)，与 \(\varphi_2=10^\circ\) 且 \(|\alpha_2|>|\alpha_1|\)。

(c) LoS 判决类（任务类：对一切门限 \(K_0>0\) 判定 \(K:=|\alpha_1|^2/|\alpha_2|^2\ge K_0\)，0-1 损失）：单个门限的充分划分是 \(\mathbf{1}[K\ge K_0]\)（1 比特）。整个类的充分划分 = 按 \(K\) 的值分块，即首径能量比本身。

这里的 \(K\) 借用了莱斯 \(K\) 因子（确定分量与散射分量的功率比，预备篇 2.4）的名字：两径模型里没有散射分量，由第二条径的功率代替。它与扇区编号 \(k(\cdot)\)、动作数 \(k\) 是不同的量。

证明。

(a)　第 \(k\) 个波束的增益为 \(g_k=\bigl|\alpha_1\mathbf{1}[\varphi_1\in\Omega_k]+\alpha_2\mathbf{1}[\varphi_2\in\Omega_k]\bigr|^2\)。*理想扇区波束把"投影"变成了"在不在扇区里"，这是能写出闭式的全部原因。*分两种情形。

情形一：\(k(\varphi_1)\ne k(\varphi_2)\)。则 \(g_{k(\varphi_1)}=|\alpha_1|^2\)，\(g_{k(\varphi_2)}=|\alpha_2|^2\)，其余 \(g_k=0\)。最大者是模较大的那条径所在扇区，即 \(k(\varphi_{\mathrm{dom}})\)，无平局保证唯一。

情形二：\(k(\varphi_1)=k(\varphi_2)=:k_0\)。则 \(g_{k_0}=|\alpha_1+\alpha_2|^2>0\)（已排除相消），其余为 0，最优为 \(k_0=k(\varphi_1)=k(\varphi_2)=k(\varphi_{\mathrm{dom}})\)。

两种情形下 \(a^\star=k(\varphi_{\mathrm{dom}})\)。由命题 3.2(a)，单任务的充分划分就是 \(a^\star\) 的水平集。\(\square\)

(b)　对偏移 \(\tau\) 的码本，扇区编号函数变为 \(k_\tau(\varphi)\)，由 (a) 得 \(a^\star_\tau=k_\tau(\varphi_{\mathrm{dom}})\)。由命题 3.2(a)，类的充分划分是 \(\bigvee_\tau\mathcal{S}_{k_\tau(\varphi_{\mathrm{dom}})}\)。

两个状态若 \(\varphi_{\mathrm{dom}}\) 不同，总存在某个偏移 \(\tau\) 使一条扇区边界恰好落在两者之间（边界位置随 \(\tau\) 连续滑过整个方向区间），于是它们在该 \(\tau\) 下被分开。反之 \(\varphi_{\mathrm{dom}}\) 相同的状态在每个 \(\tau\) 下都同块。故并恰是按 \(\varphi_{\mathrm{dom}}\) 分块。

而 \(\varphi_{\mathrm{dom}}\) 是 \((\varphi_1,\varphi_2)\) 与"\(|\alpha_1|\gtrless|\alpha_2|\)"的函数。这就是"主导 AoD 与次强径的相对强度"的精确含义：相对强度只以符号进入，而且只用来决定取哪条径的方向。\(\square\)

(c)　单门限：0-1 损失下最优动作是 \(\mathbf{1}[K\ge K_0]\)，充分划分为其水平集。全部门限的并：两个状态 \(K\ne K'\) 时取 \(K_0\) 落在两者之间即被分开；\(K=K'\) 时任何门限都不分开。故并是按 \(K\) 分块。\(\blacksquare\)

物理意义

波束选择类只要"主导径的方向"（谁是主导只用来选出这个方向，本身不必另记）。LoS 判决类只要"首径能量比"。

两者是 \(\Theta_\varepsilon\) 的两个互不可比的划分（方向相同能量比可以不同，反之亦然）。它们的并（"方向 + 能量比"）才是同时服务两类任务的最粗知识。

这是 CKM 该分层存储的第一个可证实例：BIM 一层，K 因子 / LoS 概率图一层，缺一不可、合一冗余。

行为分析

理想扇区波束是 (a) 能写成闭式的关键。真实 DFT 波束有旁瓣与主瓣滚降，两条径落在同一主瓣内时 \(g_k=|B_k(\varphi_1)\alpha_1+B_k(\varphi_2)\alpha_2|^2\) 含交叉项，最优索引开始依赖相位差 \(\arg(\alpha_2/\alpha_1)\)。充分划分变细，比特数随两径角距离缩小而增加。

这是第 4 章"相位 / 结构二分"的入口：分辨到相位的知识只在 \(\lambda/4\) 量级内可迁移。真实波束下的显式充分划分【部分结果】：两径角距离大于一个主瓣宽度时 (a) 的结论按近似成立，小于时未刻画。

到此为止我们得到了什么

任务格本身。任务类到划分的映射单调、保并、不保交。像夹在最优动作划分与似然划分之间，本身是一个格。

无线的第一张 Hasse 图有三条支路，两径模型上其中两条支路的充分划分被显式写出：波束类只要主导 AoD，LoS 类要首径能量比。

3.5 顶与底：Q1 天花板与任务地板#

格画出来了，接下来给顶和底标上比特。

3.5.1 顶、底与猜想 3.4#

顶

顶元素 \(\top=\Theta_\varepsilon\) 是"信道在精度 \(\varepsilon\) 下能分辨的环境等价类"。它有多少块？

先取第一部第 8 章的口径：会议室 \(a=5\) m、3.5 GHz，曲面观测的有效维度 \(d_{\mathrm{eff}}(E;\varepsilon)=\#\{j:\sigma_j(\mathrm{D}\Phi[E])>\varepsilon\sigma_1\}\approx1.3\times10^{5}\)。

把信道可见的那一部分环境看成一个 \(d_{\mathrm{eff}}\) 维的有界集合。在相对精度 \(\varepsilon\) 下能分辨的块数，就是它的 \(\varepsilon\)-覆盖数（covering number）。覆盖数指最少要多少个边长 \(\varepsilon\) 的小格才能把集合盖满，换成半径 \(\varepsilon\) 的小球只差一个常数倍。每个小格就是一个"内部差别分不清"的块。

覆盖数的对数按维数计数。用长 \(\varepsilon\) 的小段盖满 \([0,1]\) 要 \(1/\varepsilon\) 段，\(\varepsilon=10^{-3}\) 时是 \(1000\) 段、约 \(10\) 比特。\(d\) 维时每一维各切一次，块数约 \((1/\varepsilon)^{d}\)。

所以每个可见维度贡献约 \(\log_2(1/\varepsilon)\) 比特。这里用到单位球的 \(\varepsilon\)-覆盖数 \(\sim(c/\varepsilon)^{d}\)，\(c\) 为与维数无关的常数。于是

\[ \log_2|\Theta_\varepsilon|\ \approx\ d_{\mathrm{eff}}(E;\varepsilon)\cdot\log_2\frac1\varepsilon\ +\ O(d_{\mathrm{eff}}) . \]

底

单任务 \(T\) 的地板是 \(\mathcal{S}_T\)，其熵不超过 \(\log_2|A_T|\)：

\[ H(\mathcal{S}_T)=H(a^\star_T(\theta))\ \le\ \log_2|A_T| . \]

猜想 3.4（Q1 天花板与任务地板）【开放·本站原创】

设 \(\mathcal{E}\) 为无线环境族上的信道可见实验，任务类 \(\mathcal{T}\) 由损失在 \([0,1]\) 的信道任务组成。记 \(\Delta U_T(R)\) 为"用 \(R\) 比特描述环境所能带来的任务 \(T\) 的最大效用改善"（定义 3.4，下文），\(R^{\mathrm{sat}}_T\) 为其饱和点。猜想：

**(a) 天花板。**对一切 \(T\in\mathcal{T}\)，

\[ R^{\mathrm{sat}}_T\ \le\ R_{\mathrm{ceil}}:=d_{\mathrm{eff}}(E;\varepsilon)\log_2\frac1\varepsilon+O(d_{\mathrm{eff}}), \]

且在 \(R\ge R_{\mathrm{ceil}}\) 处任何任务的风险与"环境全知"的风险之差为 \(O(\varepsilon)\)。会议室的数字：\(1.3\times10^{5}\times\log_2 10^{3}\approx1.3\times10^{6}\) 比特 \(\approx160\) kB【本站推算】。这是第一部第 9 章"CKM 的香农曲线"\(\Delta C(R_{\mathrm{env}})\) 右端点的比特坐标。

**(b) 地板。**对单个任务 \(T\)（无平局），\(R^{\mathrm{sat}}_T=H(\mathcal{S}_T)\le\log_2|A_T|\)：64 波束 \(\le6\) 比特、固定门限切换 \(\le1\) 比特。

**(c) 中间。**对任务类 \(\mathcal{T}\)，\(R^{\mathrm{sat}}_{\mathcal{T}}=H(\mathcal{S}_{\mathcal{T}})\)，且饱和点在格上单调：\(\mathcal{S}_{\mathcal{T}}\preceq\mathcal{S}_{\mathcal{T}'}\Rightarrow R^{\mathrm{sat}}_{\mathcal{T}}\le R^{\mathrm{sat}}_{\mathcal{T}'}\)。

已知与未知的边界

(b) 的"\(\le\)"方向是平凡的（直接传 \(a^\star\)，见定理 3.5(b)）。
(a) 的"知道顶就知道一切"是数据处理不等式。
未知的是 (a) 里 \(R_{\mathrm{ceil}}\) 是否是紧的。任务对环境的依赖具有物理 Lipschitz 结构（第一部第 10 章猜想形态 \(R_{e'}(f)\le R_e(f)+C\cdot d(e,e')\)），很可能使一切实际任务在远低于 \(R_{\mathrm{ceil}}\) 处饱和。这是 Q3 曲线"中段形状未知"（凹增 / 阈值跳变 / 早饱和）的另一种问法。
(c) 的单调性由命题 3.2(b) 与熵的单调性可证，但"饱和点 = 熵"需要率失真意义下的精确化（§3.6）。

3.5.2 算例 3.4：会议室的五个数字#

算例 3.4（会议室的五个数字：一本量纲分明的账）

同一间会议室（第一部第 8 章：8 m × 5 m × 3 m，3.5 GHz，\(\lambda\approx8.57\) cm），五个数字，三种量纲：

层	数字	量纲	出处
环境完整描述	\(\approx1.9\times10^{8}\)	参数个数（\(\lambda/10\) 体素数）	第一部第 8 章
信道可见维度 \(d_{\mathrm{eff}}\)	\(\approx1.3\times10^{5}\)	维数	第一部第 8 章
到通信精度的天花板 \(R_{\mathrm{ceil}}\)	\(\approx1.3\times10^{6}\)	比特	本章【本站推算】
波束索引图 BIM，每位置	\(6\)	比特 / 位置	算术事实
固定门限切换，每判决	\(1\)	比特 / 判决	算术事实

天花板的算式。\(\varepsilon\) 取第一部第 8 章工程动态范围 \([10^{-6},10^{-3}]\)（幅度）的宽松端 \(10^{-3}\)：

\[ \log_2\frac1\varepsilon=\log_2 10^{3}=3\log_2 10=3\times3.3219=9.966,\qquad R_{\mathrm{ceil}}\approx1.3\times10^{5}\times9.966=1.296\times10^{6}\ \text{bit}. \]

换成字节：\(1.296\times10^{6}/8=1.62\times10^{5}\) B \(\approx160\) kB。

三个量纲不能互换。

\(1.9\times10^{8}\) 是"要写多少个数"。
\(1.3\times10^{5}\) 是"这些数里有多少个独立方向被信道看见"。
\(1.3\times10^{6}\) 是"把看得见的方向写到通信精度要多少比特"。

第一部第 8 章已提醒，前者是参数个数，后两者是维数，不宜与比特混写。本章把第三种量纲补齐：维数乘以每维的分辨率比特，才是比特。

校验

(a) \(\log_2 10^{3}=9.966\) 用另一条路径：\(2^{10}=1024\)，故 \(\log_2 1000=10-\log_2 1.024=10-0.0342=9.966\) ✓。
(b) \(1.3\times10^{5}\times9.966=1.2956\times10^{6}\)，四舍五入 \(1.3\times10^{6}\) ✓。
(c) 对 \(\varepsilon\) 的敏感性：\(\varepsilon=10^{-6}\) 时 \(\log_2 10^{6}=19.93\)，\(R_{\mathrm{ceil}}\approx2.6\times10^{6}\) 比特 \(\approx320\) kB。整个工程动态范围只让天花板变化 2 倍，所以天花板对 \(\varepsilon\) 是对数敏感，对 \(d_{\mathrm{eff}}\) 是线性敏感 ✓。
(d) \(d_{\mathrm{eff}}\) 自身复算：\(k=2\pi/\lambda=73.3\) rad/m，\(ka=366.5\)，\((ka)^2=1.34\times10^{5}\)，与第一部口径 \(1.3\times10^{5}\) 一致 ✓。
(e) 体素数复算：\(120\ \mathrm{m}^3/(8.57\ \mathrm{mm})^3=120/6.30\times10^{-7}=1.9\times10^{8}\) ✓。

3.5.3 算例 3.5：BIM 的原始存储#

算例 3.5（BIM 的原始存储：任务比特 ≪ 原始存储 ≪ 天花板）

把 64 波束的波束索引图铺在 10 m × 10 m 的区域上，按 \(\lambda/2\) 栅格存。CKM 教程 [19] 的定性原则是：小尺度知识需要与波长同量级的定位精度。教程没有给出存储字节数，以下全是本站按 \(\lambda/2\) 栅格的推算【本站推算】。

第一步：波长与栅格。\(\lambda=c/f=3\times10^{8}/3.5\times10^{9}=0.08571\) m，\(\lambda/2=0.04286\) m。

**第二步：位置数。**每边 \(10/0.04286=233.3\) 格，共 \(233.3^2=5.44\times10^{4}\) 个位置。

**第三步：原始比特。**每位置 6 比特：\(5.44\times10^{4}\times6=3.27\times10^{5}\) 比特 \(\approx41\) kB。

第四步：与天花板比。\(3.27\times10^{5}\) 与 \(1.3\times10^{6}\) 同量级（差 4 倍）。这说明原始 BIM 几乎和"信道看得见的一切"一样大，这显然不对：BIM 是顶元素的一个函数（Hasse 图里从 \(\top\) 向下三层），信息量不可能接近顶。

**第五步：熵编码后。**波束索引不在 \(\lambda\) 尺度上变化，而在环境特征尺度 \(L\) 上变化。第一部第 2 章指出，\(\lambda/L\) 决定环境哪些细节被信道看见。最优波束随位置的切换发生在遮挡边缘与反射面边界，尺度 \(L\sim1\) m。

若索引在 \(L=1\) m 的区域内分片常值，独立区域约 \((10/1)^2=100\) 个，\(100\times6=600\) 比特，再加区域边界的描述。这比原始存储低两到三个数量级。

这就是"任务需要的比特 \(\ll\) 原始存储"的实例：原始存储在为 \(\lambda\) 尺度的采样付费，任务只在 \(L\) 尺度上有信息。

校验

(a) 改用截断到四位小数的 \(\lambda/2=0.0428\) m 复算：\((10/0.0428)^2=5.46\times10^{4}\)，与 \(5.44\times10^{4}\) 相差 \(0.4\%\)，同为 \(5.4\)–\(5.5\times10^{4}\) ✓。
(b) 比特数复算：\(5.44\times10^{4}\times6=3.266\times10^{5}\)，\(/8=40.8\) kB ✓。
(c) 数据处理不等式的一致性：BIM 熵编码后的比特（\(\sim10^{3}\)）\(<\) 原始存储（\(3.3\times10^{5}\)）\(<\) 天花板（\(1.3\times10^{6}\)），三者的序与 Hasse 图的方向一致 ✓。
(d) 极限：\(L\to\lambda/2\)（波束随每个位置独立变化）时熵编码退化为原始存储 \(3.3\times10^{5}\) ✓；\(L\to10\) m（整片区域同一波束）时只需 6 比特 ✓。

到此为止我们得到了什么

格的两端各一个数。顶是 \(d_{\mathrm{eff}}\log_2(1/\varepsilon)\approx1.3\times10^{6}\) 比特（160 kB），这是 Q3 曲线右端点的比特坐标。底是 \(H(a^\star)\le\log_2|A_T|\)。

两者之间差六个数量级，而 BIM 的原始存储与熵编码之间又差两三个数量级。"任务需要什么"从此有了上下界。

3.6 给格元素定价：间接率失真#

格告诉我们"要哪一部分"，还没告诉"要多少比特"。熵 \(H(\mathcal{S})\) 是零失真的价格。允许一点任务损失时价格会降，降多少由率失真函数决定。

但这里有个特殊之处：我们压缩的是观测 \(X\)（信道、CSI），而任务关心的是隐变量 \(\theta\)（环境、位置、下一时刻的增益）。这叫间接（indirect / remote）率失真，1962 年就有编码定理。

3.6.1 模型与定理 3.5#

直觉

你不能直接看到 \(\theta\)，只能看到它的带噪版本 \(X\)，还要把 \(X\) 压缩后传给别人去猜 \(\theta\)。问题看起来比普通率失真难，其实可以化归：把"猜错 \(\theta\) 的损失"换算成"看到 \(X\) 后的期望损失"，就变回了以 \(X\) 为源的普通率失真，只是失真度量换了一个。

模型

\((\theta_i,X_i)\) 独立同分布，\(\theta_i\sim\pi\)，\(X_i\sim W(\cdot\mid\theta_i)\)（有限字母表）。
编码器只见 \(X^n\)，输出 \(nR\) 比特；译码器输出 \(\hat{\theta}^n\)；失真 \(d(\theta,\hat\theta)\ge0\) 有界。
速率 \(R\) 在失真 \(D\) 下可达，若存在编码序列使 \(\limsup_n\frac1n\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}\,d(\theta_i,\hat\theta_i)\le D\)。\(R_{\mathrm{ind}}(D)\) 为可达速率的下确界。

定理 3.5（间接率失真，Dobrushin–Tsybakov 1962 / Witsenhausen 1980）【已解决（经典）·本站搬运】

定义修正失真（modified distortion）

\[ d'(x,\hat\theta):=\mathbb{E}\bigl[d(\theta,\hat\theta)\mid X=x\bigr]=\sum_{\theta}P(\theta\mid x)\,d(\theta,\hat\theta). \]

(a) 对 \(D\ge D_{\min}:=\mathbb{E}\bigl[\min_{\hat\theta}d'(X,\hat\theta)\bigr]\)，

\[ R_{\mathrm{ind}}(D)=R_{X,d'}(D):=\min_{p(\hat\theta\mid x):\ \mathbb{E}\,d'(X,\hat\theta)\le D}I(X;\hat\theta), \]

即以 \(X\) 为源、\(d'\) 为失真的直接率失真函数；\(D<D_{\min}\) 不可达。

(b)【本站演算·由 (a) 直接推出】 若在每个正概率的 \(x\) 处 \(\arg\min_{\hat\theta}d'(x,\hat\theta)\) 唯一（记为 \(a^\star(x)\)），则

\[ R_{\mathrm{ind}}(D_{\min})=H\bigl(a^\star(X)\bigr)=H(\mathcal{S}_T), \]

即在任务能达到的最小损失处，所需速率恰是任务地板的熵。

出处：Dobrushin–Tsybakov 1962 [3]（含噪信源的最优编码）。Witsenhausen 1980 [7] 的"断连原理"给出统一表述，并推广到噪声相关、译码端边信息、失真第二自变量再过信道等情形。教科书处理见 Berger 1971 [4]。

3.6.2 定理 3.5 的证明#

证明。

**第一步：关键恒等式。对任何编码，\(\theta\) 上的平均失真等于 \(X\) 上的平均修正失真。**固定任一编码，\(\hat\theta_i\) 是 \(X^n\) 的函数，记 \(\hat\theta_i=\hat\theta_i(x^n)\)。按定义展开期望：

\[ \mathbb{E}\,d(\theta_i,\hat\theta_i)=\sum_{x^n}P(x^n)\sum_{\theta}P(\theta_i=\theta\mid x^n)\,d\bigl(\theta,\hat\theta_i(x^n)\bigr). \]

这一步只是"先对 \(X^n\) 条件、再对 \(\theta_i\) 求期望"。

**第二步：无记忆性把条件从 \(x^n\) 缩到 \(x_i\)。**因 \((\theta_j,X_j)\) 独立同分布，

\[ P(\theta_i=\theta,\,x^n)=P(\theta,x_i)\prod_{j\ne i}P(x_j),\qquad P(x^n)=\prod_{j}P(x_j), \]

相除得 \(P(\theta_i=\theta\mid x^n)=P(\theta,x_i)/P(x_i)=P(\theta\mid x_i)\)。*给定 \(X_i\)，其余的 \(X_j\) 对 \(\theta_i\) 不再提供任何信息。这是无记忆性的全部作用，也是"\(\hat\theta_i\) 依赖整个 \(x^n\)"不碍事的原因。*代回第一步：

\[ \mathbb{E}\,d(\theta_i,\hat\theta_i)=\sum_{x^n}P(x^n)\,d'\bigl(x_i,\hat\theta_i(x^n)\bigr)=\mathbb{E}\,d'(X_i,\hat\theta_i). \]

**第三步：两个问题的可达区域相同。**第二步对每个 \(i\) 与每个编码成立。所以任一编码在间接问题里的失真 \(\frac1n\sum_i\mathbb{E}d(\theta_i,\hat\theta_i)\)，与它在"源 \(X\)、失真 \(d'\)"的直接问题里的失真 \(\frac1n\sum_i\mathbb{E}d'(X_i,\hat\theta_i)\) 逐编码相等。

编码器都只看 \(X^n\)，两个问题的编码集合是同一个集合。于是可达 \((R,D)\) 对的集合相同，\(R_{\mathrm{ind}}(D)=R^{\mathrm{direct}}_{X,d'}(D)\)。

**第四步：引用直接率失真定理。**Shannon 的率失真定理（预备篇 4.9；Berger [4]）说：对有限字母表的无记忆源与有界失真，直接问题的最小可达速率是 \(\min_{p(\hat\theta\mid x):\mathbb{E}d'\le D}I(X;\hat\theta)\)。代入即得 (a)。

\(D<D_{\min}\) 时约束集为空：任何编码的失真 \(\ge\mathbb{E}\min_{\hat\theta}d'(X,\hat\theta)=D_{\min}\)（逐符号取最小）。

**第五步：证 (b)。**在 \(D=D_{\min}\) 处，约束 \(\mathbb{E}d'(X,\hat\theta)\le D_{\min}\) 迫使 \(\hat\theta\in\arg\min d'(x,\cdot)\) 几乎必然，否则某个正概率的 \(x\) 处期望严格超过最小值。唯一性给出 \(\hat\theta=a^\star(X)\) 几乎必然，是 \(X\) 的确定函数，故 \(I(X;\hat\theta)=H(a^\star(X))\)。

这个速率可达：把 \(a^\star(X^n)\) 无损传输，速率 \(H(a^\star(X))\)，失真恰为 \(D_{\min}\)。\(\blacksquare\)

物理意义

修正失真 \(d'(x,\hat\theta)\) 就是看到 \(x\) 之后采取动作 \(\hat\theta\) 的后验期望损失。它是定理 2.2 证明第二步里那个 \(g_\theta(z)\)（固定 \(\theta\) 时的期望损失）按后验 \(P(\theta\mid x)\) 对 \(\theta\) 加权平均的版本。
间接率失真于是说：任务导向压缩，等于以"后验期望损失"为失真度量的普通压缩。任务不必被显式传输，它以失真度量的身份进入了编码定理。
(b) 把两章接上了：格给出地板 \(\mathcal{S}_T\)，率失真在 \(D_{\min}\) 处给出它的价格 \(H(\mathcal{S}_T)\)。同一个东西，两种语言。

行为分析

**\(D_{\min}\) 是不可约失真。**无论多少比特，隔着噪声观测猜 \(\theta\) 总有一个下限。这是 §3.1 里"中断预测要一条尾 CDF"的编码论解释：尾部信息隔着单次观测本来就看不清。
**\(d'\) 由任务的损失与观测模型共同决定，与编码器无关。**这回答了语义通信的那个老问题（§3.7）。
**从单任务到任务类。**任务类对应一组修正失真 \(\{d'_T\}_{T\in\mathcal{T}}\)，自然的推广是多失真约束的率失真 \(\min I(X;Z)\) s.t. \(\mathbb{E}d'_T\le D_T\ \forall T\)。Liu–Zhang–Poor 2021/2022 [16][17] 的"语义率失真"正是双失真的这种形式（一个约束对不可观测的内在状态、一个对外在观测）。闭式只在高斯观测与二元分类等特例下已知【部分结果】。

3.6.3 算例 3.6：二元间接率失真曲线#

算例 3.6（二元间接率失真曲线：\(R(D)=1-h\bigl((D-q)/(1-2q)\bigr)\)）【已解决·本站演算实例】

\(\theta\sim\mathrm{Bern}(1/2)\)，\(X=\theta\oplus Z\)，\(Z\sim\mathrm{Bern}(q)\)，\(q<1/2\)，汉明失真 \(d(\theta,\hat\theta)=\mathbf{1}[\theta\ne\hat\theta]\)。

**第一步：后验。**先算 \(P(X=x)=\tfrac12(1-q)+\tfrac12q=\tfrac12\)，所以 \(X\) 也等概，第四步要用。由 Bayes 公式，\(P(\theta=x\mid X=x)=\tfrac12(1-q)\big/\tfrac12=1-q\)，\(P(\theta\ne x\mid X=x)=q\)。

第二步：修正失真。\(d'(x,\hat\theta)=P(\theta\ne\hat\theta\mid X=x)\)：若 \(\hat\theta=x\) 则 \(=q\)；若 \(\hat\theta\ne x\) 则 \(=1-q\)。写成一个式子：

\[ d'(x,\hat\theta)=q+(1-2q)\,\mathbf{1}[\hat\theta\ne x]. \]

第三步：把约束换算到 \(X\) 上。\(\mathbb{E}\,d'(X,\hat\theta)=q+(1-2q)\Pr\{\hat\theta\ne X\}\le D\)，即

\[ \Pr\{\hat\theta\ne X\}\ \le\ \frac{D-q}{1-2q}=:D_{\mathrm{eff}} . \]

*这一步说：在 \(\theta\) 上容忍 \(D\)，等于在 \(X\) 上容忍 \(D_{\mathrm{eff}}\)，做法是把不可约的 \(q\) 扣掉，再按 \(1-2q\) 缩放。*这里的 \(D_{\mathrm{eff}}\) 是"折算到 \(X\) 上的有效失真"，与 §3.5 的有效维度 \(d_{\mathrm{eff}}\) 无关。

**第四步：直接率失真。**因为 \(1-2q>0\)，第三步两边除过去不等号不变向，约束 \(\mathbb{E}\,d'(X,\hat\theta)\le D\) 与 \(\Pr\{\hat\theta\ne X\}\le D_{\mathrm{eff}}\) 是同一个约束。

于是定理 3.5(a) 要求的，恰是 \(X\sim\mathrm{Bern}(1/2)\)（第一步已得）在汉明失真下的直接率失真函数 \(\min_{p(\hat\theta\mid x):\,\Pr\{\hat\theta\ne X\}\le D_{\mathrm{eff}}}I(X;\hat\theta)\)（定义见预备篇 4.9）。对 \(D_{\mathrm{eff}}\in[0,1/2]\)，它等于 \(1-h(D_{\mathrm{eff}})\)（Berger [4]），分两步验证：

**下界。**记 \(N:=X\oplus\hat\theta\)，则 \(\Pr\{N=1\}\le D_{\mathrm{eff}}\)。\(I(X;\hat\theta)=H(X)-H(X\mid\hat\theta)=1-H(N\mid\hat\theta)\ge1-H(N)\ge1-h(D_{\mathrm{eff}})\)。第二个等号：\(H(X)=1\)，且给定 \(\hat\theta\) 时 \(X\) 与 \(N\) 一一对应；第一个不等号：条件不增熵；最后一步：\(h\) 在 \([0,1/2]\) 上递增。
**可达。**取 \(\hat\theta\sim\mathrm{Bern}(1/2)\) 与 \(N\sim\mathrm{Bern}(D_{\mathrm{eff}})\) 独立，令 \(X=\hat\theta\oplus N\)。这样的 \(X\) 确实等概，由联合分布可读出一个合法的 \(p(\hat\theta\mid x)\)。此时 \(\Pr\{\hat\theta\ne X\}=D_{\mathrm{eff}}\)，\(H(N\mid\hat\theta)=H(N)=h(D_{\mathrm{eff}})\)，上面的不等式全部取等。

第五步：代回。

\[ R(D)=1-h\Bigl(\frac{D-q}{1-2q}\Bigr),\qquad q\le D\le\tfrac12;\qquad D<q\ \text{不可达},\quad D\ge\tfrac12\ \text{时}\ R=0 . \]

端点来自 \(D_{\mathrm{eff}}\in[0,\tfrac12]\)：\(D_{\mathrm{eff}}=0\iff D=q\)；\(D_{\mathrm{eff}}=\tfrac12\iff D-q=\tfrac12(1-2q)\iff D=\tfrac12\)。

\(D<q\) 对应 \(D_{\mathrm{eff}}<0\)，即要求 \(\Pr\{\hat\theta\ne X\}<0\)，不可能。这就是定理 3.5 的 \(D_{\min}\)：每个 \(x\) 处 \(\min_{\hat\theta}d'(x,\hat\theta)=q\)，故 \(D_{\min}=q\)。

数值（\(q=0.1\)，\(D=0.2\)）。\(D_{\mathrm{eff}}=0.1/0.8=0.125\)，\(h(0.125)=0.125\times3+0.875\times0.1926=0.375+0.1686=0.5436\)，其中 \(\log_2(1/0.125)=3\)，\(\log_2(1/0.875)=0.1926\)。所以 \(R=1-0.5436=0.456\) 比特，与下图 \(q=0.1\) 曲线在 \(D=0.2\) 处的值一致。

校验

(a) 两端点：\(D=q\) 时 \(D_{\mathrm{eff}}=0\)，\(R=1-h(0)=1\)。这是把 \(X\) 原样无损传输（\(H(X)=1\)），失真恰为不可约的 \(q\)，与定理 3.5(b) 吻合：\(a^\star(x)=x\)，\(H(a^\star(X))=H(X)=1\) ✓。\(D=1/2\) 时 \(D_{\mathrm{eff}}=1/2\)，\(R=1-h(1/2)=0\)，什么也不传、瞎猜，错一半 ✓。
(b) 三种参数化同一个数：\(R_{q=0.1}(0.30)\)、\(R_{q=0}(0.25)\)、\(R_{q=0.2}(0.35)\) 的 \(D_{\mathrm{eff}}\) 都是 \(0.25\)，三者都等于 \(1-h(0.25)=1-0.8113=0.1887\) ✓。曲线族只是直接曲线沿横轴的仿射变换 \(R_q(D)=R_0\bigl((D-q)/(1-2q)\bigr)\)。
(c) 极限 \(q\to0\)：\(R\to1-h(D)\)，退化为直接二元率失真 ✓。\(q\to1/2\)：可达区间 \([q,1/2]\) 缩成一点，观测与 \(\theta\) 独立，任何速率都无用 ✓。
(d) 曲线在 \(D=q\) 处的斜率 \(=-h'(0^+)/(1-2q)=-\infty\)。从不可约失真出发的第一比特最值钱，与第三部 \(V(I)\)"在小 \(I\) 处极陡"同形 ✓。

二元间接率失真：R(D) = 1 − h((D − q)/(1 − 2q))，三条 q

怎么读这张图

三条曲线自上而下是 \(q=0.2\)、\(q=0.1\)、\(q=0\)（直接压缩，无观测噪声）。
横轴从 \(0.2\) 起，因为 \(q=0.2\) 的曲线在 \(D<0.2\) 处不存在（不可达）。\(q=0.1\) 的曲线在图外的 \(D=0.1\) 处到达 \(R=1\)。
观测噪声 \(q\) 越大，曲线整体右移、变陡：同样的任务失真要花更多比特，且"第一比特"更值钱。
三条曲线在 \(D_{\mathrm{eff}}=0.25\) 处的值都是 \(0.1887\)（分别在 \(D=0.35,0.30,0.25\)），这就是校验 (b)。数据由算例 3.6 的闭式逐点算出。

到此为止我们得到了什么

格元素的价签。任务导向压缩在 1962 年就有编码定理，秘诀是把任务损失换成"看到观测后的后验期望损失"作为失真度量。在最小可达失真处，价格恰是任务地板的熵，格与率失真在此接口。

二元算例给出了整条曲线与它的不可约失真 \(q\)。

3.7 任务汇率族：四个场景与方法盘点#

本章最后把格接回全站的价目表，再盘点当代方法各自解决了什么、回答不了什么。

3.7.1 任务汇率族#

第一部第 9 章定义了知识汇率 \(\Delta C(R_{\mathrm{env}})=\sup_{\text{env codes}}[C(\text{prior}+\text{env code})-C(\text{prior})]\)，意思是用 \(R_{\mathrm{env}}\) 比特描述环境能换多少容量。本章的观点是：它不是一条曲线，而是一族。

定义 3.4（任务汇率族）【本站提法】

对任务 \(T\)，记 \(U_T(\cdot)\) 为在给定知识下的最优期望效用（\(=-\,\)Bayes 风险）。任务汇率曲线

\[ \Delta U_T(R):=\sup_{\text{env codes of }R\text{ bits}}\Bigl[U_T(\text{prior}+\text{env code})-U_T(\text{prior})\Bigr], \]

饱和点 \(R^{\mathrm{sat}}_T:=\inf\{R:\Delta U_T(R)=\Delta U_T(\infty)\}\)。第一部的 \(\Delta C(R_{\mathrm{env}})\) 是 \(T=\)"容量"（动作 = 码本与功率分配、效用 = 可达速率）这一个成员。

猜想 3.6（汇率族的膝点由格决定）【开放·本站提法】

每条 \(\Delta U_T(R)\) 单调不减；饱和点满足 \(R^{\mathrm{sat}}_T=H(\mathcal{S}_T)\)（单任务，无平局）与 \(R^{\mathrm{sat}}_{\mathcal{T}}=H(\mathcal{S}_{\mathcal{T}})\)（任务类）；曲线在 \(R\to0^+\) 处的斜率由间接率失真曲线在 \(D_{\min}\) 附近的形状决定。

已知

单调性显然由定义得出。
\(R^{\mathrm{sat}}_T\le H(\mathcal{S}_T)\) 由"直接传 \(a^\star\)"得出。
\(D_{\min}\) 处的速率等于 \(H(\mathcal{S}_T)\) 是定理 3.5(b)。

未知

饱和点是否恰好等于（而非小于）\(H(\mathcal{S}_T)\)。这要求在 \(D_{\min}\) 以下不存在"更便宜的近似"，即 \(\Delta U_T\) 在饱和前严格递增，这依赖损失的具体形状。
容量任务的膝点是否远低于 \(R_{\mathrm{ceil}}\)（猜想 3.4(a) 的紧性）。

同样的比特对不同任务值不同的钱，这句话现在有了精确的形态：\(\Delta U_T(R)\) 在 \(R\approx H(\mathcal{S}_T)\) 处拐弯，而 \(H(\mathcal{S}_T)\) 沿格单调。切换类在 1 比特处饱和，波束类在 6 比特处饱和，容量任务的饱和点在 \(10^{6}\) 比特以下的某处（未知）。

CKM 该存哪几层，就是问：要服务的任务类 \(\mathcal{T}\) 的 \(\mathcal{S}_{\mathcal{T}}=\bigvee_T\mathcal{S}_T\) 是格里的哪个元素。命题 3.2(a) 说答案是"各任务地板的并"，引理 3.3 给了第一个实例（BIM 层与 K 因子层缺一不可）。

这与第一部第 7 章"地图是分布泛函 \(m_T(\mathbf{x})=T[P(h\mid\mathbf{x})]\)"互为对偶：那里按泛函列举地图种类，这里按任务类决定该存哪些泛函【本站提法】。

3.7.2 四个场景#

场景一：语义 / 目标导向通信

Strinati–Barbarossa 2021 [14]、Kountouris–Pappas 2021 [15]、Gündüz 等 2023 [18] 的共识是：语义熵没有公认定义，语义通信没有编码定理，缺的是失真度量从哪来（预备篇第 9 章口径："换了度量不是破了定理"）。这是文献共识，不是本站发现。

本站的答案【本站提法】：失真度量从任务类的损失来。单任务给 \(d'_T(x,a)=\mathbb{E}[L_T(\theta,a)\mid x]\)（定理 3.5），任务类给一组 \(\{d'_T\}\)，而"够用的表示"就是格元素 \(\mathcal{S}_{\mathcal{T}}\)。这样一来编码定理是现成的（1962 年），真正开放的是任务类版本的多失真率失真的可计算性。

2025 年的一份预印本 [22]【预印本·未评审】把失真从点估计换成条件分布之间的距离，在双对称二元源上得到带阈值效应的闭式。这是"失真度量从哪来"的另一个候选答案，与本站"从任务损失来"的口径可以并存：分布型失真对应的任务是"报告整条后验"（对数损失或 Brier 类损失），它在格里是 \(M_{\mathrm{all}}\) 附近的高层元素。

场景二：CKM 该存哪几层

已在上文用命题 3.2(a) 与引理 3.3 回答：存 \(\bigvee_{T\in\mathcal{T}}\mathcal{S}_T\)。CKM 教程 [19] 给出的是定性的栅格原则：大尺度知识按相关距离栅格化，小尺度知识需波长量级定位精度。教程没有存储字节数，算例 3.5 的 41 kB 与 \(\sim10^{3}\) 比特是本站推算。

开放的是第一部第 7 章 \(\Delta U(\varepsilon)\)：地图带误差 \(\varepsilon\) 建成时，格上每一层各损失多少。第 6 章的误差预算给数值实例。

场景三：ISAC 感知精度该定多高

第一部第 10 章已写明 ISAC 两条路径不同构：信息论路径给容量–失真 \(C(D)\)，估计论路径给 CRB–rate 折中与边际价格 \(\nu(R)=\mathrm{d}\epsilon^\star(R)/\mathrm{d}R\)【本站提法】。其中 CRB 即 Cramér–Rao 界，是任何无偏估计器方差的下界，见预备篇 9.4。

两条路径回答的都是"精度值多少速率"，没有回答"任务要多高的精度"。本章的回答是：精度要求来自任务类的宽度。

固定门限切换（\(k=2\)）只要角度 / 距离估计能把符号判对。
波束选择（\(k=64\)）要主导 AoD 分辨到扇区宽度（引理 3.3(a)）。
LoS 判决类要的根本不是角度，而是首径能量比（引理 3.3(c)）。

所以给 CRB 定目标之前，先在格上找到 \(\mathcal{S}_{\mathcal{T}}\)，CRB 目标就是让感知估计的划分细于它。

场景四：边缘推理传特征还是传结论

传结论 = 传 \(a^\star\)，即格的底 \(\mathcal{S}_T\)，最省比特（\(\le\log_2|A_T|\)），但只服务这一个任务。
传特征 = 传格上较高的一个元素，服务一个任务类，多花的比特由 \(H(\mathcal{S}_{\mathcal{T}})-H(\mathcal{S}_T)\) 计量。

Shlezinger–Eldar–Rodrigues 2019 [11] 的任务导向量化在线性任务（恢复线性参数）上给出闭式，并实证"考虑任务后少量比特即可逼近向量量化器"。这是"地板远低于天花板"的工程证据。非线性任务无闭式。

3GPP 两侧模型的 CSI 压缩传的是"重建信道"，这是格上较高的元素；而基站的任务只需要格上更低的元素。第 1 章 TR 38.843 的结果是中间 KPI 改善了、最终 KPI 没有跟着涨，这就是"传得比 \(\mathcal{S}_{\mathcal{T}}\) 更高，不会自动更好"的实测版本。

Rel-16 eType II 码本到底报了什么（TS 38.214 第 5.2.2.2.5 节）

以 Rel-16 eType II 码本为例，按 TS 38.214 第 5.2.2.2.5 节，报告内容如下：

先报各层共用的 \(L\) 个空间波束，每层再报 \(M_\upsilon\) 个频域基，\(\upsilon\) 为秩。
再报一张 \(2LM_\upsilon\) 比特的位图，标出哪些线性组合系数非零。
最强的那个系数只报位置，幅度与相位归一、不报。
另报一个 4 比特的参考幅度，给不含最强系数的那个极化。
其余每个非零系数各报 3 比特幅度（8 级）和 4 比特相位（16PSK）。
非零系数每层不超过 \(K_0\)、各层合计不超过 \(2K_0\)，\(K_0=\lceil\beta\cdot 2LM_1\rceil\)。
\(L\)、\(\beta\) 与决定 \(M_\upsilon\) 的比例 \(p_\upsilon\) 都由 paramCombination-r16 配置，所以比特数随空间波束数、频域基数目与秩增长。

3.7.3 方法盘点#

方法	解决了什么	回答不了什么	与本章的接口
信息瓶颈 IB（Tishby 1999；综述 Goldfeld–Polyanskiy 2020 [12]）	给定任务变量 \(Y\)，用互信息刻画"压缩 vs 保留"的曲线；\(\beta\to\infty\) 极限是最小充分统计量（Gilad-Bachrach 等 2003 [9]）	一般损失下无编码定理（第 1 章 §1.6 的陷阱框）；是曲线不是格；只对一个 \(Y\)	IB 的极限点 = 本章 \(M_{\mathrm{all}}\)；任务类版本无对应
间接率失真（Dobrushin–Tsybakov 1962 [3]、Witsenhausen 1980 [7]、Berger 1971 [4]）	有编码定理：任务导向压缩 = 修正失真下的直接压缩	失真度量外生；多任务 / 多终端版本基本空白	定理 3.5；本章把 \(d'\) 内生为任务损失的后验期望
Blackwell 序与 \(k\)-亏格（第 2 章；Torgersen 1991 [8]）	任务无关 / 任务限制的最坏风险界，充分性的等价刻画	\(\delta_k\) 的显式计算与 \(\delta_k\)–\(\delta\) 的量化桥（据本站检索未见显式陈述）	定义 3.1(c)；引理 3.1
亏格瓶颈（Banerjee–Montúfar 2020 [13]）	用 Le Cam 亏格替代互信息做表示学习的瓶颈，亏格有"决策问题最优风险差"的操作意义；其变分上界受 VIB 目标控制	仍是变分近似；无线任务类上无实例	任务类亏格 ↔ 表示学习的最直接文献桥
贝叶斯充分表示（Sevetlidis 2026 [21]【预印本】）	单任务充分性的严格定义与刻画：\(\mathcal{I}_{\ell,P}=\sigma(a^\star)\)	只有单任务；无任务类、无格、无率	本章任务地板的文献版本
任务导向量化（Shlezinger 等 2019 [11]）	线性任务的硬件受限量化闭式；少量比特即可	非线性任务无闭式	场景四
语义率失真（Liu 等 2021/2022 [16][17]；Zhao 等 2025 [22]【预印本】）	双失真 / 分布型失真的率失真，特例闭式，阈值效应	失真度量仍由外部指定；一般情形无闭式	任务类版本的多失真率失真
率–失真–感知（Blau–Michaeli 2019 [10]）	感知约束抬高 R–D 曲线的严格证明	感知不是任务轴——不要把它混入任务格	对照用，第 1 章 §1.6
语义通信总纲（[14][15][18]）	图景与问题清单；"失真度量从哪来"的明确点名	无度量、无定理	场景一

表的最后一列是本章的落点。现有方法分三种情况：

有定理，但度量外生（间接率失真）。
度量内生，但无定理（IB、语义通信）。
只覆盖单任务（贝叶斯充分）或线性任务（任务量化）。

把"任务类 → 格元素 → 修正失真族 → 多失真率失真"串成一条线，是本章的组织方式【本站提法】。串起来之后，缺的那条定理有了名字：任务类的率失真函数及其 converse（开放问题 Q3.2）。

任务-知识格的工具谱系

年份	工作	要点
1953	Shannon 信息格	信息元素 = 划分，偏序 = 细化，交与并
1954	Bahadur	抽象充分性与决策函数，最小充分性
1962	Dobrushin–Tsybakov	含噪信源的最优编码，间接率失真起点
1964	Le Cam	亏格 \(\delta\)（第 2 章）
1971	Berger	修正失真化归的教科书处理
1973	Gács–Körner	公共信息远小于互信息
1975	Wyner	第二种公共信息（不是格运算）
1980	Witsenhausen	间接率失真的统一表述
1991	Torgersen	\(k\)-亏格与限制类比较
1999	Tishby–Pereira–Bialek	信息瓶颈
2003	Gilad-Bachrach–Navot–Tishby	IB 极限 = 最小充分统计量
2019	Shlezinger–Eldar–Rodrigues	任务导向量化
2020	Banerjee–Montúfar	亏格瓶颈
2021	Liu–Zhang–Poor 与 Strinati、Kountouris	语义率失真、目标导向通信
2023	Gündüz 等	任务导向通信总纲，失真度量从哪来
2025	Akdemir 与 Zhao 等	Le Cam 失真层级、分布型语义失真
2026	Sevetlidis 与本站	贝叶斯充分表示、任务格

怎么读这张表

**上段（1953–1980）**是三条独立的线：格（Shannon、GK、Wyner）、充分性（Bahadur、Le Cam、Torgersen）、含噪信源编码（Dobrushin–Tsybakov、Berger、Witsenhausen）。三条线各自在自己的学科里完成。
中段（1999–2020），机器学习把充分性与率失真重新发现为 IB 与亏格瓶颈。
下段（2021 起），无线在语义通信里第三次撞上同一个问题。

本章做的事是把三条线接成一条：格给"要哪一部分"，充分性给"够用"的判据，间接率失真给价格。

到此为止我们得到了什么

一族曲线与四个落点：

第一部的知识汇率是按任务索引的一族曲线，膝点由格上的位置决定。
语义通信缺的失真度量来自任务类的损失。
CKM 存"各任务地板的并"。
ISAC 的精度目标先在格上找元素再定 CRB。
边缘推理传结论是底、传特征是高层，差价可计量。

所有现有方法的空白汇成同一个缺口：任务类的率失真定理。

跨部连线

本章所在的线索：任务与价值。

第三部第 5 章「第四级台阶」：任务的汇率曲线与 \(V(I)\) 在小信息量处同样陡峭："第一比特最值钱"。
第四部 4.6 节：两个基站地图的"公共部分"是划分的交，它的熵就是 Gács–Körner 公共信息。

开放问题#

**Q3.1（\(k\)-亏格能紧多少）【部分结果】。**定义 3.1(c) 给出 \(\delta_{\mathcal{T}}\le\delta\)。

第 2 章 Q2.3 里 BEC(0.6)/BSC(0.2) 一对的 \(\delta_2=0.10\) 其实不必猜：硬判决本身就是一个两动作任务，它的风险差 \(0.30-0.20=0.10\) 给出 \(\delta_2\ge0.10\)，又有 \(\delta_2\le\delta=0.10\)。

背后是一条一般的必要条件：被模拟的实验读数不超过 \(k\) 种时，\(\delta_k=\delta\)。理由是 \(\delta\) 等于对一切先验、一切任务取最坏的 Bayes 风险差。被模拟一方的 Bayes 规则至多用到读数个数那么多个动作。把任务的动作集删到只剩这些，它的 Bayes 风险不变，模拟方的只会变大，所以最坏的任务总能在不超过 \(k\) 个动作里找到【本站演算】。

比值要小于 1，被模拟的一方必须比 \(k\) 分得更细。这只是必要条件：反过来用 BSC 模拟 BEC 时，BEC 有 3 种读数，逐个枚举两动作规则算出的 \(\delta_2\) 仍等于 \(\delta=0.08\)。

精确陈述：对无线实验族与 \(k\in\{2,64\}\)，求 \(\delta_k/\delta\) 的范围。形如 \(\delta\le c(k)\delta_k\) 的一般量化桥，本站读到的二手综述里都没有【表述待核：Torgersen [8] 第 6 章原书未读到】。
第一步可证引理：有限情形下 \(\delta_k\) 是一个带 \(k\) 个动作的极小极大问题，用引理 3.1 第三步的分离超平面写成有限个线性规划的最大值。
AI 可攻子问题：对算例 2.3 的 LP 加"动作数 \(\le k\)"约束逐 \(k\) 求解，画出 \(\delta_k\) 随 \(k\) 的阶梯。

**Q3.2（任务类的率失真定理）【开放·本站提法】。**定理 3.5 只对单任务。

精确陈述：任务类 \(\mathcal{T}\) 对应修正失真族 \(\{d'_T\}\)，定义 \(R_{\mathcal{T}}(\mathbf{D}):=\min\{I(X;Z):\mathbb{E}d'_T(X,Z)\le D_T\ \forall T\}\)。证明其可达性与 converse，并在 \(\mathbf{D}=\mathbf{D}_{\min}\) 处证明 \(R_{\mathcal{T}}=H(\mathcal{S}_{\mathcal{T}})\)（猜想 3.6 的核心）。
已知工具：多失真率失真是标准的凸规划形式；Liu 等 [16][17] 给出双失真特例。
第一步：两个 0-1 任务（算例 3.3 的 B 与 M）在同一二元观测噪声下的 \(R_{\{B,M\}}(D_B,D_M)\) 显式解。

Q3.3（猜想 3.4(a) 的紧性：任务在多低的比特处饱和）【开放·本站原创】。\(R_{\mathrm{ceil}}=d_{\mathrm{eff}}\log_2(1/\varepsilon)\) 是"知道一切"的价格，真实任务多半早得多就饱和。

精确陈述：对容量任务，\(R^{\mathrm{sat}}_C/R_{\mathrm{ceil}}\) 的量级。这等价于第一部 Q3 曲线的中段形状。
第一步可证引理：在引理 3.3 的两径族上，容量任务的 \(\mathcal{S}_T\) 是 \((|\alpha_1|,|\alpha_2|,\varphi_1,\varphi_2)\) 的哪个函数，其熵与 \(R_{\mathrm{ceil}}\) 之比。

**Q3.4（真实波束下的充分划分与相位）【部分结果】。**引理 3.3 依赖理想扇区波束。两径角距离小于主瓣宽度时最优索引依赖相位差，充分划分变细。

精确陈述：以角距离 \(\Delta\varphi\) 为参数，\(H(\mathcal{S}_{\mathrm{beam}})\) 如何随 \(\Delta\varphi/\text{主瓣宽度}\) 变化；相位敏感区的宽度是否为 \(\lambda/4\) 量级（接第 4 章相位 / 结构二分）。

**Q3.5（无平局假设之外的任务格）【开放】。**命题 3.2 在有平局时最粗充分划分可能不存在（§3.4 行为分析）。

精确陈述：把"最粗充分划分"换成"极小充分划分的集合"，任务格是否仍是格；Sevetlidis [21] 命题 A.2 的"纤维上存在公共最优动作"是否给出正确的一般定义。

**Q3.6（格的交的可操作提取）【开放·文献共识】。**两个任务的公共知识是划分的交，其熵由 Gács–Körner 公共信息给出，但 GK 公共信息的计算与有限块长下的可提取性是已知的难题 [5]。

无线版本：两个基站各自的地图有多少"公共部分"可以零率同步。这与第三部第 6 章 \(C(\varepsilon)\)（两小区最小 CSI 交换 \(\lesssim56\) 比特）是同一问题的两端。

预告。本章全程假设"知识描述的就是当前环境"，只有 garbling，没有 misspecification。换城市、换厂商、仿真到实网时，格上的每个元素都可能指错对象：BIM 存的是别处的波束。这是第二种退化，误配译码与物理泛化界的地盘，第 4 章处理。第 6 章则把本章的格与第 2 章的亏格接成数值实例。

参考文献#

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R. L. Dobrushin, B. S. Tsybakov, 《Information transmission with additional noise》, IRE Trans. Inform. Theory, vol. 8, no. 5, pp. 293–304, 1962. https://doi.org/10.1109/TIT.1962.1057738
T. Berger, 《Rate Distortion Theory: A Mathematical Basis for Data Compression》, Prentice-Hall, 1971.【修正失真的教科书处理；二元 remote 例的系数记号本站按定理 3.5 自行演算，发稿前宜与原书核对】
P. Gács, J. Körner, 《Common information is far less than mutual information》, Problems of Control and Information Theory, vol. 2, no. 2, pp. 149–162, 1973.
A. D. Wyner, 《The common information of two dependent random variables》, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 21, no. 2, pp. 163–179, 1975.
H. S. Witsenhausen, 《Indirect rate distortion problems》, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 26, no. 5, pp. 518–521, 1980. https://doi.org/10.1109/TIT.1980.1056251
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