6 · 端到端误差预算：精度该花在哪一环#
一家设备商的系统工程师手里有一笔钱，面前有四张购物单：
- 把射线追踪用的材质库做细一点，多测几种混凝土的介电常数。
- 把信道知识地图的采样点加密一倍，多派几趟车去路测。
- 把 CSI 压缩网络换成参数量大十倍的那个。
- 多插几个导频，多留几个反馈比特。
四张单子花的是同一笔钱，买的是同一件东西的四个不同零件：系统对环境的了解。
他想知道：哪一张单子最划算？
今天这个问题没有人能算。工程上的做法是四条路各试一遍，看哪条的吞吐曲线抬得高。试出来的结论只对这一版系统、这一个场景有效，换个频段就要重试一遍。
原因不在工程师不努力，而在没有一本可以做加法的账。材质误差的单位是介电常数，地图误差的单位是 dB，模型误差的单位是 NMSE，反馈误差的单位是比特。四种货币，没有汇率。
第 2 章其实已经把汇率印出来了。定理 2.4 说：链上每一环丢掉的信息，都能按 \(\|L_T\|\) 折算成任务后悔，而且沿链线性相加。那一章还留了一句话：
"量化环节亏格 0.03、反馈时延 0.02、译码 0.01，则端到端任务后悔不超过 \(\|L_T\|\times0.06\)——精度预算可以像功率预算一样分摊到各环，这是本部第 6 章的主题。"
本章就是这句话的数值实例。第 2 章给的是任务无关的粗分辨率版本：一个亏格管住所有任务，因此常常松了一个数量级。本章给任务相关的细分辨率版本：把 \(\|L_T\|\delta\) 换成一串可以真的算出来的灵敏度系数，锚定一条具体的链：
把每一环的灵敏度算成数，最后给一条闭式的预算分配法则，并用它回答"再给一个比特，该给材质测量还是给波束反馈"。
本章最大的风险，是退化成一篇没有定理的框架论文。"要建立统一的误差预算体系"这种话谁都会说。对策只有一个：一切都算成数。全章八个算例，每个都有完整算式和独立途径的校验。DFT 阵因子的错格概率与条件损失由数值积分给出，网格与公式写在正文里。
本章预备知识
只需概率论（高斯分布、\(Q\) 函数、期望）、线性代数、微积分（链式法则、拉格朗日乘子）与一点信号与系统（DFT、阵因子）。用到的本部内容：
- 实验 = 行随机矩阵、garbling = 矩阵相乘、亏格 \(\delta\) 与风险界：第 2 章 2.2–2.6 节（定义 2.1、定义 2.2、定义 2.3、定理 2.1、定理 2.2、引理 2.3）。
- 链定理骨架 定理 2.4：\(r_T(\mathcal{E}_3)-r_T(\mathcal{E}_0)\le\|L_T\|\,\delta(\mathcal{E}_3,\mathcal{E}_0)\le\|L_T\|\sum_{k=1}^{3}\delta(\mathcal{E}_k,\mathcal{E}_{k-1})\)，见第 2 章 2.7 节。
- 任务类与任务限制亏格 \(\delta_{\mathcal{T}}\)、\(k\)-亏格：第 3 章定义 3.1；任务地板与 Q1 天花板：猜想 3.4；间接率失真：定理 3.5。
- 两径灵敏度表与 \(W_1\) 风险界：第 4 章 4.4–4.5 节（命题 4.4）；相位 / 结构二分与泛化半径：定义 4.5、猜想 4.5。
- 认知平衡点 \(\alpha^\star\)：第 5 章命题 5.1、推论 5.2。
- 第一部第 5 章的混凝土反射三档、第一部第 7 章的地图学与 BIM、第一部第 8 章的 \(d_{\mathrm{eff}}\)。
编号约定
与本部各章一致，本章的引理 / 定理 / 命题 / 猜想按正文出现顺序统一编号：
- 引理 6.1（链式灵敏度）
- 猜想 6.2（离散判决环）
- 引理 6.3（反相关）
- 定理 6.4（高斯 CEO）
- 命题 6.5（反注水）
- 猜想 6.6（链上的 PoL）
定义另起一套编号（定义 6.1、6.2）。
单位约定
dB 一律指功率 dB（\(10\log_{10}\)）或幅度 dB（\(20\log_{10}\)），出现时注明。"误差方差"若无说明，一律是 dB 域的方差，单位 \(\mathrm{dB}^2\)。
6.1 两本账：dB² 的账和比特的账#
误差预算不是本站发明的体裁，几个工程学科早就在用：
- 光学做望远镜时有波前误差预算（wavefront error budget）：每个镜面、每个支撑结构分到多少纳米的面型误差，各项按平方和开方（RSS）相加，再单列一项"余量"。
- 卫星导航有 UERE 分解（user equivalent range error）：把定位误差拆成用户段、空间段、控制段，各段再拆到钟差、电离层、多路径，最后乘一个几何因子 DOP。
- 雷达做分系统指标分配，用的也是同一套。
三个学科的做法可以概括成一句话：
把总误差写成各分项误差的平方和，再按"哪一项便宜、哪一项贵"分配。
这套体裁能用，靠两个前提：
- （甲）各分项误差独立，方差可加。
- （乙）从分项误差到系统指标的映射局部线性，于是灵敏度可以用一个常数刻画。
本章的第一件事，是把这两个前提在无线链上检查一遍。它们在两个地方会破。
6.1.1 直觉先行：一个纯数值的故事#
先不谈定理，把开头那条链走一遍，只用四个数。
一面混凝土墙。它的相对介电常数 \(\varepsilon'\) 你不知道准确值，只知道文献里给的范围大约是 3 到 7。
射线追踪要用它算反射系数，反射系数决定这条 NLoS 径的强度，径的强度决定基站算出来的 64 个波束各自有多强。波束强弱决定基站给这个终端挑哪个波束，挑错波束就损失增益，损失增益就损失谱效。
四步，每一步都能算：
- \(\varepsilon'\) 从 3 变到 7，法向反射损耗从 \(-11.4\) dB 变到 \(-6.9\) dB，摆动 4.5 dB（第一部第 5 章的口径）。
- 4.5 dB 的增益估计误差（按相邻波束上独立的高斯误差计，口径说明见算例 6.3），在 64 波束 DFT 码本上造成 13.5% 的错格概率。
- 但错格的期望损失只有 0.49 dB。这既不是 13.5% 乘以"波束错一格损失 10 dB"得到的 1.35 dB（第一部第 7 章的说法），也不是 3.92 dB。3.92 dB 是终端恰好落在两个波束交叠处时本波束自身的损失，6.4 节会算出。为什么少这么多，要靠本章最漂亮的那条引理来解释。
- 0.49 dB 乘以环三的斜率 0.329 bit/dB，在 20 dB SNR 下折成 0.16 bit/s/Hz，占该链路 \(\log_2(1+100)=6.66\) bit/s/Hz 的 2.4%。这个斜率在高 SNR 下接近"每 3 dB 一个比特"，6.5 节推导。
于是"混凝土介电常数不确定"这件听起来很物理的事，有了一个通信的价签：2.4% 的谱效。本章要反复做的，就是把每一环的物理不确定性一路折算到同一个终端货币上。
flowchart TB
E0["环境层<br/>混凝土 $$\varepsilon'\in[3,7]$$<br/>不确定度 $$\pm2$$"]
E1["环 1 · Fresnel<br/>灵敏度 0.97 dB / 单位 $$\varepsilon'$$<br/>输出：增益误差 4.53 dB"]
E2["环 2 · DFT 64 波束<br/>错格概率 13.5%<br/>期望错格损失 0.49 dB"]
E3["环 3 · 谱效<br/>0.329 bit/dB @20 dB SNR<br/>0.166 bit/dB @0 dB SNR"]
T["任务层<br/>$$\Delta\mathrm{SE}=0.16$$ bit/s/Hz<br/>$$=6.66$$ 的 2.4%"]
E0 -->|"$$\partial(20\log_{10}|\Gamma|)/\partial\varepsilon'$$"| E1
E1 -->|"$$\sigma$$ dB → $$Q(\Delta/(\sqrt2\sigma))$$"| E2
E2 -->|"$$\log_2(1+\mathrm{SNR}\cdot10^{-L/10})$$"| E3
E3 --> T怎么读这张图
- 从上到下是本章锚定的三环链。箭头上写的是该环的传递函数，方框里写的是该环的灵敏度与输出数字。
- 每一个数字都在 6.2–6.5 节里算出来并校验：\(0.97\) dB 见算例 6.1，\(4.53\) dB 见算例 6.1，\(13.5\%\) 与 \(0.49\) dB 见算例 6.2，\(0.329\) bit/dB 与 \(0.16\) bit/s/Hz 见算例 6.3。
- 第二个箭头是唯一一个非光滑的环节，中间夹着一次离散判决。6.2 节会说明一阶方法在这里为什么先失效，又为什么在平均意义下恢复。
6.1.2 两本账，一个汇率#
上面那条链记的是 dB² 的账：每一环的误差用方差刻画，独立项方差相加，这是工程 RSS 的写法。
但开头那位工程师问的是 比特的账：多测一次材质、多存一个地图点、多留一个反馈比特，各值多少钱。
两本账之间有一条桥，就是高分辨率量化的经典关系：用 \(b\) 比特描述一个方差为 \(c\) 的量，量化误差方差按
衰减，即每比特 6.02 dB。这条关系有两个来源，结论相同：
- 均匀量化：把该量的取值范围切成 \(2^b\) 格，格宽正比于 \(2^{-b}\)。格很细时，误差在格内近似均匀分布，方差等于格宽的平方除以 12，于是正比于 \(2^{-2b}\)。
- 率失真：方差为 \(c\) 的高斯量在均方失真下有 \(D(R)=c\,2^{-2R}\)（预备篇 4.9）。
两种说法下，每多 1 比特，误差方差都降到 \(1/4\)，即 \(10\log_{10}4=6.02\) dB。把它代进 dB² 的账，dB² 的账就变成比特的账。本章的预算分配法则（命题 6.5）就是在这本比特账上做的。
陷阱：\(2^{-2b}\) 律只对"量化型"环节成立
\(\sigma^2=c\,2^{-2b}\) 说的是"比特买分辨率"：字长每加一位，量化台阶减半。它适用于材质参数的量化、地图上增益值的量化、CSI 反馈码本。
它不适用于"比特买样本数"的环节。信道知识地图的精度由采样密度决定，而密度对精度的改善是幂律的。Xu–Zeng [12] 给出的数字是：
- 采样密度 \(0.001/\mathrm{m}^2\)（间距约 32 m）时，\(\mathrm{AMSE}\approx8.5\ \mathrm{dB}^2\)。
- 密度 \(0.01/\mathrm{m}^2\)（间距约 10 m）时，\(\approx4.0\ \mathrm{dB}^2\)。
密度涨 10 倍，误差只降到 47%，而不是 \(10^{-2}\)。样本数又与存储比特线性相关。两件事合起来，采样型环节服从的是 \(\sigma^2\propto b^{-\rho}\)，不是 \(2^{-2b}\)。
这条区分是本章的一个承重判断【本站提法】：同一条链上混着两种比特效率截然不同的环节，所以"精度该花在哪一环"这个问题才有非平凡的答案。6.7 节把它算成数。
到此为止我们得到了什么
一套记账体系的骨架与它的两个前提。工程学科的误差预算记 dB² 的账，靠的是方差可加与局部线性。信息论记比特的账，靠的是 \(\sigma^2=c2^{-2b}\)。两本账由这条关系互换。
前提会在两个地方破：离散判决环破局部线性，采样型环节破 \(2^{-2b}\) 律。这两处就是本章后面要处理的全部困难。
6.2 链式灵敏度：雅可比连乘，以及它在哪里断掉#
6.2.1 一阶传播：先算一个具体的数#
设有两个环节。第一环把介电常数变成 dB：\(G=f_1(\varepsilon')=20\log_{10}|\Gamma(\varepsilon')|\)。第二环把 dB 变成谱效：\(\mathrm{SE}=f_2(G)\)。问：\(\varepsilon'\) 有 \(\pm0.5\) 的不确定，谱效差多少？
不用任何定理，直接算。取 \(\varepsilon'=5\) 附近。第一环在 \(\varepsilon'=5\) 处的斜率是 \(0.971\) dB 每单位 \(\varepsilon'\)，下一节会推。第二环在 20 dB SNR 处的斜率是 \(0.329\) bit 每 dB，6.5 节由香农公式求导得到，高 SNR 下趋于"每 3 dB 一个比特"的 \(1/3.01\)。于是
两个斜率相乘，再乘输入的偏差。这就是链式法则，也是本章"链式灵敏度"的全部内容。写成一般形式：
引理 6.1（链式灵敏度乘积与它的适用条件）【已解决（经典）·本站搬运并标定】
设链 \(x_0\xrightarrow{f_1}x_1\xrightarrow{f_2}\cdots\xrightarrow{f_K}x_K\)，每个 \(f_k\) 在工作点 \(x_{k-1}^0\) 处连续可微。记 \(J_k:=\partial f_k/\partial x_{k-1}\) 在工作点处的雅可比。若输入扰动 \(\boldsymbol{\eta}\) 满足 \(\mathbb{E}[\boldsymbol{\eta}]=\mathbf{0}\)、\(\mathrm{Cov}(\boldsymbol{\eta})=\boldsymbol{\Sigma}\) 且 \(\|\boldsymbol{\Sigma}\|\) 远小于各 \(f_k\) 的曲率尺度，则
(a) 标量链。\(\mathrm{Var}(x_K)\approx\bigl(\prod_{k}s_k\bigr)^2\mathrm{Var}(x_0)\)，\(s_k:=f_k'\)。
**(b) 多路独立注入。**若第 \(k\) 环自身还注入独立扰动 \(\eta_k\)（方差 \(\sigma_k^2\)），则
这就是工程 RSS 法则的精确出处：各环的误差按"该环到终点的灵敏度平方"加权求和。
**(c) dB 域的因子。**若某一环的量以 dB 记，链式法则自动带出因子 \(\dfrac{10}{\ln 10}\cdot\dfrac{1}{g}\)（\(g\) 为线性域的量）。混用线性域方差与 dB 域方差而不换算，是这套记账最常见的错误。
证明。
**第一步：一阶展开。**在工作点做一阶泰勒展开 \(f_k(x_{k-1}^0+\delta)=f_k(x_{k-1}^0)+J_k\delta+R_k(\delta)\)，余项 \(\|R_k(\delta)\|=O(\|\delta\|^2)\)。\(C^2\) 时由中值定理，\(C^1\) 时由可微的定义。
**第二步：逐环代入。**逐环代入得
**第三步：取协方差。**交叉项 \(\mathbb{E}[\boldsymbol{\eta}\cdot O(\|\boldsymbol{\eta}\|^2)]=O(\mathbb{E}\|\boldsymbol{\eta}\|^3)=o(\|\boldsymbol{\Sigma}\|)\)。对亚高斯扰动，三阶矩由方差的 \(3/2\) 次方控制：\(\mathbb{E}\|\boldsymbol{\eta}\|^3=O(\|\boldsymbol{\Sigma}\|^{3/2})\)，比 \(\|\boldsymbol{\Sigma}\|\) 高半阶，故是 \(o(\|\boldsymbol{\Sigma}\|)\)。亚高斯即 sub-Gaussian，指尾部至少像某个高斯一样快地衰减，高斯扰动本身就是一例。得 (a)。
第四步：(b) 与 (c)。(b) 中各 \(\eta_k\) 独立，协方差矩阵是分块对角的，展开即得平方加权和。交叉项因独立而为零，"方差可加"用的正是这一条，不是任何近似。(c) 由 \(\mathrm{d}(10\log_{10}g)/\mathrm{d}g=(10/\ln10)/g\) 直接得到。\(\blacksquare\)
物理意义
引理 6.1 说的是一件很朴素的事：
- 一条链的总灵敏度是各环灵敏度的乘积。
- 一条链的总误差是各环误差按"离终点还有多少放大"加权的平方和。
它把"哪一环重要"变成一个可以查表的问题：查那一环到任务的灵敏度乘积。
行为分析
- 一环为零，全链为零。若某环的灵敏度是 \(10^{-3}\)，它上游的一切精度投入都被这个因子吃掉。第 4 章算例 4.5 给的正是这样一个例子：厘米级的墙位移在时延、角度、幅度上灵敏度低三个数量级，只有在相位上才有剧烈的影响。
- 误差可以被放大。Brewster 角附近（大入射角一侧）Fresnel 系数的对数导数急剧变大，同样的 \(\Delta\varepsilon'\) 造成的 dB 误差可以翻好几倍（6.3 节的行为分析）。
- 一阶展开要求扰动小于曲率尺度。这个条件在无线链上经常不成立，下面就是它破掉的地方。
6.2.2 它在哪里断掉：离散判决#
链上有一环不是光滑映射：选波束。基站拿到 64 个波束的增益估计，取 \(\arg\max\)。\(\arg\max\) 是分片常值函数，导数几乎处处为零、在边界处不存在。一阶方法在这里给出的答案是"灵敏度为零"，这个结论显然荒唐。
这里要用概率的语言，不能用导数。增益误差不会改变输出的连续值，只会以某个概率翻转输出的离散取值。误差传播于是变成两个量：错格概率与错格损失。
第 2 章的亏格语言在这里重新接管。离散判决环节上可算的对象是"选错的概率乘选错的代价"，雅可比不再适用。
直觉：斜坡与台阶
把链想象成一段路。光滑环节是斜坡：脚下偏一点，海拔差一点，差多少由坡度决定。
离散判决是台阶：脚下偏一点，多半什么也没发生，还在同一级台阶上。偏过了边缘，就整个掉下去一级。台阶的"平均代价"不由坡度决定，而由"掉下去的概率"乘"台阶有多高"决定。
本章 6.4 节会发现一件反直觉的事：这个台阶恰好在最容易掉下去的地方最矮，所以平均代价远比想象的小。
猜想 6.2（离散判决环的误差传播一般界）【开放·本站提法】
设链 \(\mathcal{E}_0\succeq\cdots\succeq\mathcal{E}_K\) 中第 \(k\) 环含一次 \(M\) 选一的判决，输入是 \(M\) 个含独立同方差噪声（方差 \(\sigma^2\)）的评分。猜想存在只依赖"评分函数的几何"（相邻候选评分差的分布 \(F_\Delta\)）与 \(\sigma\) 的界
即离散判决环在小噪声区仍然是二阶的，因而仍可并入引理 6.1(b) 的 dB² 账。\(\kappa\) 由评分几何在"平局面"附近的斜率决定。
"平局面"指两个候选评分恰好相等、判决可以被噪声翻转的那些位置。在 6.4 节的波束例子里，就是两个相邻波束的交叠点 \(s=0.5\)。
这里的 \(\kappa\) 只是二阶系数的记号，与 6.5 节的谱效斜率 \(\kappa_{\mathrm{SE}}\)、算例 6.8 的知识获取率 \(\kappa\) 不是同一个量。
已知的边界
- （甲）\(M=2\)、评分差线性穿越平局面的情形，本章引理 6.3 与算例 6.2 给出 \(\kappa=1/a\)（\(a\) 为平局面处的评分差斜率），并数值验证到 \(\sigma\lesssim3\) dB 内误差小于 9%（\(\sigma=3\) dB 处为 8.6%，见算例 6.2 第二问）。
- （乙）\(\sigma\to\infty\) 时损失有界（不超过评分差的期望），本章已证。
未知的边界
- （丙）\(M>2\) 且候选间相关（DFT 码本的非相邻波束、多用户调度）时 \(\kappa\) 的表达式。
- （丁）评分几何在平局面处不可微（如带旁瓣的真实方向图在多径下）时是否仍为二阶。
- （戊）与第 3 章 \(k\)-亏格的关系：\(\Psi\) 是否就是 \(\delta_{k=M}\) 的一个可算上界。
到此为止我们得到了什么
一条可用的记账律与它的断点。链的总灵敏度是雅可比连乘，各环误差按灵敏度平方加权相加（引理 6.1）。但链上有一环是 \(\arg\max\)，那里导数无意义，必须换成"错格概率 × 错格损失"。
这个断点会在 6.4 节被修好，修好的方式是发现它在平均意义下仍然是二阶的。
6.3 环一：材质 \(\varepsilon'\) → 反射系数 → 路径增益#
6.3.1 从直觉到公式#
电磁波打到墙上，一部分反射回来，一部分钻进去。反射回来多少，由墙"电学上有多密"决定。这个"密"就是相对介电常数 \(\varepsilon'\)。空气 \(\varepsilon'=1\)，混凝土大约 5，水大约 80。两侧的 \(\varepsilon'\) 差得越多，反射越强，就像光从空气射向玻璃时会看到反射一样。
垂直入射（法向）时反射系数有一个只有两项的闭式：
先算三个数，再谈灵敏度：
- \(\varepsilon'=3\)：\(\sqrt3=1.7321\)，\(\Gamma=(1-1.7321)/(1+1.7321)=-0.7321/2.7321=-0.2679\)。
- \(\varepsilon'=5\)：\(\sqrt5=2.2361\)，\(\Gamma=-1.2361/3.2361=-0.3820\)。
- \(\varepsilon'=7\)：\(\sqrt7=2.6458\)，\(\Gamma=-1.6458/3.6458=-0.4514\)。
折成幅度 dB（\(20\log_{10}|\Gamma|\)）：\(-11.44\)、\(-8.36\)、\(-6.91\) dB。
这三个数与第一部第 5 章的误差价签逐位对上：混凝土 \(\varepsilon'\approx3/5/7\) 三档给 \(|\Gamma|\approx0.27/0.38/0.45\)、\(-11.4/-8.4/-6.9\) dB，单次反射摆动约 4.5 dB。本章原样沿用这一口径。
6.3.2 灵敏度：把导数算出来#
要做预算，需要的是斜率，只有三个点不够。逐步求：
四行依次做了这些事：
- 第一步：把常用对数换成自然对数（\(\log_{10}u=\ln u/\ln10\)）。
- 第二步：两个对数各自求导。
- 第三步：幂函数求导。
- 第四步：把三个因子按链式法则乘起来并化简。
6.3.3 算例与读法：价签和它的行为#
算例 6.1（环一：Fresnel 灵敏度与三档反射损耗）
**第一问：三档的数。**上面已算：\(\varepsilon'=3/5/7\) 给 \(|\Gamma|=0.2679/0.3820/0.4514\)，即 \(-11.439/-8.360/-6.908\) dB。三档全摆动
**第二问：\(\varepsilon'=5\) 处的灵敏度。**代入闭式（\(20/\ln10=8.6859\)）：
**第三问：一次具体计价。**若材质库把 \(\varepsilon'\) 记错 2（把实测 7 的混凝土当成 5 用），单次反射的路径增益误差
一条经历两次反射的 NLoS 径，dB 相加，误差翻倍：\(\mathbf{2.90}\) dB。全档摆动 \(2\times4.53=9.06\)、\(3\times4.53=13.6\) dB，与第一部第 5 章"两三次反射 9–13 dB"互相印证。
校验
- (a) 与第一部逐位一致：\(0.268/0.382/0.451\) 对第一部的 \(0.27/0.38/0.45\)，\(-11.44/-8.36/-6.91\) 对 \(-11.4/-8.4/-6.9\)，摆动 \(4.53\) 对 \(4.5\) dB ✓。
- (b) 导数的数值复算：取 \(h=10^{-6}\) 做中心差分，\([20\log_{10}|\Gamma(5+h)|-20\log_{10}|\Gamma(5-h)|]/(2h)=0.97111\)，与闭式 \(0.97111\) 一致 ✓。
- (c) 割线对切线：\(3\) 到 \(7\) 的平均斜率 \(4.531/4=1.133\) dB/单位，大于 \(\varepsilon'=5\) 处的切线斜率 \(0.971\)。这与 \(\partial(20\log|\Gamma|)/\partial\varepsilon'\propto[(\varepsilon'-1)\sqrt{\varepsilon'}]^{-1}\) 随 \(\varepsilon'\) 递减（函数在该区间为凹）一致 ✓。端点斜率 \(\varepsilon'=3\) 处 \(2.507\)、\(\varepsilon'=7\) 处 \(0.547\)，割线斜率 \(1.133\) 落在两者之间 ✓。
- (d) 极限退化：\(\varepsilon'\to1\)（墙变成空气）时 \(\Gamma\to0\)、\(20\log_{10}|\Gamma|\to-\infty\)、导数 \(\to+\infty\)。反射消失处灵敏度发散，合理 ✓。\(\varepsilon'\to\infty\)（理想导体）时 \(\Gamma\to-1\)、\(0\) dB、导数 \(\to0\)。全反射处不再敏感 ✓。
- (e) 与 ITU-R P.2040 交叉验证：该建议书给混凝土 \(\varepsilon'=a f^{b}\)、\(a=5.24\)、\(b=0\)（频率无关）[11]，代入得 \(|\Gamma|=0.3919\)、\(-8.14\) dB，落在本站 \(\varepsilon'=5\) 与 \(7\) 两档之间 ✓。
物理意义
这一环把"材质数据库有多准"翻译成"路径增益算得有多准"。\(0.971\) dB 每单位 \(\varepsilon'\) 这个数就是环一的价签：材质库每精确一个单位的 \(\varepsilon'\)，射线追踪的路径增益就准 1 dB 左右。
行为分析
- 灵敏度强烈依赖工作点：\(\varepsilon'=3\) 处是 \(2.51\) dB/单位，\(\varepsilon'=7\) 处只有 \(0.55\)。低介电材料（干木、石膏板）的材质误差比高介电材料（混凝土、金属）贵四到五倍。
-
本节只算了法向入射：一般入射角下，TE / TM 两种极化（电场垂直于 / 平行于入射面）的系数不同，且 \(\partial(20\log|R|)/\partial\varepsilon'\) 在大入射角一侧的 Brewster 角附近急剧变大。TM 分量在那里近零，对数导数发散。
Brewster 角是 TM 波完全不反射的入射角，从法线量起满足 \(\tan\theta_{\mathrm{B}}=\sqrt{\varepsilon'}\)，\(\varepsilon'=5\) 时约 \(66^\circ\)，即电波与墙面约成 \(24^\circ\) 的斜掠方向。真正贴墙的掠入射（\(\theta\to90^\circ\)）处，两种极化的反射系数都趋于 \(-1\)，对 \(\varepsilon'\) 反而不敏感。
这是"哪一环最贵"的关键非线性点。工程上，入射角落在 Brewster 角附近（常见建材 \(\varepsilon'=3\)–\(7\) 对应约 \(60^\circ\)–\(69^\circ\)）的反射径，对材质误差最敏感。用 ITU-R P.2040 的单界面 Fresnel 公式（式 (31a)(31b)）[11] 可以直接算出这个量级【本站演算】：\(\varepsilon'=5\) 的无损墙面，TM 分量在 \(65^\circ\) 与 \(67^\circ\) 处的灵敏度分别约 \(+21\) 与 \(-16\) dB/单位，是法向入射 \(0.97\) 的二十倍上下，正好在 Brewster 角上发散；TE 分量在同一角度只有约 \(0.43\) dB/单位。
真实墙体有损耗，零点会被抬成一个有限深的谷底，P.2040 称之为伪 Brewster 角。按该建议书表 3 的混凝土参数，1–28 GHz 时谷底在 \(66.5^\circ\) 附近，深约 \(-30\) 到 \(-36\) dB，灵敏度的峰值约 6–11 dB/单位，仍是法向入射的 7 到 13 倍。另一面是，这样的反射径本身已经弱了二三十 dB，它对总接收功率有多大影响，要看它在多径里占多大份额。
-
材质误差与几何误差在 dB 域独立可加：一个来自 \(\Gamma\)，一个来自路径长度与相位。这是引理 6.1(b) 的适用场景。
到此为止我们得到了什么
环一的完整价签。混凝土 \(\varepsilon'\) 三档给 \(-11.4/-8.4/-6.9\) dB（与第一部第 5 章逐位一致），\(\varepsilon'=5\) 处的灵敏度是 0.971 dB 每单位 \(\varepsilon'\)，记错 2 个单位造成单反射 1.45 dB、双反射 2.90 dB 的增益误差。
灵敏度随 \(\varepsilon'\) 递减，在 Brewster 角附近发散。
6.4 环二：增益误差 → 波束错格，与一条反相关引理#
6.4.1 先把 DFT 码本的几何算清楚#
\(N=64\) 元均匀线阵（ULA），半波长间距，均匀加权。记归一化空间频率 \(u:=\sin\vartheta\)（\(\vartheta\) 为相对法向的角度）。DFT 码本的 \(N\) 个波束在 \(u\) 上等间距排列，间距
第 \(k\) 个波束指向 \(u_k\)，即给第 \(n\) 个阵元加相位 \(-\pi nu_k\)，把来自 \(u_k\) 方向的波对齐。
**第一步：写出阵因子的求和。**半波长间距下，相邻阵元对方向 \(u\) 的相位差是 \(\pi u\)。这来自预备篇 1.6 的 \(\psi=kd\sin\theta\)，取 \(d=\lambda/2\)。\(N\) 个阵元等幅叠加再除以峰值 \(N\)，是一次等比数列求和：
**第二步：化成正弦之比。**分子分母各用一次 \(|1-e^{\mathrm{j}x}|=2|\sin(x/2)|\)，就得到归一化阵因子（相对峰值）
**第三步：引入格内位置 \(s\)。**把终端在"最优波束的那一格"里的位置用一个无量纲参数 \(s\) 表示：\(u=u_k+s\,\Delta u\)，\(s\in[0,0.5]\)。\(s=0\) 是波束中心，\(s=0.5\) 是与相邻波束的交叠点，\(s<0\) 的一半由对称性得到。代入并化简：
两式相除，\(\sin(\pi s)\) 恰好约掉，得到一个异常干净的闭式：
关键结论：相邻 DFT 波束的增益差有闭式【本站演算】
终端在最优波束格内位置 \(s\in(0,0.5]\) 处，最优波束与相邻波束的增益差（幅度 dB）为
大 \(N\) 极限下，它就是位置的 log-odds（对数几率）。把 \(1-s\) 与 \(s\) 看成两个概率，\(\ln\frac{1-s}{s}\) 就是两者之比取对数，这里只是换成了 \(20\log_{10}\) 的 dB 刻度。
\(N=64\) 时两者在小数点后两位内一致，例如 \(s=0.25\)：精确 \(9.541\) dB，极限式 \(9.542\) dB。
三个端点值必须记住：
- \(s\to0\)（波束中心）：\(\Delta\to\infty\)。相邻 DFT 波束在本波束中心处恰有一个零点，这是 DFT 码本正交性的几何含义，所以增益差发散。但发散是对数型的，\(\Delta\approx-20\log_{10}s\)，可积。
- \(s=0.5\)（交叠点）：\(\Delta=0\)。两个波束一样好，选谁都行。
- \(s=0.5\) 处本波束自身相对峰值的损失：\(|\mathrm{AF}_k|=1/(64\sin(\pi/128))=1/(64\times0.024541)=0.6367\)，即 \(\mathbf{-3.92}\) dB。
最后这个数不是本站的结果：它是 Harris 1978 [9] 表 I 里矩形窗的最坏 scalloping loss 3.92 dB（DFT bin 跨骑损失）。
这个名字来自频谱分析。信号频率若恰好落在两个 DFT 频点正中间，两侧相邻的两个频点看到的幅度都比落在频点上时低 3.92 dB。以信号频率为横轴，画出离它最近的频点看到的幅度，得到一排扇贝边似的起伏，故称扇贝损失。把"频率"换成空间频率 \(u\)、"频点"换成波束，它就是阵列文献里的 "beam crossover loss"，两者是同一个量。
同一张表还给出矩形窗第一旁瓣 \(-13.3\) dB，以及 3 dB 主瓣宽 \(0.886\times(2/N)\)。\(N=64\) 时主瓣宽是 \(0.0277\)，即 \(1.6^\circ\)，与第 4 章算例 4.5的口径一致 [9][10]。以上数字均以 [9][10] 为出处。
6.4.2 错格概率#
基站看到的不是真增益，而是估计值。设最优波束 \(k\) 与相邻波束 \(k+1\) 的增益估计分别为 \(\hat{G}_k=G_k+e_k\)、\(\hat{G}_{k+1}=G_{k+1}+e_{k+1}\)，误差 \(e_k,e_{k+1}\) 在 dB 域独立同分布 \(\mathcal{N}(0,\sigma^2)\)。
**第一步：写出基站比较的量。**基站比较的是估计差
其中 \(n:=e_k-e_{k+1}\)。独立高斯之差仍是高斯，方差相加，故 \(n\sim\mathcal{N}(0,2\sigma^2)\)，即两者之差的误差方差为 \(2\sigma^2\)。
**第二步：写出选错的概率。**选错的事件是"差的估计翻了号"，即 \(n<-\Delta(s)\)。把 \(n\) 除以 \(\sqrt2\sigma\) 化成标准正态 \(Z\)，再用对称性 \(\Pr\{Z<-x\}=\Pr\{Z>x\}\)，就得到下式。\(Q\) 函数见预备篇 3.4。
定义 6.1（错格概率与期望错格损失）【本站提法】
设终端在最优波束格内的位置 \(s\) 服从 \([0,0.5]\) 上的均匀分布（等价于终端角度在全码本上均匀）。定义
前者是错格率，后者是期望错格损失（dB）。
近似条件（必须声明）
- （甲）两个候选波束的增益估计误差独立同方差。
- （乙）只在相邻两个波束之间比较，忽略非相邻波束（\(\sigma\lesssim6\) dB 时它们的 \(\Delta\) 更大，贡献可忽略）。
- （丙）误差高斯。
三条都不是自然律，是可检验的建模假设。
6.4.3 反相关：错格概率与错格损失#
- \(P_{\mathrm{err}}(s)\) 是 \(s\) 的增函数：越靠近交叠点，越容易选错。
- \(\Delta(s)\) 是 \(s\) 的减函数：越靠近交叠点，选错了越不疼。
两者反相关。这是同一个量 \(\Delta(s)\) 在两个位置上出现的结构性后果。
引理 6.3（错格概率与错格损失的反相关）【本站提法】
在定义 6.1 的三条近似条件下：
**(a) 逐点有界。**对每个 \(s\)，\(P_{\mathrm{err}}(s)\Delta(s)\le\sup_{x\ge0}xQ(x/(\sqrt2\sigma))=\sqrt2\sigma\cdot\sup_{w\ge0}wQ(w)\)，且 \(\sup_{w\ge0}wQ(w)=0.1700\)（在 \(w=0.7518\) 处取到）。故
(b) 两端归零。\(\lim_{s\to0}P_{\mathrm{err}}(s)\Delta(s)=0\)（\(Q\) 按高斯尾衰减，压过 \(\Delta\) 的对数发散）；\(P_{\mathrm{err}}(0.5)\Delta(0.5)=0.5\times0=0\)。故乘积在 \((0,0.5)\) 内部取到极大。
**(c) 小噪声区是二阶的。**设 \(a:=|\mathrm{d}\Delta/\mathrm{d}s|_{s=0.5}\)。则
(d) 两端极限。\(\overline{P}_{\mathrm{err}}(\sigma)\to0\)（\(\sigma\to0\)），\(\overline{P}_{\mathrm{err}}(\sigma)\to1/2\)（\(\sigma\to\infty\)）；\(\Psi(\sigma)\) 单调增且以 \(\tfrac12\mathbb{E}_s[\Delta(s)]\) 为上界。
证明。
(a)。
第一步：换元。\(P_{\mathrm{err}}(s)\Delta(s)=\Delta(s)\,Q(\Delta(s)/(\sqrt2\sigma))\)。令 \(w:=\Delta/(\sqrt2\sigma)\)，则乘积 \(=\sqrt2\sigma\cdot wQ(w)\)。
**第二步：说明 \(wQ(w)\) 有内部极大。**函数 \(wQ(w)\) 在 \([0,\infty)\) 上连续、两端为零（\(w=0\) 处为 \(0\)，\(w\to\infty\) 时 \(Q(w)\le e^{-w^2/2}\) 压过 \(w\)），故有内部极大。这里的尾界只需一次换元 \(t=w+v\)：
\(w\ge0\) 时 \(e^{-wv}\le1\)，剩下的积分是标准正态密度在右半轴上的积分，等于 \(\tfrac12\)，故 \(Q(w)\le\tfrac12e^{-w^2/2}\)，(b) 还会再用到它。
**第三步：求极大值。**求导：\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}[wQ(w)]=Q(w)-w\varphi(w)\)（\(\varphi\) 为标准正态密度，用了 \(Q'=-\varphi\)）。数值解 \(Q(w)=w\varphi(w)\) 得 \(w^\ast=0.7518\)，\(Q(0.7518)=0.2261\)，乘积 \(0.1700\)。乘以 \(\sqrt2=1.4142\) 得 \(0.2404\sigma\)。
这一步说：无论终端在格内哪里，"选错的概率乘选错的代价"都被一个正比于 \(\sigma\) 的常数压住。\(\square\)
(b)。\(s\to0\) 时 \(\Delta(s)\sim-20\log_{10}s\to\infty\)，而 \(Q(\Delta/(\sqrt2\sigma))\le\exp(-\Delta^2/(4\sigma^2))\)。令 \(\Delta=-20\log_{10}s=:\ell\)（临时记号），乘积 \(\le \ell e^{-\ell^2/(4\sigma^2)}\to0\)。\(s=0.5\) 时 \(\Delta=0\)，故乘积为 \(0\)。连续函数在闭区间上两端为零、内部为正，必在内部取极大。\(\square\)
**(c)。**记 \(\xi:=0.5-s\)。因 \(\Delta(0.5)=0\) 且 \(\Delta\) 在 \(s=0.5\) 处可微，小 \(\xi\) 时 \(\Delta\approx a\xi\)。于是
积分 \(\int_0^\infty wQ(w)\mathrm{d}w\) 用分部积分，取 \(u=Q(w)\)、\(\mathrm{d}v=w\,\mathrm{d}w\)，则
边界项因 \(Q\) 的高斯衰减而为零。\(\mathbb{E}[W^2]=1\)，正半轴占一半。\(\square\)
(d)。\(\sigma\to0\) 时，对每个 \(s>0\) 有 \(Q(\Delta/(\sqrt2\sigma))\to0\)。由控制收敛得 \(\overline{P}_{\mathrm{err}}\to0\)。控制收敛的意思是：被积函数始终被一个与 \(\sigma\) 无关的可积函数压住时，极限可以移进积分号。这里 \(0\le Q\le1\)、积分区间有限，常数 1 就是这样的函数。对 \(\Psi\) 则用只有对数发散、仍可积的 \(\Delta(s)\)。
\(\sigma\to\infty\) 时 \(Q\to Q(0)=1/2\)，同理 \(\overline{P}_{\mathrm{err}}\to1/2\)，\(\Psi\to\tfrac12\mathbb{E}_s[\Delta]\)。单调性由 \(Q\) 对 \(\sigma\) 递增（自变量递减）逐点成立后取积分。\(\blacksquare\)
物理意义
引理 6.3 的 (a)(b) 合起来说：错格最容易发生的地方，也是错格最不疼的地方。这不是运气。两者由同一个 \(\Delta(s)\) 决定，一个在 \(Q\) 的自变量里，一个在乘数上。
工程含义很实在："BIM 错一格损失 10 dB 量级"（第一部第 7 章）与"期望损失不到 0.5 dB"这两句话并不矛盾。
- 前者说的是最坏位置上错到远处波束的代价。\(s\) 很小时，\(\Delta\) 确实可以是十几到几十 dB。
- 后者说的是按位置加权的期望值，权重恰好把大代价的地方压掉了。
第一部的那句话应当读成"错格在最坏情形下很贵"，不能直接当成期望值用。
(c) 的意义更大：它把 6.2 节的断点修好了。离散判决环在小噪声区的期望损失是 \(\sigma^2/a\)，是二阶的，因而可以并入引理 6.1(b) 的 dB² 账，整条链重新变成一本可加的账。这是本章预算法则能成立的技术前提。
行为分析
- \(a\) 的物理含义是"交叠点附近的波束陡峭度"。\(N\) 越大，波束越窄，\(a\) 越大，同样的 \(\sigma\) 造成的期望损失越小。大规模阵列在错格这一环上更抗噪，因为它的台阶更矮，虽然更密。
- \(\Psi(\sigma)\le0.2404\sigma\)（由 (a) 对 \(s\) 取平均）说明期望损失至多线性增长，永远不会出现"增益误差翻倍、损失翻四倍"的灾难。
- \(\sigma\to\infty\) 时 \(\overline{P}_{\mathrm{err}}\to1/2\)，不是 \(1\)。盲猜两个相邻波束时，有一半概率蒙对。
6.4.4 算例：把这些数真的算出来#
算例 6.2（环二：\(N=64\) DFT 码本的错格概率与条件损失）
**计算说明（可复现）。**阵因子用上面推出的闭式 \(\Delta(s)=20\log_{10}\bigl[\sin(\pi(1-s)/64)/\sin(\pi s/64)\bigr]\)。\(\overline{P}_{\mathrm{err}}\) 与 \(\Psi\) 用 scipy.integrate.quad 在 \(s\in[10^{-10},0.5]\) 上自适应求积（绝对容差 \(10^{-10}\)），\(Q\) 取 scipy.stats.norm.sf。交叠点斜率取解析值
斜率的来由。
**第一步：写出 \(\Delta(s)\) 的对数形式。**把 \(\Delta(s)\) 写成 \(\frac{20}{\ln10}\bigl[\ln\sin\frac{\pi(1-s)}{N}-\ln\sin\frac{\pi s}{N}\bigr]\)。
**第二步：求导。**对 \(s\) 求导，用 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln\sin x=\cot x\)，两项的内层导数分别是 \(-\pi/N\) 与 \(\pi/N\)，得 \(-\frac{20}{\ln10}\cdot\frac{\pi}{N}\bigl[\cot\frac{\pi(1-s)}{N}+\cot\frac{\pi s}{N}\bigr]\)。
**第三步：代入 \(s=0.5\)。**两个余切相等，都是 \(\cot\frac{\pi}{2N}\)，取绝对值即上式。大 \(N\) 时 \(\cot\frac{\pi}{2N}\approx\frac{2N}{\pi}\)，\(a\to\frac{80}{\ln10}=34.74\)，这是极限式 \(20\log_{10}\frac{1-s}{s}\) 在 \(s=0.5\) 处的斜率。\(N=64\) 时两者只差 \(0.02\%\)。
第一问：\(\Delta(s)\) 的取值。
| \(s\) | 0.05 | 0.10 | 0.20 | 0.25 | 0.30 | 0.35 | 0.40 | 0.45 | 0.50 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\Delta(s)\)（dB） | 25.57 | 19.08 | 12.04 | 9.54 | 7.36 | 5.38 | 3.52 | 1.74 | 0 |
| 本波束自身损失（dB） | \(-0.04\) | \(-0.14\) | \(-0.58\) | \(-0.91\) | \(-1.33\) | \(-1.75\) | \(-2.42\) | \(-3.11\) | \(-3.92\) |
第二问：三档 \(\sigma\) 的错格率与期望损失。
| \(\sigma\)（dB） | \(\overline{P}_{\mathrm{err}}\) | \(\Psi\)（dB） | 二阶近似 \(\sigma^2/34.74\) | \(\overline{P}_{\mathrm{err}}\times3.92\) | \(\overline{P}_{\mathrm{err}}\times10\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 3.0（RT 校准好的一端） | 0.0939 | 0.2385 | 0.2591（\(+8.6\%\)） | 0.368 | 0.939 |
| 4.5（材质三档全摆动） | 0.1353 | 0.4911 | 0.5830（\(+18.7\%\)） | 0.530 | 1.353 |
| 6.0（RT 校准差的一端） | 0.1717 | 0.7851 | 1.0364（\(+32.0\%\)） | 0.673 | 1.717 |
第三问：乘积曲线的峰。\(\sigma=4.5\) dB 时 \(P_{\mathrm{err}}(s)\Delta(s)\) 在 \(s=0.366\) 处取极大 \(1.082\) dB，该处 \(\Delta=4.78\) dB、\(P_{\mathrm{err}}=0.226\)。引理 6.3(a) 的上界给 \(0.2404\times4.5=1.082\) dB，两者取等。
校验
- (a) 上界取等：第三问的数值极大 \(1.0817\) 与解析上界 \(0.2404\times4.5=1.0818\) 在四位内相同 ✓。这同时校验了 \(\sup_w wQ(w)=0.1700\) 与 \(w^\ast=0.7518\)（实际峰处 \(w=\Delta/(\sqrt2\sigma)=4.784/6.364=0.7518\) ✓）。
- (b) 两端极限：\(\sigma=0.5\) dB 时 \(\overline{P}_{\mathrm{err}}=0.0162\to0\)；\(\sigma=200\) dB 时 \(\overline{P}_{\mathrm{err}}=0.4830\to1/2\)，与引理 6.3(d) 一致 ✓。
- (c) 二阶律：\(\sigma=1\) dB 时 \(\Psi=0.02851\)，\(\sigma^2/a=0.02880\)，相差 \(1.0\%\)。\(\sigma=0.5\) dB 时两者均为 \(0.0072\)，相差 \(0.3\%\)。\(\Psi\approx\sigma^2/a\) 在 \(\sigma\lesssim3\) dB 内误差小于 \(9\%\)，在 \(\sigma=6\) dB 处已达 \(32\%\)。近似高估，因为真实 \(\Delta\) 在远离交叠点处比线性外推更陡 ✓。
- (d) scalloping loss 复算：\(s=0.5\) 处本波束损失 \(20\log_{10}[1/(64\sin(\pi/128))]\)。\(\sin(\pi/128)=\sin(0.0245437)=0.0245412\)，\(64\times0.0245412=1.57064\)，\(20\log_{10}(1/1.57064)=-3.9215\) dB，与 Harris 1978 [9] 的 \(3.92\) dB 一致 ✓。
- (e) 3 dB 波束宽复算：\(|\mathrm{AF}_k(s)|=-3\) dB 的解为 \(s=0.4437\)，即半功率半宽 \(0.4437\times2/N\)、全宽 \(0.887\times2/N\)，与 Van Trees [10] 的 \(0.886\times(2/N)\) 一致 ✓。
- (f) 期望损失远小于朴素估计：\(\sigma=4.5\) 时 \(\Psi=0.491\) dB，而"错格率 × 3.92 dB"给 \(0.530\)、"错格率 × 10 dB"给 \(1.353\)。后者高估 \(2.8\) 倍 ✓。
怎么读这张图
三条线依次是：
- 单调下降的那条是增益差 \(\Delta(s)\)，真实 dB 值，\(s=0.5\) 处归零。
- 单调上升的那条是错格概率 \(P_{\mathrm{err}}(s)\) 放大 20 倍，终点 \(10\) 对应真实值 \(0.5\)。
- 中间隆起的那条是乘积 \(P_{\mathrm{err}}(s)\Delta(s)\) 放大 10 倍，峰值 \(10.7\) 对应真实 \(1.07\) dB，精确峰在 \(s=0.366\) 处为 \(1.082\) dB。
两条单调曲线方向相反，这就是"反相关"。它们的乘积两端归零，中间有一个被引理 6.3(a) 压住的峰。数据由算例 6.2 的闭式与数值积分给出。
到此为止我们得到了什么
环二的全部数字与一条引理：
- \(N=64\) DFT 码本的相邻波束增益差有闭式 \(\Delta(s)=20\log_{10}[\sin(\pi(1-s)/N)/\sin(\pi s/N)]\)，交叠点损失是 Harris 的 3.92 dB。
- 错格概率 \(Q(\Delta/(\sqrt2\sigma))\) 与错格损失 \(\Delta\) 反相关，乘积被 \(0.2404\sigma\) 压住，两端归零。
- 期望错格损失在小噪声区是 \(\sigma^2/34.74\)，是二阶的，因而可以进 dB² 的账。
- 4.5 dB 的增益误差只换来 0.49 dB 的期望损失，不是"错格率 × 10 dB"的 1.35 dB。
6.5 环三：错格 → 谱效损失，与端到端串联#
6.5.1 最后一环#
丢了 \(L\) dB 的接收功率，谱效差多少？香农公式直接给：
在 \(L=0\) 处求导，用 \(\mathrm{d}(10^{-L/10})/\mathrm{d}L=-(\ln10/10)10^{-L/10}\) 与 \(\mathrm{d}\log_2 u/\mathrm{d}u=1/(u\ln2)\)：
两个极限一目了然：
- 高 SNR（\(\mathrm{SNR}\gg1\)）：\(\kappa_{\mathrm{SE}}\to0.33219=1/3.0103\) bit/dB，即经典的"每 3 dB 一个比特"。
- 低 SNR（\(\mathrm{SNR}\ll1\)）：\(\kappa_{\mathrm{SE}}\to0.33219\,\mathrm{SNR}\)，随 SNR 线性缩小。功率受限的链路对增益损失不敏感，因为容量本来就随功率线性增长，损失也只线性。
6.5.2 算例：从材质误差一路算到谱效#
算例 6.3（环三与端到端串联：材质 \(\varepsilon'\) 差 2 → 谱效差多少）
第一问：两档 SNR 的斜率。
- \(\mathrm{SNR}=20\) dB（\(=100\)）：\(\kappa_{\mathrm{SE}}=0.33219\times100/101=\mathbf{0.32890}\) bit/dB，基线 \(\mathrm{SE}_0=\log_2101=6.6582\) bit/s/Hz。
- \(\mathrm{SNR}=0\) dB（\(=1\)）：\(\kappa_{\mathrm{SE}}=0.33219\times0.5=\mathbf{0.16610}\) bit/dB，基线 \(1.0000\) bit/s/Hz。
第二问：几个损失值的精确 \(\Delta\mathrm{SE}\)。
| \(L\)（dB） | 0.24 | 0.49 | 0.79 | 3.92 |
|---|---|---|---|---|
| \(\Delta\mathrm{SE}\) @20 dB | 0.0784 | 0.1614 | 0.2580 | 1.2814 |
| 线性近似 \(0.3289L\) | 0.0789 | 0.1612 | 0.2598 | 1.2893 |
| \(\Delta\mathrm{SE}\) @0 dB | 0.0391 | 0.0793 | 0.1245 | 0.5089 |
**第三问：整条链串起来。**取 20 dB SNR、\(N=64\) 码本：
| 输入误差 | 环 1 输出（dB） | 环 2 输出 \(\overline{P}_{\mathrm{err}}\) / \(\Psi\) | 环 3 输出 \(\Delta\mathrm{SE}\) | 占基线 |
|---|---|---|---|---|
| \(\varepsilon'\) 记错 2（单反射） | 1.451 | 4.7% / 0.0594 dB | 0.0195 bit/s/Hz | 0.29% |
| \(\varepsilon'\) 记错 2（双反射） | 2.902 | 9.1% / 0.2243 dB | 0.0738 bit/s/Hz | 1.11% |
| \(\varepsilon'\) 全档不确定（3 到 7） | 4.531 | 13.6% / 0.4967 dB | 0.1633 bit/s/Hz | 2.45% |
口径说明
第三问把环一输出的 dB 误差当作相邻两个波束增益估计上独立的高斯误差，以它为 \(\sigma\) 代入 \(\Psi(\sigma)\)。这是偏保守的简化，原因有两条：
- 材质误差作用在同一条径上时，相邻波束的增益误差同号相关，比较两者之差时会抵消一部分。定义 6.1 条件（甲）的独立假设只是近似。
- "记错 2" 这样的确定性偏差也不是随机方差（算例 6.6 对同一个材质不确定度改用均匀分布的方差 \(4^2/12\)）。
所以这张表的数应读作量级。表中各数按定义 6.1 的积分与环三的公式逐项复算，在上述简化下无误。
要按具体几何精确重算，需先定出相邻波束增益误差的相关系数 \(\rho\)。联合高斯时两者之差的方差变为 \(2\sigma^2(1-\rho)\)，等价于把表中的 \(\sigma\) 换成 \(\sigma\sqrt{1-\rho}\)，\(\rho>0\) 时错格率与期望损失都比表中小。
**第四问：三环灵敏度乘积（小误差区）。**由引理 6.1(a)，把三环斜率乘起来。注意环二在方差层面，故用 \(\sigma^2\) 记账：
校验
- (a) 高 SNR 渐近式：\(L=3.92\) dB 处 \(3.92/3.0103=1.302\)，精确值 \(1.2814\)，相差 \(1.6\%\)。差在 \(\mathrm{SNR}/(1+\mathrm{SNR})=0.990\) 这个因子上：\(1.302\times0.990=1.289\)，与线性近似一致，剩余 \(0.6\%\) 是二阶项 ✓。
- (b) 低 SNR 缩放：\(0\) dB 与 \(20\) dB 的斜率之比 \(0.16610/0.32890=0.5050=(0.5)/(0.990)\)，与 \(\mathrm{SNR}/(1+\mathrm{SNR})\) 的比值一致 ✓。
- (c) 两条路径复算第三行：路径一（先算 \(\Psi\) 再代香农公式）得 \(0.16330\)。路径二（线性近似 \(\kappa_{\mathrm{SE}}\Psi=0.32890\times0.4967\)）得 \(0.16337\)，相差 \(0.04\%\) ✓。
- (d) 一阶乘积复算第一行：\(8.929\times10^{-3}\times(\text{方差 }2^2/1)\)。注意这里输入是确定性偏差 \(2\) 而非随机方差，故改用 \(\Psi(\sigma=1.451)\) 的精确值。用二阶近似 \(\sigma^2/a=1.451^2/34.74=0.0606\) dB 对精确 \(0.0594\) dB，相差 \(2.0\%\)，落在算例 6.2 校验 (c) 给的小 \(\sigma\) 误差范围内 ✓。
- (e) 极限退化：\(L\to0\) 时 \(\Delta\mathrm{SE}\to0\) ✓。\(L\to\infty\) 时 \(\Delta\mathrm{SE}\to\log_2(1+\mathrm{SNR})\)（链路完全失效，损失等于全部谱效）✓。\(\mathrm{SNR}\to0\) 时 \(\Delta\mathrm{SE}\to0\) ✓。
怎么读这张图
三条线的读法如下：
- 中间那条在 \(\sigma\lesssim3\) dB 处与最上那条重合，之后走低，是真实的期望错格损失 \(\Psi(\sigma)\)。
- 上升最快的那条是二阶近似 \(\sigma^2/34.74\)。两者在 \(\sigma\le3\) dB 内几乎重合（差 \(<9\%\)），\(\sigma=6\) dB 处近似高估 32%，\(\sigma=10\) dB 处高估 81%。
- 最平缓的那条是"错格率 \(\times3.92\) dB"这个朴素估计。它在 \(\sigma<5\) dB 时高估，在 \(\sigma>5\) dB 时低估。
高估，是因为它没有考虑"错格集中在 \(\Delta\) 小的地方"。低估，是因为它没有考虑"\(\sigma\) 大时错格会跨越到更远的位置"。数据来自算例 6.2 与 6.3 的数值积分。
到此为止我们得到了什么
整条链的端到端数字。环三的灵敏度是 \(0.329\) bit/dB（20 dB SNR）与 \(0.166\) bit/dB（0 dB SNR），高 SNR 下就是"每 3 dB 一个比特"。
三环串起来：材质 \(\varepsilon'\) 记错 2 个单位，单反射路径最终损失 0.020 bit/s/Hz（占 0.29%），双反射 0.074（1.11%），整个混凝土档位的不确定给 0.163（2.45%）。
小误差区的三环灵敏度乘积是 \(8.93\times10^{-3}\) bit 每 \((\varepsilon')^2\)。
6.6 多个测量点共测一个场：高斯 CEO 给出的天花板#
6.6.1 从一条链到一张网#
前面三节处理的是一条链上的误差传播。真实的建库不是一条链。建 CKM 时有 \(L\) 辆测试车、\(L\) 个测量点。各测量点观测同一个隐含的场（该位置的真实增益、该面墙的真实材质），各自把观测压缩后送回中心，中心融合成一张图。
本节的 \(L\) 是测量点个数，与 6.5 节的 dB 损失 \(L\)、6.7 节的总损失 \(\mathcal{L}\) 无关。
每个测量点花多少比特？总共花多少比特能把地图做到某个精度？
这就是信息论里的 CEO 问题（Berger–Zhang–Viswanathan 1996 [3]）。一个 CEO 关心一个量 \(X\)，\(L\) 个下属各自看到带噪版本 \(Y_i=X+N_i\)，各自以速率 \(R_i\) 汇报，CEO 要把 \(X\) 估计到均方误差 \(D\) 以内。
二次高斯情形的和速率–失真函数由 Oohama 1998 [4] 给出显式解，完整率区域由 Prabhakaran–Tse–Ramchandran 2004 [5]（与 Oohama 独立）给出。
定理 6.4（二次高斯 CEO 的对称参数式）【已解决（经典）·本站搬运与解读】
设 \(X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_X^2)\)，\(L\) 个观测 \(Y_i=X+N_i\)，\(N_i\sim\mathcal{N}(0,\sigma_N^2)\) 独立同分布且与 \(X\) 独立。采用 Berger–Tung 对称量化方案：每个编码器把 \(Y_i\) 加上独立的"量化噪声" \(\mathcal{N}(0,q)\) 后编码。则可达的 \((D,R_{\mathrm{sum}})\) 由参数 \(q>0\) 给出：
产权与紧性（重要）
这是 Berger–Tung 内界在 \(\sigma_i^2\) 全部相等时的对称特例。它在二次高斯 CEO 上是紧的：和速率的最优性由 Oohama 1998 [4] 证明，完整率区域由 Prabhakaran–Tse–Ramchandran 2004 [5] 与 Oohama 给出。
\(\sigma_i^2\) 不等时对称分配并非最优。此时必须回到非对称的（反注水式）速率分配，Chen–Zhang–Berger–Wicker 2004 [6] 给出了一条工程化的和速率上界与相应分配方案。
本站在此不主张任何新结果，只做无线场景的解读。
两个式子从哪来
记编码器 \(i\) 实际描述的是 \(U_i:=Y_i+Z_i=X+N_i+Z_i\)，\(Z_i\sim\mathcal{N}(0,q)\) 相互独立。
Berger–Tung 方案是这样的：各编码器各自量化自己的观测，彼此不通气。解码端利用各 \(U_i\) 之间的相关性省掉重复部分，这叫分箱（binning）。和速率等于 \(I(Y_1,\dots,Y_L;U_1,\dots,U_L)\)。
- 失真：CEO 用条件均值估计 \(X\)，失真就是后验方差。每个 \(U_i\) 都是 \(X\) 加上方差 \(\sigma_N^2+q\) 的独立高斯噪声。高斯情形下后验精度（方差的倒数）等于先验精度加各观测精度（预备篇 4.10），取倒数即 \(D(q)\)。
- 和速率：\(I(Y;U)=h(U)-h(U\mid Y)\)。
- 给定 \(Y\) 后 \(U\) 只剩 \(L\) 个独立的 \(Z_i\)，\(h(U\mid Y)=\frac12\log_2(2\pi e\,q)^L\)。
- \(U\) 是协方差为 \(\sigma_X^2\mathbf{1}\mathbf{1}^{\top}+(\sigma_N^2+q)\mathbf{I}\) 的高斯向量，\(h(U)=\frac12\log_2\bigl[(2\pi e)^L\det(\cdot)\bigr]\)。
- 这个矩阵在全 1 方向上的特征值是 \(L\sigma_X^2+\sigma_N^2+q\)，在与之正交的 \(L-1\) 维上都是 \(\sigma_N^2+q\)，行列式是它们的乘积。
- 两者相减，\(2\pi e\) 约掉，拆成两个对数即得 \(R_{\mathrm{sum}}(q)\)。
物理意义
\(D(q)\) 的形式是精度相加：先验贡献 \(1/\sigma_X^2\)，\(L\) 个观测各贡献 \(1/(\sigma_N^2+q)\)。量化噪声 \(q\) 直接加到观测噪声上，就像"看得更模糊"。
\(R_{\mathrm{sum}}(q)\) 的两项分别是"第一个人要独立描述整个场"与"其余 \(L-1\) 个人只需描述残差"。
翻译到 CKM，就是 \(L\) 个测量点各花多少比特，换地图精度 \(D\)。
行为分析
- \(q\to\infty\) 时 \(R_{\mathrm{sum}}\to0\)、\(D\to\sigma_X^2\)：不测就是先验。
- \(q\to0\) 时 \(R_{\mathrm{sum}}\to\infty\)、\(D\to(1/\sigma_X^2+L/\sigma_N^2)^{-1}\)。这是天花板：即使每个测量点都无损回传，观测噪声 \(\sigma_N^2\) 也消不掉。
-
第三条是最反直觉的一条。固定 \(L\) 时，\(D\) 随 \(R_{\mathrm{sum}}\) 指数收敛到那个天花板，但天花板本身只有靠加人（加 \(L\)）才能降。Berger–Zhang–Viswanathan [3] 的核心洞见是：当 \(L\) 可以随速率一起增长时，\(D\) 只按 \(1/R_{\mathrm{sum}}\) 衰减。这是与和速率成反比的幂律，不是 \(2^{-2R}\) 那样的指数衰减。
这是本章唯一一个 \(2^{-2b}\) 律不成立的信息论理由，也是 6.1 节那条"采样型环节是幂律"的警告在信源编码侧的对应物。
6.6.2 算例：两个工作点与三个极限#
算例 6.4（CEO：两个工作点与三个极限）
取 \(\sigma_X^2=1\)、\(\sigma_N^2=1\)、\(L=4\)（四个测量点观测同一个位置的增益，先验方差与观测噪声都归一化为 1）。
工作点一：\(q=1\)（量化噪声与观测噪声相当）。
工作点二：\(q=0.1\)（精细量化）。
**代价对照。**从 \(q=1\) 到 \(q=0.1\)：
- 比特从 2.79 涨到 8.03（\(+5.23\) 比特，\(+187\%\)）。
- 失真从 0.333 降到 0.216（\(-35\%\)）。
- 全观测天花板是 \(D_\infty=(1+4)^{-1}=\mathbf{0.2000}\)。
第二个工作点已经把 \(D-D_\infty\) 的 86% 花掉了，再花比特几乎买不到东西。
校验
- (a) \(q\to\infty\)：\(D\to(1/1+0)^{-1}=1=\sigma_X^2\)，\(R_{\mathrm{sum}}\to\frac12\log_2 1+\frac32\log_2 1=0\) ✓（数值：\(q=1000\) 给 \(D=0.9960\)、\(R=0.0058\)）。
- (b) \(q\to0\)：\(D\to(1+4/1)^{-1}=0.2\) ✓（数值：\(q=10^{-4}\) 给 \(D=0.20002\)、\(R=27.74\)）。
- (c) \(L\) 的一致性：\(q=1\) 时 \(D=(1+L/2)^{-1}\)，\(L=1,2,4,8,16\) 分别给 \(0.6667,0.5000,0.3333,0.2000,0.1111\)，与闭式逐位一致 ✓。
- (d) 单传感器对照：把同样的 \(R_{\mathrm{sum}}=2.79\) 比特全给一个传感器（\(L=1\)），解 \(\frac12\log_2\frac{2+q}{q}=2.7925\) 得 \(q=0.0426\)，\(D=(1+1/1.0426)^{-1}=0.5104\)。这比四个人分这 2.79 比特（\(D=0.333\)）差 53%。多买传感器比把一个传感器量化得更细划算 ✓。
- (e) \(D\sim1/R\) 标度的数值验证：固定 \(R_{\mathrm{sum}}\)、对 \(L\) 与 \(q\) 联合优化（\(L\) 扫到 4000），得 \(R_{\mathrm{sum}}=4/8/16/32/64/128\) 比特时 \(D_{\min}=0.202/0.102/0.0497/0.0241/0.0119/0.0059\)。乘积 \(D_{\min}R_{\mathrm{sum}}=0.81/0.82/0.79/0.77/0.76/0.75\) 近似为常数，确实是 \(1/R\) 而不是 \(2^{-2R}\) [3] ✓。
- (f) 固定 \(L\) 时的指数收敛：\(L=4\)，\(R_{\mathrm{sum}}=8.03/14.47/21.10\) 比特给 \(D-0.2=1.57\times10^{-2}/1.60\times10^{-3}/1.60\times10^{-4}\)，每 \(6.6\) 比特降一个数量级，即 \(\propto2^{-2R_{\mathrm{sum}}/L}\)（\(2\times6.6/4=3.30\approx\log_2 10\)）✓。
6.6.3 逐次精化：先粗后细是否划算#
逐次精化：为什么"先粗后细"不亏
误差预算在工程上是分阶段执行的：先做一版粗的材质库和粗栅格地图，上线跑一段，再挑误差大的区域细化。这样做会不会比"一次做到位"更贵？
Equitz–Cover 1991 [1] 的逐次精化定理（successive refinement）说：率失真问题在 \((R_1,D_1)\)、\((R_2,D_2)\) 上可逐次精化，当且仅当存在达到各自 \(R(D)\) 的条件分布，使 \(X\to\hat X_2\to\hat X_1\) 构成马尔可夫链。
下面两种情形都可逐次精化：
- 有限字母表 + Hamming 失真。
- 高斯 + 均方失真。
Rimoldi 1994 [2] 给出了可达率–失真区域的完整刻画。
对本章的意义
在高斯 + MSE 这个我们全章都在用的模型里，"先粗后细"是免费的：分两阶段花掉 \(R_2\) 比特达到 \(D_2\)，与一次性花 \(R_2\) 比特达到 \(D_2\) 效率相同。这为分阶段测量与校准背书。
但 CEO / 多描述设置下的逐次精化充要条件仍然开放（见开放问题 Q6.4），所以"多个测量点分阶段细化"是否也免费，目前没有定理。
到此为止我们得到了什么
多测量点场景的信息论天花板。\(L\) 个测量点共测一个场时，\((D,R_{\mathrm{sum}})\) 由定理 6.4 的参数式给出。\(\sigma_X^2=\sigma_N^2=1\)、\(L=4\) 时，\(q=1\) 给 \((0.333,\,2.79\ \text{bit})\)，\(q=0.1\) 给 \((0.216,\,8.03\ \text{bit})\)，天花板 \(0.200\)。
关键教训有两条：
- 观测噪声不可消，天花板只能靠加测量点降。
- 固定测量点数时，失真指数收敛到天花板。让测量点数随速率增长时，失真只按 \(1/R\) 衰减。
后一条就是"采样型环节的比特效率低"的信息论根据。
6.7 预算分配法则：反注水，与它的物理解读#
6.7.1 问题的精确形式#
现在可以回答开头那位工程师了。设有 \(n\) 个"预算项"，第 \(i\) 项分到 \(b_i\) 比特，产生的误差方差为 \(\sigma_i^2(b_i)=c_i2^{-2b_i}\)。\(c_i\) 是"零比特时的误差方差"，由该项的先验不确定范围决定。
以本章的锚定链为例：
- 由引理 6.1(b)，各项误差先按灵敏度平方加权，汇成增益估计误差的方差。
- 由引理 6.3(c)，期望错格损失对这个方差是线性的（\(\Psi\approx\sigma^2/a\)）。
- 环三又把 dB 线性地换成 bit。
所以任务损失对各项的方差（不是标准差）是线性的，一阶总任务损失是
其中 \(g_i\) 是"第 \(i\) 项的误差单位到任务损失单位的链式灵敏度平方"。
定义 6.2（预算项的三个参数）【本站提法】
每个预算项由三个数刻画：
- 原始不确定度 \(c_i\)：不花任何比特时该项误差的方差（在该项的原生单位下）。
- 链式灵敏度 \(g_i\)：该项误差方差到任务损失的转换系数（引理 6.1(b) 的 \(\prod_{l>i}s_l^2\)，再乘任务层的斜率）。
- 比特效率 \(\gamma_i\)：误差按 \(\sigma_i^2=c_i2^{-2\gamma_ib_i}\) 衰减的指数。
- 量化型环节 \(\gamma_i=1\)。
- 采样型环节 \(\gamma_i<1\)（6.1 节的陷阱）。这时 \(b_i\) 要读作采样预算的对数 \(\log_2S\)，误差按幂律 \(S^{-\rho}=2^{-\rho\log_2S}\) 衰减，即 \(\gamma_i=\rho/2\)，数值见算例 6.7。
乘积 \(G_i:=g_ic_i\) 是该项在零比特处对任务的贡献，单位与任务损失相同。它是预算分配的唯一输入。
本站的解读：\(G_i=\)"链式灵敏度 × 该环原始误差"。这是把一个 1963 年的量化理论结果读成一句物理话。
6.7.2 命题 6.5：反注水#
命题 6.5（最优比特分配 / 反注水）【已解决（经典）·本站重新解读】
设 \(G_i:=g_ic_i>0\)、\(b_i\in\mathbb{R}\)、\(\sum_ib_i=B\)。
(a) 闭式（\(\gamma_i\equiv1\)，不做非负截断）。最优解满足各项边际损失相等，且
即"每项分到均值，再加半个 log 的相对重要度"。这等价于教科书里的反注水（reverse water-filling）：把各项失真压到同一个水位 \(\theta\)，\(D_i=\min\{\theta,G_i\}\)。
**(b) 非负截断。**公式允许 \(b_i^\star<0\)。实际约束 \(b_i\ge0\) 时，把所有 \(b_i^\star<0\) 的项置零，在剩余项上重解 (a)，重复直到全部非负。截断后的最优性判据是：被置零项在 \(b_i=0\) 处的边际损失 \(2\ln2\cdot G_i\) 不超过水位 \(\lambda'\)。
**(c) 均分与最优之比 = 算术–几何平均比【本站演算】。**在 (a) 的前提下（无截断），
与总预算 \(B\) 无关，等号成立当且仅当所有 \(G_i\) 相等。
**(d) 一般比特效率 \(\gamma_i\)【本站演算·经典方法的直接推广】。**若 \(\sigma_i^2=c_i2^{-2\gamma_ib_i}\)，最优解满足 \(2\ln2\cdot\gamma_iG_i2^{-2\gamma_ib_i}=\lambda'\)（\(\lambda'\) 与 (b) 是同一个边际损失水位），即
产权
(a) 是 Huang–Schultheiss 1963 [7] 的相关高斯块量化最优比特分配，教科书处理见 Cover–Thomas §10.3.3 [8]。本章不主张任何新定理。
本站的新意只在定义 6.2 对 \(G_i=g_ic_i\) 的物理解读，以及 (c)(d) 两条初等推论。
证明。
(a)。
**第一步：说明 KKT 条件充分必要。**目标 \(\mathcal{L}=\sum_iG_i2^{-2b_i}\) 对每个 \(b_i\) 是严格凸的（二阶导 \(4\ln^2\!2\cdot G_i2^{-2b_i}>0\)），约束是线性的，故 KKT 条件充分必要。线性约束下 Slater 条件自动成立，见预备篇 7.4。
第二步：写拉格朗日函数。
**第三步：求偏导。**对 \(b_i\) 求偏导并令零，用 \(\mathrm{d}2^{-2b}/\mathrm{d}b=-2\ln2\cdot2^{-2b}\)：
这一步说：最优时每一项的失真都等于同一个水位 \(\theta\)。这就是"反注水"三个字的来历，也是"各项边际损失相等"的等价说法。
**第四步：代入约束。**解出 \(b_i=\frac12\log_2(G_i/\theta)\)，代入约束：
这里先把和式里的对数合并成积的对数，再两边乘 2、取指数、开 \(n\) 次方。回代得 (a) 的两个式子，\(\mathcal{L}^\star=n\theta\)。\(\square\)
**(b)。**加上 \(b_i\ge0\) 后 KKT 条件变为：存在 \(\lambda'\ge0\) 使 \(2\ln2\cdot G_i2^{-2b_i}=\lambda'\)（当 \(b_i>0\)）或 \(2\ln2\cdot G_i\le\lambda'\)（当 \(b_i=0\)）。这就是"边际收益低于水位的项不投资"。由凸性，逐轮置零并在剩余项上重解的过程单调收敛，每轮至少确定一项，至多 \(n\) 轮。\(\square\)
**(c)。**由 (a)，\(\mathcal{L}^\star=n\,\mathrm{GM}\cdot2^{-2B/n}\)，其中 \(\mathrm{GM}:=(\prod_jG_j)^{1/n}\)。均分方案 \(b_i=B/n\) 给 \(\mathcal{L}_{\text{均分}}=\sum_iG_i2^{-2B/n}=n\,\mathrm{AM}\cdot2^{-2B/n}\)，\(\mathrm{AM}:=\frac1n\sum_iG_i\)。相除，\(2^{-2B/n}\) 约掉，得 \(\mathrm{AM}/\mathrm{GM}\)。算术–几何平均不等式给 \(\ge1\)，等号条件即全部相等。\(\square\)
**(d)。**同 (a) 求偏导，\(\mathrm{d}2^{-2\gamma_ib_i}/\mathrm{d}b_i=-2\gamma_i\ln2\cdot2^{-2\gamma_ib_i}\)，故最优条件是 \(2\ln2\cdot\gamma_iG_i2^{-2\gamma_ib_i}=\lambda'\)。取对数解出 \(b_i\)，代入 \(\sum_ib_i=B\)：\(\sum_iw_i[\log_2(2\ln2\cdot\gamma_iG_i)-\log_2\lambda']=B\)，移项即得。\(\gamma_i\equiv1\) 时 \(w_i=1/2\)、\(\sum w=n/2\)，代入化简正好还原 (a)。\(\blacksquare\)
物理意义
(a) 的读法是一句大白话：预算按"重要度的对数"分配，不按重要度分配。某一项重要 4 倍（\(G_i\) 大 4 倍），它只多拿 \(\frac12\log_2 4=1\) 个比特，不是多拿 4 倍的比特。这是因为比特买的是指数衰减的精度，重要度的差异在对数尺度上就被抹平了。
(c) 把"不做联合预算的代价"化成一个可以一眼看出的量：\(G_i\) 的算术–几何平均比。这个代价与你有多少钱无关。
与注水的关系
预备篇 7.5 的注水给并行子载波分功率：河床高度是该子载波的噪声功率与信道增益之比，水面找平，好信道分得多，河床高过水面的信道一滴水也不给。
反注水把水位放在失真上：每项失真都被压到同一水位 \(\theta\)，零比特时的损失 \(G_i\) 本来就低于 \(\theta\) 的项一个比特也不给，所以 \(D_i=\min\{\theta,G_i\}\)。
两者是同一个 KKT 结构，水位都由拉格朗日乘子决定。区别只在注水最大化总速率，反注水最小化总损失 \(\sum_iG_i2^{-2b_i}\)。率失真里并行高斯信源的比特分配也是反注水（[8] §10.3.3）。
行为分析
- (a) 的分配对 \(B\) 是平移的：\(B\) 加 3 个比特，每项各加 1 个，相对份额不变。所以"哪一环该多花"这个问题的答案不依赖总预算。
- 截断在 \(B\) 小时一定会发生：\(G_i\) 最小的项先被置零。工程读法是"预算紧的时候先砍最不重要的那一项，而不是全线削减"。
- (d) 说明比特效率 \(\gamma_i\) 通过 \(w_i=1/(2\gamma_i)\) 起作用：低效率项的分配对水位更敏感，因为它需要更多比特才能移动同样的误差。
6.7.3 算例：抽象三项与锚定链#
算例 6.5（抽象预算：三项、\(B=12\) 比特）
取 \(g=(10,\,1,\,0.1)\)、\(c=(1,1,1)\)，故 \(G=(10,\,1,\,0.1)\)；\(n=3\)、\(B=12\)。
第一步：几何平均。\(\prod G_j=10\times1\times0.1=1\)，\(\mathrm{GM}=1^{1/3}=1\)。
第二步：分配。\(B/n=4\)，\(\frac12\log_2(G_i/1)\) 分别是 \(\frac12\log_210=\frac12(3.3219)=1.6610\)、\(0\)、\(\frac12\log_2 0.1=-1.6610\)：
第三步：各项损失。\(\theta=\mathrm{GM}\cdot2^{-2B/n}=1\times2^{-8}=3.906\times10^{-3}\)。逐项验证：\(G_12^{-2b_1}=10\times2^{-11.322}=10\times3.906\times10^{-4}=3.906\times10^{-3}\) ✓，其余两项同值。总损失 \(\mathcal{L}^\star=3\times3.906\times10^{-3}=\mathbf{0.011719}\)。边际损失 \(2\ln2\times3.906\times10^{-3}=5.415\times10^{-3}\)，三项相等 ✓。
第四步：均分对照。\(b=(4,4,4)\)：\(\mathcal{L}=(10+1+0.1)\times2^{-8}=11.1/256=\mathbf{0.043359}\)。
校验
- (a) \(\sum b_i^\star=5.661+4.000+2.339=12.000\) ✓。
- (b) 三项边际损失相等（第三步）✓。这是 KKT 条件的直接代回。
- (c) 命题 6.5(c) 独立复算：\(\mathrm{AM}=(10+1+0.1)/3=3.700\)，\(\mathrm{GM}=1\)，比值 \(3.700\)，与第四步的数值比 \(3.700\) 逐位相同 ✓。
- (d) 与 \(B\) 无关：取 \(B=24\) 重算，\(b^\star=(9.661,8.000,6.339)\)，\(\mathcal{L}^\star=3\times2^{-16}=4.578\times10^{-5}\)，均分 \(11.1\times2^{-16}=1.694\times10^{-4}\)，比值仍是 \(3.700\) ✓。
- (e) 极限退化：若 \(G\) 三项相等，(a) 给均分、(c) 给比值 1 ✓。
算例 6.6（锚定链的预算：材质 / 几何 / 增益量化三项）
现在用 6.3–6.5 节算出来的真实数字填 \(g_i\) 与 \(c_i\)。任务损失单位是 bit/s/Hz（20 dB SNR），环二的转换系数记
这是"每 1 \(\mathrm{dB}^2\) 的增益估计误差方差，换来多少 bit/s/Hz 的损失"，由引理 6.3(c) 与算例 6.3 得到。
三个预算项。
| 项 | 原生单位 | 灵敏度 \(s_i\)（dB/原生单位） | \(c_i\)（原生方差，\(b=0\)） | \(c_is_i^2\)（\(\mathrm{dB}^2\)） | \(g_i=\kappa_{\mathrm{gain}}s_i^2\) | \(G_i=g_ic_i\)（bit） |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 材质 \(\varepsilon'\)（双反射） | \(\varepsilon'\) 单位 | \(2\times0.9711=1.9422\) | \(4^2/12=1.3333\) | 5.030 | \(3.572\times10^{-2}\) | 0.04762 |
| 几何 \(\delta\)（命题 4.4） | mm | \(0.4453\) | \(21.43^2/12=38.27\) | 7.588 | \(1.878\times10^{-3}\) | 0.07185 |
| 增益值量化 | dB | \(1\) | \(30^2/12=75\) | 75.00 | \(9.469\times10^{-3}\) | 0.71014 |
几何项的灵敏度从哪来（接入命题 4.4）。
第 4 章命题 4.4(a) 给出墙位移 \(\delta\) 造成的信道差 \(\|\mathbf{h}_\delta-\mathbf{h}_0\|=2|a_1||\sin(2\pi\delta\cos\theta/\lambda)|\)，其机制是相位转动 \(\Delta\phi=4\pi\delta\cos\theta/\lambda\)，见第 4 章 §4.4 的灵敏度表。
取两径、相对幅度 \(r=|a_1/a_0|=0.5\)，与算例 4.6 相同。合成增益为 \(10\log_{10}(1+r^2+2r\cos\Delta\phi)=10\log_{10}(1.25+\cos\Delta\phi)\)，其斜率的相位平均有闭式：
再乘 \(4\pi/\lambda\)（\(\lambda=85.71\) mm）得 \(s_{\mathrm{geo}}=3.037\times0.14661=\mathbf{0.4453}\) dB/mm。
\(c_2\) 取几何描述范围 \(\lambda/4=21.43\) mm 的均匀分布方差。超过 \(\lambda/4\) 相位就翻满一圈，命题 4.4 在此饱和，所以描述范围没有必要更大。
分配（\(B=6\) 比特）。\(\prod G_j=0.04762\times0.07185\times0.71014=2.4297\times10^{-3}\)，\(\mathrm{GM}=0.13444\)。
各项损失均为 \(\theta=0.13444\times2^{-4}=8.403\times10^{-3}\)，总 \(\mathcal{L}^\star=\mathbf{0.02521}\) bit/s/Hz。
对应的总增益误差方差是 \(\sigma_{\mathrm{tot}}^2=3\times0.8874=2.662\ \mathrm{dB}^2\)。这里 \(0.8874=\theta/\kappa_{\mathrm{gain}}\) 是每项损失换回的增益误差方差，三项独立，方差相加。于是 \(\sigma_{\mathrm{tot}}=\mathbf{1.632}\) dB。
均分对照。\(b=(2,2,2)\)：\(\mathcal{L}=(0.04762+0.07185+0.71014)/16=\mathbf{0.05185}\)，\(\sigma_{\mathrm{tot}}=2.340\) dB。比值 \(\mathbf{2.057}\)。
**预算紧到 \(B=2\) 时的截断。**无约束公式给 \(b_1^\star=2/3-0.7487=-0.082<0\)，材质项被置零。
在剩余两项上重解（\(n=2\)、\(B=2\)）：\(\mathrm{GM}_2=\sqrt{0.07185\times0.71014}=0.22588\)，
校验截断合法性：材质项在 \(b=0\) 处的边际损失 \(2\ln2\times0.04762=0.0660\)，小于水位 \(2\ln2\times0.05647=0.0783\) ✓。
校验
- (a) \(\sum b_i^\star=1.251+1.548+3.201=6.000\) ✓。三项损失均为 \(8.403\times10^{-3}\)，边际相等 ✓。
- (b) AM/GM 复算：\(\mathrm{AM}=(0.04762+0.07185+0.71014)/3=0.27654\)，\(\mathrm{GM}=0.13444\)，比值 \(2.0569\)，与数值比 \(2.057\) 一致 ✓。
- (c) 与 \(B\) 无关：\(B=4/8/10\) 时数值比均为 \(2.057\) ✓。
- (d) 穿过链复算总损失：\(\sigma_{\mathrm{tot}}=1.632\) dB 代回引理 6.3(c) 得 \(\Psi=2.662/34.74=0.07663\) dB，再乘 \(\kappa_{\mathrm{SE}}=0.32890\) 得 \(0.02520\) bit/s/Hz，与 \(\mathcal{L}^\star=0.02521\) 只差末位舍入（\(a\) 的未舍入值是 \(34.737\)，代入得 \(0.02521\)）✓。这条校验最重要：它验证了"分项 dB² 账"与"整条链一次算到底"给出同一个数。
- (e) 相位灵敏度闭式的自洽：全相位摆动 \(20\log_{10}\frac{1+r}{1-r}=20\log_{10}3=9.542\) dB，除以 \(\pi\) 恰为 \(3.037\) dB/rad ✓。平均斜率 = 总摆动 / 半周期，因为 \(10\log_{10}(1.25+\cos)\) 在 \([0,\pi]\) 上单调。
- (f) 量级合理性：\(B=6\) 比特下 \(\sigma_{\mathrm{tot}}=1.63\) dB，落在算例 6.2 的小噪声区（二阶近似误差 \(<3\%\)）✓。
怎么读这张图
三条线自下而上依次是材质项、几何项、增益量化项。
- \(B\ge4\) 之后三条线严格平行，斜率都是 \(1/3\)。这就是命题 6.5(a) 的"平移性"：预算增加时各项等量分享，相对份额不变。
- \(B=2\) 处最下面那条被压在零上（无约束公式会给 \(-0.082\)）。这是命题 6.5(b) 的非负截断，也是"反注水"这个名字的由来。截断发生时，另外两条线的斜率短暂变陡，是 \(1/2\) 而不是 \(1/3\)。
数据来自算例 6.6。
6.7.4 混进一个采样型环节：反注水不再够用#
算例 6.7（CKM 建库：三个量化项 + 一个采样项，共 1000 比特）
场景。一个 \(100\ \mathrm{m}\times100\ \mathrm{m}=10^4\ \mathrm{m}^2\) 的服务区要建一张增益图。总存储 / 测量预算 \(B=1000\) 比特。四个预算项：算例 6.6 的三项（材质、几何、增益量化，\(\gamma=1\)）加上采样密度（\(\gamma<1\)）。
**采样项的标定。**Xu–Zeng [12] 的 AMSE 曲线（\(k=1\)、参数已知）给两个点：密度 \(\lambda_{\mathrm{d}}=0.001/\mathrm{m}^2\) 时 \(8.5\ \mathrm{dB}^2\)，\(0.01/\mathrm{m}^2\) 时 \(4.0\ \mathrm{dB}^2\)。拟合幂律 \(\mathrm{AMSE}=A_0\lambda_{\mathrm{d}}^{-\rho}\)：
每个采样点存 \(\beta=8\) 比特，故 \(S\) 比特买 \(M=S/8\) 个点、密度 \(\lambda_{\mathrm{d}}=S/(8\times10^4)\)。
写成 \(\gamma\) 的语言：\(\mathrm{AMSE}\propto 2^{-2\gamma\log_2 S}\) 需 \(2\gamma=\rho\)，即 \(\gamma_{\text{采样}}=\rho/2=0.164\)，是量化型环节的六分之一。
注意这里的"比特数"是 \(\log_2S\)，即采样预算的对数。采样预算每翻一倍，误差方差乘 \(2^{-\rho}=0.797\)；量化项每多 1 比特，方差乘 \(1/4\)。所以不能把 \(S=979\) 直接代进 \(c\,2^{-2\gamma b}\)。
下面的数值解对采样项用它的真实形式：损失 \(\kappa_{\mathrm{gain}}A_0\bigl(S/(8\times10^4)\bigr)^{-\rho}\)，边际损失等于 \(\rho\) 乘该损失再除以 \(S\)。三个量化项仍用命题 6.5 的形式。
最优分配（数值解命题 6.5(b) 的 KKT 条件，\(\lambda'\) 用二分法）。
即 \(M=122\) 个采样点、密度 \(0.01224/\mathrm{m}^2\)、平均间距 9.04 m，\(\mathrm{AMSE}=3.744\ \mathrm{dB}^2\)。
**损失分解。**三个量化项各 \(8.55\times10^{-6}\)（合计 \(2.57\times10^{-5}\)），采样项 \(3.545\times10^{-2}\)；总 \(\mathcal{L}^\star=\mathbf{0.035476}\) bit/s/Hz。采样项占 99.93%。
三种朴素方案对照。
| 方案 | 分配 | 总损失（bit/s/Hz） | 相对最优 |
|---|---|---|---|
| 联合最优 | \((6.22,6.52,8.17,\ 979)\) | 0.035476 | 1.000 |
| 均分四份 | \((250,250,250,250)\) | 0.055425 | 1.562 |
| 工程直觉（量化项各喂 8 比特，其余全给地图） | \((8,8,8,\ 976)\) | 0.035500 | 1.0007 |
| 全给地图 | \((0,0,0,\ 1000)\) | 0.864816 | 24.38 |
校验
- (a) 幂律拟合复算：\(A_0\times0.001^{-0.3274}=0.8855\times10^{0.9822}=8.499\) ✓；\(A_0\times0.01^{-0.3274}=4.000\) ✓。
- (b) 边际相等：最优解处三个量化项的边际损失均为 \(2\ln2\times8.55\times10^{-6}=1.185\times10^{-5}\)，采样项的边际 \(-\mathrm{d}D_4/\mathrm{d}S\) 在 \(S=979.1\) 处数值为 \(1.185\times10^{-5}\) ✓。
- (c) 预算守恒：\(6.222+6.518+8.171+979.1=1000.0\) ✓。
- (d) 与工程经验对照：最优间距 \(9.04\) m 与 CKM 文献里常用的"10 m 栅格"几乎重合。这不是循环论证，因为 \(9.04\) m 是由 Xu–Zeng 的 AMSE 曲线、本章的三环灵敏度与 \(B=1000\) 比特独立解出来的 ✓。
- (e) 尺度不变性检查：把 \(B\) 扫到 \(200/500/2000/5000/10^4\) 比特，"均分 / 最优"之比稳定在 \(1.53\)–\(1.57\)，而最优间距按 \(B^{-1/2}\) 缩小（\(20.9/12.9/6.4/4.0/2.8\) m）✓。
- (f) 极限：\(B\to\infty\) 时量化项的损失按 \(2^{-2b}\) 归零，采样项按 \(B^{-0.327}\) 归零。采样项最终必然独占几乎全部预算，这与表中 \(99.93\%\) 一致 ✓。
这个算例的三条结论
- 精度该花在哪一环，有一个明确答案，而且不是均分。在 CKM 建库这个场景里，采样密度是唯一的矛盾主要方面。材质、几何、量化三项各喂 6–8 比特之后就不再是瓶颈。
- 反注水的闭式在这里不适用（\(\gamma\) 不等），但等边际条件仍然成立。命题 6.5(d) 与 (b) 的 KKT 判据是可用的一般工具，闭式只是特例。
- 工程直觉几乎是最优的（1.0007），均分是糟糕的（1.562），全给地图是灾难性的（24.38）。这三个数就是下一节"链上 PoL"的第一组测量值。
到此为止我们得到了什么
一条闭式的分配法则与它的物理解读：\(b_i^\star=B/n+\frac12\log_2(G_i/\mathrm{GM})\)，其中 \(G_i=\) 链式灵敏度 × 该环原始误差。这是 1963 年的结果，本站只贡献 \(G_i\) 的读法。
"不做联合预算的代价"等于 \(G_i\) 的算术–几何平均比，与总预算无关：抽象例子 3.70，锚定三环链 2.06。
混进一个采样型环节后，闭式失效但等边际条件仍在，CKM 场景的最优采样间距解出来是 9.04 m。
6.8 链上的 PoL、三个场景与方法盘点#
6.8.1 猜想 6.6：链上的 PoL#
第三部第 7 章定义了分层的代价（Price of Layering）：
它是"按层分别优化"相对"联合优化"的损失比【第三部原创】。本章的预算问题是同一个结构在链上的化身：每一环各自把自己的误差压到最小（各环最小化 NMSE，或者干脆均分预算），对比端到端联合分配。
猜想 6.6（链上的 PoL）【开放·本站提法，弱化为工程记账建议】
对一条 \(n\) 环链，定义
猜想：
(a) 若所有环节都是量化型（\(\gamma_i\equiv1\)），\(\mathrm{PoL}_{\text{chain}}\) 与 \(B\) 无关，且当"逐环各自最优"取为均分时，它恰等于 \(G_i\) 的算术–几何平均比。
(b) 混合型（部分环节 \(\gamma_i<1\)）时 \(\mathrm{PoL}_{\text{chain}}\) 仍有限，且由 \(\{(\gamma_i,G_i)\}\) 的离散度界定。上确界在 \(B\to\infty\) 处取到，等于"最低 \(\gamma\) 的那一项独占预算"的比值。
(c) 链上的 PoL 与第 2 章的亏格账本有一个夹逼关系：\(\mathcal{L}^\star(B)\le\|L_T\|\sum_k\delta(\mathcal{E}_k,\mathcal{E}_{k-1})\)（定理 2.4）。亏格账本本身对应"每环各自最坏"的分配，故 \(\mathrm{PoL}_{\text{chain}}\) 不超过"亏格界 / 联合最优"之比。
已知的边界
- (a) 的前半段与"恰等于 AM/GM"由命题 6.5(c) 已证（不是猜想）。算例 6.5 给 \(3.700\)，算例 6.6 给 \(2.057\)。
- (b) 的有限性在算例 6.7 上数值成立（\(1.53\)–\(1.57\)，\(B\) 扫五个数量级），但没有证明。"上确界在 \(B\to\infty\)"这一断言也未证。
未知的边界
- （甲）"逐环各自最优"在真实系统里不是均分，而是"每个团队各自最小化自己的 KPI"。把它形式化成一个明确的分配规则，本站尚未做到。
- （乙）(c) 的夹逼需要把亏格 \(\delta(\mathcal{E}_k,\mathcal{E}_{k-1})\) 在本章的三环链上真的算出来。这是第 2 章猜想 2.6 的一个实例，目前只有五个节点确定。
- （丙）非一阶区（\(\sigma\) 大到二阶近似失效，算例 6.2 校验 (c) 显示 \(\sigma>6\) dB 时误差 \(>32\%\)）没有任何结果。
本站的立场
鉴于（甲）（乙）（丙）三项，本站不把它写成定理，只把它作为一条工程记账建议：在任何链式系统里，先按定义 6.2 把每一环的 \((g_i,c_i,\gamma_i)\) 填出来，算一次 AM/GM。这个数就是"不做联合预算"的价签，而且它可以在一张纸上算完。
6.8.2 外层预算从哪来：接上第 5 章的 \(\alpha^\star\)#
本章一直假设总预算 \(B\) 是给定的。它其实是第 5 章的输出：命题 5.1 的认知平衡点给出长期投给"认识环境"的资源份额 \(\alpha^\star\)，稳态知识量 \(q^\star=\kappa\alpha^\star T_{\mathrm{env}}\)。两章合起来是一个两级预算：
- 外层（第 5 章）：\(\alpha^\star\) 决定总共该花多少，也就是"该不该建库、多久更新一次"。
- 内层（第 6 章）：反注水决定怎么分，也就是"这笔钱里多少给材质、多少给采样、多少给量化"。
算例 6.8（两级预算的一次贯通：会议室）
取第 5 章 §5.4 的会议室数字：\(q_{\mathrm{sat}}=R_{\mathrm{ceil}}=1.3\times10^{6}\) 比特（第 3 章猜想 3.4(a) 与算例 3.4）、知识获取率 \(\kappa=10^{4}\) bit/s、环境相干时间 \(T_{\mathrm{env}}=3600\) s，故 \(\Lambda=\kappa T_{\mathrm{env}}/q_{\mathrm{sat}}=3.6\times10^{7}/1.3\times10^{6}=\mathbf{27.7}\)。
**外层。**用推论 5.2 的饱和型汇率（\(C_0=1\)、\(\Delta C_{\max}=0.5\)，阈值 \(\Lambda_c=2\)）。
第一步：闭式近似。\(\alpha_0=\ln(\Lambda/3)/\Lambda=\ln(9.233)/27.7=2.2228/27.7=0.0803\)。
**第二步：不动点迭代。**两轮：\(\Lambda(1-\alpha)+1=26.48\)，\(0.5\times26.48/1.5=8.825\)，\(\ln=2.178\)，\(\alpha=0.0786\)。再一轮 \(\alpha=0.0787\)。
得 \(\alpha^\star=\mathbf{0.0787}\)，即 7.9% 的资源投给感知。
稳态知识 \(q^\star=\Lambda\alpha^\star q_{\mathrm{sat}}=2.18\,q_{\mathrm{sat}}\)。超出天花板的部分是冗余（第 5 章算例 5.4 已提醒过这一点），有效可用的仍是 \(R_{\mathrm{ceil}}=1.3\times10^{6}\) 比特。
**内层。**会议室 \(8\ \mathrm{m}\times5\ \mathrm{m}=40\ \mathrm{m}^2\)，按 \(\lambda/2=4.286\) cm 栅格有 \(40/(0.04286)^2=2.18\times10^{4}\) 个位置。每位置分到
而算例 6.6 显示，锚定三环链在 \(B=6\) 比特时 \(\sigma_{\mathrm{tot}}\) 已降到 \(1.63\) dB。
结论：在会议室这种小尺度、慢变环境里，预算不是瓶颈。富余约 54 比特/位置，可用于存更多任务层，见第 3 章的任务格。
瓶颈出现在算例 6.7 那种 \(\mathrm{km}^2\) 尺度：那里每平方米只有 \(0.1\) 比特。
校验
- (a) \(\Lambda\) 复算：\(10^4\times3600=3.6\times10^7\)，除以 \(1.3\times10^6\) 得 \(27.69\) ✓，与第 5 章 §5.4 的 \(27.7\) 一致。
- (b) 一阶条件代回：推论 5.2 证明的是 \(A=B\)。\(A\)、\(B\) 是那条一阶条件的左右两边，这里的 \(B\) 不是本章的总预算 \(B\)。\(A=0.5\times27.7\times e^{-27.7\times0.0787}\times(1-0.0787)=13.85\times e^{-2.180}\times0.9213=13.85\times0.11304\times0.9213=1.4424\)；\(B=1+0.5(1-0.11304)=1.4435\)，差 \(0.08\%\) ✓。
- (c) 位置数复算：\(0.04286^2=1.837\times10^{-3}\ \mathrm{m}^2\)，\(40/1.837\times10^{-3}=2.178\times10^4\) ✓。
- (d) 两个尺度的对照：会议室 \(1.3\times10^6/40=3.25\times10^4\) 比特/m²，算例 6.7 是 \(1000/10^4=0.1\) 比特/m²。相差 \(3\times10^{5}\) 倍，这就是"室内 \(\lambda/2\) 栅格"与"室外米级栅格"两种建库范式的分野 ✓。
6.8.3 三个场景#
场景一：数字孪生的建模精度预算
网络数字孪生要回答"这张孪生够不够准"。本章给的答案形态是：孪生的精度需求由下游任务的链式灵敏度倒推，不由孪生自身的保真度指标定义。
以本章的锚定链为例：
- 运维任务是波束管理，可接受的谱效损失是 \(1\%\)（\(0.067\) bit/s/Hz @20 dB SNR）。
- 倒推得 \(\Psi\le0.202\) dB。
- 再由 \(\Psi\approx\sigma^2/34.74\) 得 \(\sigma_{\mathrm{tot}}\le2.65\) dB。
所以孪生的增益预测 RMSE 要好于 2.65 dB。这个数落在校准后射线追踪 3–6 dB RMSE（第一部第 5 章口径）的边缘之外，意味着当前的 RT 校准水平还不够支持 \(1\%\) 的波束管理精度要求。
⚠️ 本站在此不写死任何"数字孪生要求 X dB"的门限：本站检索文献未见共识数字【开放】。
上面这个 \(2.65\) dB 是从给定的任务容差倒推出来的，容差换一个，门限就换一个。这恰恰是本章想说的：保真度门限属于任务，不属于孪生。相关的高保真 RF 建图评估工作见 arXiv:2507.19173【预印本·未评审】。
场景二：CKM 的采样密度 vs 模型复杂度
算例 6.7 就是这个场景的完整解：\(B=1000\) 比特 / \(10^4\ \mathrm{m}^2\) 时最优间距 \(9.04\) m，采样项吃掉 \(97.9\%\) 的比特并贡献 \(99.93\%\) 的损失。
这条链上"模型复杂度"（把地图从查表换成一个神经网络）的作用，是改变 \(\gamma_{\text{采样}}\)。一个好的空间先验能让同样的样本数换来更低的 AMSE，即抬高 \(\rho\)。
Xu–Zeng [12] 报告 \(k=1\to k=3\)（用更多近邻）在 25 m 间距上改善约 20%。按本章的记账，这相当于把 \(A_0\) 降低 20%，没有改变 \(\rho\)。
"模型能不能改变 \(\rho\)"是一个可检验的问题，本站未见答案【开放】。
场景三：边缘推理的特征压缩率 vs 精度
BottleNet++ [13] 报告：AWGN 下带宽最多减少 \(64\times\)，BEC 下比特最多压缩 \(256\times\)，精度损失 \(<2\%\)；设备端计算最多减少 \(3\times\)。任务导向通信的信息瓶颈方法 [14] 给出的是同一条"率–精度"曲线的另一种参数化。
用本章的语言，这条链是"传感器 → 特征 → 压缩 → 推理 → 决策"：
- 压缩环节的 \(\gamma\) 由特征的可压缩性决定。
- 链式灵敏度 \(g\) 由分类边界到特征的距离决定。
\(64\times\) 带宽压缩只损失 \(2\%\) 精度，说明该链上 \(G_{\text{压缩}}\) 很小。按命题 6.5，它就该少分比特。
这与本章 CKM 场景的结论正好相反，那里采样项该多分。两者合起来说明，"精度该花在哪一环"没有普适答案，只有可算的答案。
6.8.4 方法盘点#
| 方法谱系 | 解决了什么 | 回答不了什么 | 落点 |
|---|---|---|---|
| 一阶误差传播 / RSS（光学 WFE、GNSS UERE、引理 6.1） | 灵敏度乘积与方差可加；工程上成熟、可审计 | 成立条件苛刻：要求光滑 + 小扰动；遇到 \(\arg\max\) 直接失效（6.2 节）；不给"该花多少钱"，只给"花了会怎样" | §6.2；断点由引理 6.3(c) 补上 |
| 逐次精化 / CEO（[1][2][3][4][5][6]） | 有真定理：分阶段细化不亏（高斯 + MSE）；多测量点的和速率–失真闭式；\(D\sim1/R\) 标度 | 对象是信源不是环境：\(X\) 是要重建的量，不是要用来做决策的环境；CEO 的向量情形、非高斯情形仍开放；多终端逐次精化的充要条件开放 | §6.6；开放问题 Q6.4 |
| 可微射线追踪的梯度（Sionna RT [16]【预印本·未评审】） | 把 \(\partial(\text{信道})/\partial(\text{材质})\) 自动算出来——梯度就是灵敏度，本章 6.3 节手算的东西它能对任意场景自动给 | 给灵敏度不给预算法则：知道每个参数多敏感，仍不知道该给谁加比特；且材质校准存在可辨识性问题（不同 \((\varepsilon',\sigma,\text{散射系数})\) 组合给近似相同的 CIR）【开放·实践共识】 | §6.3；开放问题 Q6.5 |
| 贝叶斯优化 / AutoML 调预算 | 在不知道任何结构时也能试出一个不错的分配 | 试出来不是算出来：结论不可迁移、不可审计、样本复杂度随预算项数指数增长；换个场景要重跑 | 全章的对照组 |
| 亏格账本（第 2 章定理 2.4） | 任务无关的上界：不知道下游任务也能给保证；沿链线性相加 | 通常很松（算例 2.3(d)：同一条界在 MMSE 任务上松了 8 倍），因为对一切任务取最坏；且无线链上每环的 \(\delta\) 至今没算出来（猜想 2.6） | §6.1、猜想 6.6(c) |
| 本章的三环 dB² 账 + 反注水（【本站演算】+ [7][8]） | 任务相关的数：每环灵敏度、每项 \(G_i\)、最优分配、AM/GM 的价签 | 只在一阶区成立；\(\gamma_i\) 的标定依赖经验曲线（Xu–Zeng 的两个点）；离散判决环的一般界仍是猜想 6.2 | 全章；开放问题 Q6.1–Q6.3 |
表的读法
- 前两行是"有定理但对象不对"。
- 中间两行是"对象对但没定理"。
- 第五行是"有定理但太松"。
本章做的事，是把第五行的定理换一个分辨率，从任务无关的亏格换成任务相关的灵敏度。代价是失去了"对一切任务成立"的普适性，换来的是能算出数。这个交换就是第 2 章 2.7 节那条注记说的"同一条定理的两个分辨率"。
误差预算的理论谱系
| 年份 | 工作 | 要点 |
|---|---|---|
| 1963 | Huang–Schultheiss | 相关高斯块量化的最优比特分配（反注水的祖先） |
| 1964 | Le Cam | 亏格与风险界（第 2 章定理 2.2 的出处） |
| 1978 | Harris | DFT 窗函数图表；矩形窗 scalloping loss 3.92 dB、第一旁瓣 −13.3 dB |
| 1991 | Equitz–Cover | 逐次精化的马尔可夫链充要条件 |
| 1994 | Rimoldi | 逐次精化可达率区域的完整刻画 |
| 1996 | Berger–Zhang–Viswanathan | CEO 问题提出，\(D\) 按 \(1/R\) 而非 \(2^{-2R}\) 衰减 |
| 1998 | Oohama | 二次高斯 CEO 和速率–失真的显式解 |
| 2002 | Van Trees | ULA 波束宽 / 旁瓣的标准化表述 |
| 2004 | Prabhakaran–Tse–Ramchandran | 二次高斯 CEO 的完整率区域 |
| 2023 | Sionna RT | 可微射线追踪，梯度即灵敏度 |
| 2023 | Xu–Zeng | CKM 建库的数据量需求（AMSE 对采样密度） |
| 2026 | 本站第二部第 6 章 | 三环链的显式灵敏度乘积与两级预算 |
怎么读这张表
- 上半段（1963–1978）是"预算怎么分"与"波束几何"两条独立的工具线，本章 6.4 与 6.7 节各用其一。
- 中段（1991–2004）是多终端信源编码给出的天花板，本章 6.6 节引用。
- 下段（2023–）是把灵敏度自动化（可微 RT）与把采样–精度关系测出来（CKM）的两项工程进展，本章 6.7 节用后者标定 \(\gamma\)。
本站在最后一行，把这些零件接到第 2 章定理 2.4的链上，并全部算成数。
到此为止我们得到了什么
一条工程记账建议与三个场景的落地。链上的 PoL 在纯量化型链上等于 AM/GM（已证），混合型链上数值有界（1.53–1.57）但未证。
总预算 \(B\) 由第 5 章的 \(\alpha^\star\) 给出，本章负责怎么分。会议室每位置 59.7 比特（不紧），\(\mathrm{km}^2\) 级每平方米 0.1 比特（很紧）。
三个场景的答案彼此相反：CKM 该把钱砸在采样，边缘推理该把钱从压缩上省下来。这说明"精度该花在哪一环"只有可算的答案，没有普适的答案。
开放问题#
Q6.1（离散判决环的误差传播一般界）【开放·本站提法】
- 精确陈述：猜想 6.2。给定 \(M\) 选一的判决与候选评分的几何（相邻评分差在平局面附近的斜率分布），求期望判决损失 \(\Psi(\sigma)\) 的上界，并确定小噪声区的二阶系数 \(\kappa\)。
- 已知工具：引理 6.3 的 \(M=2\)、线性穿越情形；第 3 章定义 3.1 的 \(k\)-亏格（\(k=M\)）给出一个任务无关的上界。
- 第一步可证引理：\(M\) 个候选、评分差两两独立且在平局面处斜率相同时，\(\Psi(\sigma)=(M-1)\sigma^2/a+o(\sigma^2)\)，即"台阶数线性放大二阶系数"。本站猜测这一条可由联合界与引理 6.3(c) 的证明直接推出，但未验证候选间相关时是否仍成立。
- AI 可攻子问题：在真实 DFT 码本 + 多径信道的仿真里数值扫 \(\Psi(\sigma)\) 对 \((N,M,\text{径数})\) 的依赖，检验 \((M-1)/a\) 的标度。
Q6.2（非一阶区的预算法则）【开放·本站提法】
本章一切结论都建立在"误差小到二阶近似成立"上。算例 6.2 的校验 (c) 量化了它的适用范围：\(\sigma\lesssim3\) dB 时误差 \(<9\%\)，\(\sigma=6\) dB 时 \(32\%\)，\(\sigma=10\) dB 时 \(81\%\)。
- 精确陈述：当各环误差大到二阶展开失效时，\(\mathcal{L}(b)=\sum_ig_i\sigma_i^2(b_i)\) 不再成立（不同环的误差通过非线性耦合，方差不再可加），此时最优分配是什么？是否仍满足某种等边际条件？
- 第一步可证引理：两环链、第二环是本章的 \(\Psi(\cdot)\)（已知闭式、凹）时，\(\mathcal{L}(b)=\Psi(\sigma_1^2(b_1)+\sigma_2^2(b_2))\) 对 \(b\) 的最优分配。由 \(\Psi\) 的单调性，这退化为"最小化 \(\sigma_{\mathrm{tot}}^2\)"，故在单一汇合点的链上，非一阶效应不改变分配，只改变损失的数值。多汇合点的情形未知。
Q6.3（采样型环节的比特效率 \(\gamma\) 是不是可以被模型改变）【开放·本站提法】
- 精确陈述：算例 6.7 把 \(\gamma_{\text{采样}}=0.164\) 标定为 Xu–Zeng [12] 两个数据点的局部拟合。问：\(\rho=2\gamma\) 是否是空间场统计（相关距离 \(\beta\)、阴影方差 \(\alpha\)）的函数并有闭式？一个更好的空间先验（神经网络 CKM、物理信息插值）能否抬高 \(\rho\)，还是只能降低 \(A_0\)？
- 已知工具：Xu–Zeng 的 AMSE 闭式 \(\mathrm{AMSE}=\alpha+\sigma^2-[k\alpha^2/(k\alpha+\sigma^2)]\zeta_r(\lambda_{\mathrm{d}})\) [12]；第一部第 8 章的 \(d_{\mathrm{eff}}\) 给出场的自由度。
- 第一步可证引理：对指数相关的高斯随机场，\(\zeta_r(\lambda_{\mathrm{d}})\) 的小密度渐近给出 \(\rho\) 的闭式，且 \(\rho\) 只依赖 \(\beta\sqrt{\lambda_{\mathrm{d}}}\)。
- 这条问题的重要性：\(\rho\) 是"精度该花在哪一环"这个问题的唯一非平凡输入。
Q6.4（多终端逐次精化）【开放·文献共识】
Equitz–Cover [1] 与 Rimoldi [2] 解决了单终端。CEO / 多描述设置下的逐次精化充要条件仍开放。
- 对本章的意义：CKM 分阶段建库（先粗采样、再对误差大的区域补测）是不是免费的，目前没有定理。
- 相关的还有两个未解决的问题：向量高斯 CEO 的完整率区域（一般失真矩阵约束下未解决），以及非高斯 / 非二次失真的精确区域（Berger–Tung 内界一般不紧）【开放】。
Q6.5（射线追踪材质校准的可辨识性）【开放·实践共识】
不同的 \((\varepsilon',\sigma_{\text{电导率}},\text{散射系数})\) 组合可以产生近似相同的信道冲激响应，梯度校准的解不唯一。
- 对本章的意义：算例 6.1 给的材质灵敏度 \(0.971\) dB/单位 \(\varepsilon'\) 假设 \(\varepsilon'\) 是可分辨的。若不可辨识，材质项的 \(c_i\) 就不是"测量精度"而是"等价类的直径"，命题 6.5 的分配会整体改变。
- 第一步：在两径玩具族上写出材质参数的 Fisher 信息矩阵，看它在什么频段 / 带宽下奇异。
Q6.6（把亏格真的算出来，闭合猜想 6.6(c)）【开放·本站提法】
- 精确陈述：把本章的三环链写成第 2 章意义下的实验链 \(\mathcal{E}_0\succeq\mathcal{E}_1\succeq\mathcal{E}_2\succeq\mathcal{E}_3\)（\(\mathcal{E}_0\) = 材质精确已知，\(\mathcal{E}_1\) = 材质量化到 \(b_1\) 比特，\(\mathcal{E}_2\) = 增益估计带 \(\sigma\) 噪声，\(\mathcal{E}_3\) = 波束索引）。对离散化后的有限版本，用第 2 章 2.6 节的 LP 算出三个 \(\delta(\mathcal{E}_k,\mathcal{E}_{k-1})\)，与本章的一阶预算数字对比松了多少。
- 这是猜想 2.6"无线实验族排序图"的第一个链式实例，也是本部第 2 章与第 6 章"同一条定理的两个分辨率"这句话的可验证形式。
预告
本章把第 2 章的骨架落成了数，也把第 3、4、5 章的三个量（任务地板、\(W_1\) 项、\(\alpha^\star\)）接进了同一本账。
剩下的事是把整部的账合起来看：
- 三条要立的定理各走到哪一步。
- 四条缺失的 converse 各缺在哪里。
- 哪些子问题适合交给 AI 去攻。
第 7 章是本部的纲领，按"精确陈述 / 已知工具箱 / 第一步可证引理 / AI 可攻子问题"四件套逐条交代，并把"Q3 曲线形状的可证伪判据"作为本部对第一部的反馈写回去。
参考文献#
- W. H. R. Equitz, T. M. Cover, 《Successive refinement of information》, IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 37, no. 2, pp. 269–275, Mar. 1991. https://doi.org/10.1109/18.75242
- B. Rimoldi, 《Successive refinement of information: Characterization of the achievable rates》, IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 40, no. 1, pp. 253–259, Jan. 1994. https://doi.org/10.1109/18.272484
- T. Berger, Z. Zhang, H. Viswanathan, 《The CEO problem》, IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 42, no. 3, pp. 887–902, May 1996. https://doi.org/10.1109/18.490552
- Y. Oohama, 《The rate-distortion function for the quadratic Gaussian CEO problem》, IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 44, no. 3, pp. 1057–1070, May 1998. https://doi.org/10.1109/18.669162
- V. Prabhakaran, D. Tse, K. Ramchandran, 《Rate region of the quadratic Gaussian CEO problem》, Proc. IEEE ISIT, Chicago, Jun. 2004, p. 119. https://doi.org/10.1109/ISIT.2004.1365154
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- J.-Y. Huang, P. M. Schultheiss, 《Block quantization of correlated Gaussian random variables》, IEEE Trans. Commun. Syst., vol. 11, no. 3, pp. 289–296, 1963. https://doi.org/10.1109/TCOM.1963.1088759
- T. M. Cover, J. A. Thomas, 《Elements of Information Theory》, 2nd ed., Wiley, 2006, §10.3.3（反注水）. https://doi.org/10.1002/047174882X
- F. J. Harris, 《On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform》, Proc. IEEE, vol. 66, no. 1, pp. 51–83, 1978. https://doi.org/10.1109/PROC.1978.10837
- H. L. Van Trees, 《Optimum Array Processing (Detection, Estimation, and Modulation Theory, Part IV)》, Wiley-Interscience, 2002. https://doi.org/10.1002/0471221104
- ITU-R, 《Effects of building materials and structures on radiowave propagation above about 100 MHz》, Recommendation ITU-R P.2040-3, 2023-08；现行版 P.2040-4（2025-09）题名改为《Effects of building materials and structures on radio-wave propagation in the range of 1 MHz to 450 GHz》. https://www.itu.int/rec/R-REC-P.2040/en （两版表 3 的混凝土条目相同：\(a=5.24\)、\(b=0\)、\(c=0.0462\)、\(d=0.7822\)，适用 1–100 GHz；-4 版另列 110–330 GHz 一行。单界面反射系数见式 (31a)(31b)。）
- X. Xu, Y. Zeng, 《How much data is needed for channel knowledge map construction?》, arXiv:2312.06966, 2023（后发表于 IEEE Trans. Wireless Commun.）. https://arxiv.org/abs/2312.06966 【本章用的是其 Fig. 4（\(k=1\)、参数已知）的两个数据点，\(\gamma\) 为本站局部拟合】
- J. Shao, J. Zhang, 《BottleNet++: An end-to-end approach for feature compression in device-edge co-inference systems》, Proc. IEEE ICC Workshops, 2020. https://doi.org/10.1109/ICCWorkshops49005.2020.9145068
- J. Shao, Y. Mao, J. Zhang, 《Learning task-oriented communication for edge inference: An information bottleneck approach》, IEEE J. Sel. Areas Commun., vol. 40, no. 1, pp. 197–211, 2022. https://doi.org/10.1109/JSAC.2021.3126087
- E. Torgersen, 《Comparison of Statistical Experiments》, Cambridge Univ. Press, 1991. https://doi.org/10.1017/CBO9780511666353
- J. Hoydis et al., 《Sionna RT: Differentiable ray tracing for radio propagation modeling》, arXiv:2303.11103, 2023.【预印本·未评审】 https://arxiv.org/abs/2303.11103
未单列的备查条目：Le Cam 1964 的近似充分性与风险界、Blackwell 1953 的等价比较按第 2 章参考文献 4、2编号引用；高保真 RF 建图与网络数字孪生的评估见 arXiv:2507.19173【预印本·未评审】，本章只在 §6.8 场景一作一句提示，未据其写入任何数字；混凝土反射三档、射线追踪校准 RMSE 3–6 dB、行人遮挡 21–30 dB 等数字沿用第一部第 5 章的口径（RT 校准 RMSE 3–6 dB 的依据见第一部 5.4.3 节：商用引擎室内 2.4/5 GHz 约 5 dB，NYURay 在 6.75/16.95 GHz 校准后 LOS 3.2 dB、NLOS 5.8 dB）。