5 · 多天线：分集、复用与波束#
前四章一直在"一根天线对一根天线"的世界里讨论问题：
本章把天线从"一根"变成"一排"，故事立刻分岔成三条：
- 同样的信息发很多遍，这是分集。
- 不同的信息同时发，这是复用。
- 把能量拧成一束，这是阵列增益。
这三条线是同一个矩阵 \(\mathbf{H}\) 的三种读法，不是三个互不相干的技巧。从 2×2 MIMO 到 256 阵元大规模 MIMO，再到 6G 的全息孔径，走的是同一条路上的不同里程碑。
你将学会：
- 用一张演进图（SISO → SIMO → MISO → MIMO）把分集增益、复用增益、阵列增益三者的分工与代价一次讲清。
- 从柯西–施瓦茨不等式一步不跳地推出最大比合并（MRC）的 \(N\) 倍 SNR 增益与 \(N\) 阶分集，并算出它到底省几个 dB。
- 把 \(\mathbf{y}=\mathbf{H}\mathbf{x}+\mathbf{n}\) 用 SVD 拆成 \(\min(N_t,N_r)\) 条互不干扰的标量子信道，并亲手推出"MIMO 容量 = 特征值上注水"。
- 写出并解读容量公式 \(C=\log_2\det\left(\mathbf{I}+\frac{\rho}{N_t}\mathbf{H}\mathbf{H}^H\right)\)，从中读出高 SNR 的自由度 \(\min(N_t,N_r)\) 与低 SNR 的纯阵列增益。
- 陈述分集–复用折中 \(d^{\star}(r)=(N_t-r)(N_r-r)\)，并说清它的几何直觉。
- 排出 MIMO 检测的完整谱系（ML / ZF / MMSE / 球形译码），并知道 2026 年 8 月这条谱系上发生了什么。
- 推导大规模 MIMO 的两块基石，信道硬化与有利传播，并理解导频污染为什么不会随天线数增加而消失。
5.1 从 SISO 到 MIMO：一张演进图，三种增益#
5.1.1 直觉：一个人喊话，还是一群人喊话#
想象你在嘈杂的广场上对着远处的朋友喊话。
- SISO（单发单收）：你一个人喊，他一个人听。风向不对（深衰落）就全完了。
- SIMO（单发多收）：你一个人喊，他叫来三个朋友一起听，然后对比各自听到的内容。三个人同时被同一阵风盖住的概率远小于一个人，这是接收分集。三个人的信息合起来也比一个人清楚，这是阵列增益。
- MISO（多发单收）：你叫来三个人一起喊同一句话，并且事先对好节拍，让声波在朋友那个位置同相叠加。这是发射波束赋形，要求你知道朋友在哪（CSIT，发端信道信息）。
- MIMO（多发多收）：三个人喊三句不同的话，对面三个人根据各自听到的混合声音把三句话分开。这是空间复用，也是真正把速率翻倍的那个增益。
最后这一步是质变。前三种都在提高同一条信息流的可靠性或强度，只有 MIMO 在同一段频谱、同一段时间里凭空多开了几条并行的信息管道。
flowchart TB
S["SISO<br/>1 发 1 收<br/>$$y = h\cdot x + n$$"] --> SI["SIMO<br/>1 发 $$N$$ 收<br/>接收分集 + 阵列增益"]
S --> MI["MISO<br/>$$M$$ 发 1 收<br/>发射分集 / 波束赋形"]
SI --> M["MIMO<br/>$$M$$ 发 $$N$$ 收<br/>$$\mathbf{y} = \mathbf{H}\mathbf{x} + \mathbf{n}$$"]
MI --> M
M --> G1["分集增益<br/>最高 $$N_tN_r$$ 阶<br/>降低中断概率"]
M --> G2["复用增益<br/>最高 $$\min(N_t,N_r)$$ 流<br/>提升自由度"]
M --> G3["阵列增益<br/>最高 $$N_tN_r$$ 倍<br/>提升接收 SNR"]
G1 -.折中.-> G2
M --> MU["多用户 MIMO<br/>把复用增益分给不同用户"]
MU --> MM["大规模 MIMO<br/>$$M \gg K$$，信道硬化"]5.1.2 严格定义：三种增益各是什么#
设总发射功率 \(P\)、噪声功率谱密度对应的噪声方差 \(N_0\)，记名义信噪比 \(\rho = P/N_0\)。
| 增益 | 严格定义 | 上限 | 需要什么 | 换来什么 |
|---|---|---|---|---|
| 阵列增益 \(g_a\) | 平均接收 SNR 相对 SISO 的倍数 | \(N_t N_r\)（收发都需 CSI） | 收端 CSI 给 \(N_r\)；发端 CSI 再给 \(N_t\) | 覆盖、边缘速率 |
| 分集阶数 \(d\) | 高 SNR 下误码率 \(P_e \doteq \rho^{-d}\) 中的指数 | \(N_t N_r\) | 各链路独立衰落 | 可靠性、误码率斜率 |
| 复用增益 \(r\) | 高 SNR 下速率 \(R \doteq r\log_2\rho\) 中的系数 | \(\min(N_t,N_r)\) | 信道矩阵满秩（丰富散射） | 峰值速率 |
这里的记号 \(\doteq\) 表示"指数意义上相等"，即 \(\lim_{\rho\to\infty}\frac{\log P_e}{\log \rho} = -d\)。这个记号是本章后半段（分集–复用折中）的语言基础。先记住它只关心"斜率"，不关心常数因子。
直觉：三种增益在 BER 曲线上长什么样
把误码率曲线画在"横轴 SNR(dB)、纵轴 \(\log_{10}P_e\)"的图上：
- 阵列增益把曲线整体左移 \(10\log_{10} g_a\) dB，形状不变，只是省电。
- 分集增益把曲线压陡，斜率从 \(-1\) 变成 \(-d\)（每 10 dB 下降 \(d\) 个数量级）。
- 复用增益根本不在这张图上。它在"速率 vs SNR"图上，表现为高 SNR 直线的斜率从 1 变成 \(r\)。
很多初学者的困惑源于把三张不同的图叠在一起看。记住：省电、变陡、变快，是三件事。
5.2 接收分集：最大比合并（MRC）的完整推导#
5.2.1 模型与问题#
考虑 SIMO：1 根发射天线、\(N\) 根接收天线。发送符号 \(x\)，平均能量 \(E[\lvert x \rvert^2] = E_s\)。第 \(i\) 根天线收到
写成向量形式
接收机做线性合并：用一个权向量 \(\mathbf{w}\in\mathbb{C}^N\) 把 \(N\) 路合成一路
问题：\(\mathbf{w}\) 怎么选，才能让合并后的 SNR 最大？
5.2.2 推导：四步到答案#
第一步：写出合并后的 SNR。 信号功率为 \(E_s\lvert \mathbf{w}^H\mathbf{h}\rvert^2\)。噪声项 \(\mathbf{w}^H\mathbf{n}\) 是零均值复高斯，方差为
于是
第二步：用柯西–施瓦茨不等式定上界。 对任意 \(\mathbf{w},\mathbf{h}\)，
等号当且仅当 \(\mathbf{w} = c\,\mathbf{h}\)（\(c\) 为任意非零复常数）。
第三步：代回去。 上界为
取 \(\mathbf{w}=\mathbf{h}\) 时等号成立。这就是最大比合并（Maximal Ratio Combining, MRC）。每一路按其信道增益的共轭加权：\(w_i^{*} = h_i^{*}\) 意味着先做相位对齐 \(e^{-j\angle h_i}\)，再按幅度 \(\lvert h_i\rvert\) 加权。
第四步：把结果拆开看。 令第 \(i\) 路的瞬时 SNR 为 \(\gamma_i = \frac{E_s\lvert h_i\rvert^2}{N_0}\)，则
物理意义
MRC 把各支路的信噪比直接相加。即使某一路信道很差（\(\gamma_i\) 很小），把它加进来也只会让总 SNR 变好，绝不会变坏。
"相位对齐后按幅度加权"是最优的软性表决：信道好的支路说话声音大，信道差的支路声音小，但不会被完全丢弃。
行为分析
设各 \(h_i\) 独立同分布、\(E[\lvert h_i\rvert^2]=1\)（归一化瑞利衰落），则
即平均 SNR 提高 \(N\) 倍（\(10\log_{10}N\) dB），这就是接收阵列增益。
这份增益来自"多收了 \(N\) 份能量"，与信道是否独立无关。哪怕 \(N\) 根天线信道完全相同，阵列增益照样是 \(N\)。
5.2.3 分集阶数从哪来：中断概率的幂次#
阵列增益只让曲线左移。让曲线变陡的，是 \(\lVert\mathbf{h}\rVert^2 = \sum_i \lvert h_i\rvert^2\) 的分布形状变了。
对独立瑞利衰落，\(h_i\sim\mathcal{CN}(0,1)\) 的实部、虚部是两个独立的 \(\mathcal{N}(0,1/2)\)，所以 \(\lvert h_i\rvert^2\) 服从均值为 1 的指数分布。
\(N\) 个独立指数变量之和服从形状参数为 \(N\) 的 Gamma 分布。原因是它的矩母函数 \((1-s)^{-N}\) 是单个指数变量矩母函数 \(1/(1-s)\) 的 \(N\) 次方。密度为
关键在 \(u\to 0\) 处的行为。当 \(u\) 很小时 \(e^{-u}\approx 1\)，于是
物理意义
深衰落的概率从 \(N=1\) 时的 \(\epsilon\)（线性）变成了 \(\epsilon^N\)（\(N\) 次幂）。
这在直觉上完全合理：\(N\) 条独立支路要同时掉进深坑，概率是单条概率的 \(N\) 次方。"分集"两个字说的就是这件事。
行为分析
把上式翻译成中断概率。中断（outage）指合并后 SNR 低于解调门限 \(\gamma_{\mathrm{th}}\) 的事件，信息论口径见第 4 章 4.8 节。
每支路平均 SNR 为 \(\bar{\gamma}=E_s/N_0\) 时 \(\gamma_{\mathrm{MRC}}=\bar{\gamma}\lVert\mathbf{h}\rVert^2\)，在上式中取 \(\epsilon=\gamma_{\mathrm{th}}/\bar{\gamma}\)：
高 SNR 下 \(\epsilon\to 0\)，近似越来越准。取对数得 \(\log P_{\mathrm{out}} = -N\log\bar{\gamma} + \text{const}\)，在 log-log 图上就是斜率 \(-N\) 的直线，分集阶数 \(d = N\)。
相应地，BPSK 在 MRC 下的平均误比特率有闭式高 SNR 近似（Goldsmith 第 7 章）：
其中 \(\bar{\gamma}\) 是每支路平均 SNR。指数 \(N\) 是分集阶数，前面的组合数是"编码增益"层面的常数。它随 \(N\) 增大，说明分集的边际收益在递减。
算例 5-1：分集到底省多少 dB
目标误比特率 \(P_b = 10^{-3}\)，BPSK，独立瑞利衰落，求所需的每支路平均 SNR \(\bar{\gamma}\)。
- \(N=1\)：\(\dfrac{1}{4\bar{\gamma}} = 10^{-3} \Rightarrow \bar{\gamma}=250 \Rightarrow 24.0\) dB
- \(N=2\)：\(\dfrac{3}{(4\bar{\gamma})^2}=10^{-3} \Rightarrow (4\bar{\gamma})^2 = 3000 \Rightarrow \bar{\gamma}=13.7 \Rightarrow 11.4\) dB
- \(N=4\)：\(\dfrac{35}{(4\bar{\gamma})^4}=10^{-3} \Rightarrow (4\bar{\gamma})^4 = 3.5\times10^{4} \Rightarrow \bar{\gamma}=3.42 \Rightarrow 5.3\) dB
读数一：从 1 支路到 4 支路，每支路需求从 24.0 dB 降到 5.3 dB，省了 18.7 dB。其中只有 \(10\log_{10}4 = 6.0\) dB 是阵列增益，剩下 12.7 dB 是纯粹的分集红利。这部分不来自多收能量，只来自"概率上不再全军覆没"。
读数二：\(N=4\) 时合并后的平均 SNR 为 \(4\times 3.42 = 13.7\)（11.4 dB）。同样 BPSK 在无衰落 AWGN 信道达到 \(10^{-3}\) 只需 6.8 dB。也就是说，四阶分集之后仍有 4.6 dB 的"衰落罚金"没还清。
分集能把衰落信道拉向 AWGN 信道，但收敛得并不快。这是后面"分集的边际收益递减，不如把资源投到复用上"这一判断的数量依据。
5.3 发射波束赋形：阵列增益、码本与波束管理#
5.3.1 MISO 的最优发射：最大比发射（MRT）#
现在把天线搬到发端：\(N_t\) 根发射天线、1 根接收天线。信道为行向量 \(\mathbf{h}^H\in\mathbb{C}^{1\times N_t}\)，发端用单位范数权向量 \(\mathbf{w}\)（\(\lVert\mathbf{w}\rVert=1\)）承载符号 \(s\)：
接收 SNR 为 \(\dfrac{P\lvert\mathbf{h}^H\mathbf{w}\rvert^2}{N_0}\)。同样由柯西–施瓦茨，\(\lvert\mathbf{h}^H\mathbf{w}\rvert^2\le\lVert\mathbf{h}\rVert^2\lVert\mathbf{w}\rVert^2 = \lVert\mathbf{h}\rVert^2\)，等号取在
物理意义
形式上与 MRC 一模一样，物理过程却相反。MRC 是"收到之后对齐相位再相加"，MRT 是"发出去之前预先反转相位，让它们到达接收点时同相"。
数学上的对称，掩盖了工程上的一个关键不对称：
- MRC 只需要收端 CSI，因为收端本来就要估计信道。
- MRT 需要发端 CSI。在 FDD 系统里这意味着反馈开销，在 TDD 系统里意味着依赖信道互易性。
这个不对称是 5G 大规模 MIMO 选择 TDD 的主要原因之一。
行为分析
平均 SNR 为 \(\frac{P}{N_0}E[\lVert\mathbf{h}\rVert^2] = N_t\frac{P}{N_0}\)，所以阵列增益是 \(N_t\)，分集阶数也是 \(N_t\)。两份增益都拿到了。
5.3.2 没有 CSIT 怎么办：Alamouti 空时码#
若发端不知道 \(\mathbf{h}\)，MRT 无从谈起。Alamouti（1998）给出了 \(N_t=2\) 的经典答案：在两个符号周期上发送
其中行对应天线，列对应时隙。接收端两个时隙分别收到
关键一步是把第二式取共轭，得 \(y_2^{*} = h_2^{*}s_1 - h_1^{*}s_2 + n_2^{*}\)，未知量又变回 \(s_1,s_2\)。两式合并为
逐元素验算（\(\mathbf{H}_{\mathrm{eff}}^H\) 是共轭转置）：
两个非对角元都是"同一个乘积减去它自己"，无论 \(h_1,h_2\) 取什么值都恒为零。码字里 \(-s_2^{*}\) 的负号就是为此而设。
左乘 \(\mathbf{H}_{\mathrm{eff}}^H\) 后，每个符号前的系数为 \(g=\lvert h_1\rvert^2+\lvert h_2\rvert^2\)，噪声方差为 \(N_0g\)。每根天线分得功率 \(P/2\)，故每个符号的 SNR \(=\frac{(P/2)g^2}{N_0g}=\frac{P}{2N_0}g\)。
物理意义
\(\mathbf{H}_{\mathrm{eff}}\) 的两列正交，所以接收端只需左乘 \(\mathbf{H}_{\mathrm{eff}}^H\)，两个符号就自动解耦，各自获得 SNR \(=\frac{P}{2N_0}\left(\lvert h_1\rvert^2+\lvert h_2\rvert^2\right)\)。分集阶数是 2，与 MRT 相同。
行为分析
注意那个 \(\frac{P}{2}\)：功率被平分到两根天线上，又因为不知道相位而无法相干叠加，所以阵列增益是 1，没有拿到 2。
因此 Alamouti 比 2 天线 MRT 恰好差 3 dB。这是一个干净的定量结论：发端 CSI 的价值是 3 dB（\(N_t\) 根天线则是 \(10\log_{10}N_t\) dB）。
5.3.3 波束的几何：宽度、码本与扫描#
均匀线阵（ULA）、阵元间距 \(d=\lambda/2\)、\(N\) 阵元，指向角 \(\theta_0\) 的导向矢量为
取 \(\mathbf{w}=\mathbf{a}(\theta_0)\) 即"把波束对准 \(\theta_0\)"。其半功率波束宽度（正侧射方向）近似为
行为分析
阵元数 \(N\) 一方面把增益抬高 \(10\log_{10}N\) dB，一方面把波束宽度压窄成 \(1/N\)。两者是一回事：总辐射功率守恒，照得越窄自然越亮。
代价是波束越窄，对准就越难。这就是"波束管理"成为独立工程课题的根源。
实际系统不会为每个角度实时算 \(\mathbf{a}(\theta)\)。它预先定义一组码本（codebook）。最常见的是 DFT 码本，第 \(m\) 个波束为
它恰好把整个角度空间用 \(N\) 个互相正交的波束铺满。
5G NR 的波束扫描机制就基于此。基站周期性地在不同方向发送同步信号块（SSB），在 FR2（毫米波）频段最多可配置 64 个候选 SSB，终端逐个测量并上报最强的那个。
算例 5-2：64 阵元波束的三个数字
取 \(N=64\)、\(d=\lambda/2\)、载频 28 GHz（\(\lambda \approx 10.7\) mm）：
- 阵列增益：\(10\log_{10}64 = 18.1\) dB。若单阵元增益 5 dBi，整阵约 23 dBi。
- 波束宽度：\(\Theta_{\mathrm{HPBW}} \approx 102^{\circ}/64 \approx 1.6^{\circ}\)。在 100 m 处，波束在横向只覆盖 \(100\times\tan(1.6^{\circ}) \approx 2.8\) m。一个走动的行人几步就能走出波束。
- 扫描开销：若收发两端各 64 个波束，穷举配对需 \(64\times64 = 4096\) 次测量。按 SSB 周期 20 ms、每周期扫 64 个发射波束计，穷举一轮需 \(64\times 20\ \text{ms} = 1.28\) s，完全不可接受。
第 3 条解释了为什么工程上必须用分层搜索：先用 8 个宽波束粗扫（8 次），锁定扇区后在该扇区内用 8 个窄波束细扫（8 次），共 16 次而不是 64 次，开销降到 \(1/4\)。两端都分层则从 4096 降到 256。
第 2 条则解释了为什么毫米波系统必须有波束失败恢复（BFR）机制。
5.4 MIMO 信道矩阵与 SVD：把矩阵信道拆成并行子信道#
5.4.1 模型#
\(N_t\) 根发射天线、\(N_r\) 根接收天线，窄带平坦衰落下
其中：
- \(\mathbf{y}\in\mathbb{C}^{N_r}\)，\(\mathbf{x}\in\mathbb{C}^{N_t}\) 且 \(E[\lVert\mathbf{x}\rVert^2]\le P\)。
- \(\mathbf{n}\sim\mathcal{CN}(\mathbf{0},N_0\mathbf{I}_{N_r})\)。
- \(\mathbf{H}\in\mathbb{C}^{N_r\times N_t}\) 的第 \((i,j)\) 元 \(h_{ij}\) 是"第 \(j\) 根发射天线到第 \(i\) 根接收天线"的复增益。
这个模型看上去平淡无奇，但它是本章后面一切的载体。核心问题只有一个：\(\mathbf{H}\) 把 \(N_t\) 维输入搅成了 \(N_r\) 维输出，这个"搅"能不能解开？
5.4.2 SVD：线性代数给出的答案#
任何复矩阵都有奇异值分解（Singular Value Decomposition）：
其中：
- \(\mathbf{U}\in\mathbb{C}^{N_r\times N_r}\) 与 \(\mathbf{V}\in\mathbb{C}^{N_t\times N_t}\) 是酉矩阵（\(\mathbf{U}^H\mathbf{U}=\mathbf{I}\)，\(\mathbf{V}^H\mathbf{V}=\mathbf{I}\)）。
- \(\boldsymbol{\Sigma}\in\mathbb{R}^{N_r\times N_t}\) 是"对角"矩阵，对角元为奇异值 \(\sigma_1\ge\sigma_2\ge\dots\ge\sigma_k\ge 0\)，\(k=\min(N_t,N_r)\)。
- 非零奇异值的个数就是 \(\mathbf{H}\) 的秩 \(r\)。
SVD 的每一列都有几何含义。把 \(\mathbf{H}=\mathbf{U}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{V}^H\) 右乘 \(\mathbf{V}\) 得 \(\mathbf{H}\mathbf{V}=\mathbf{U}\boldsymbol{\Sigma}\)，逐列读就是 \(\mathbf{H}\mathbf{v}_i=\sigma_i\mathbf{u}_i\)。
沿 \(\mathbf{V}\) 的第 \(i\) 列发出的信号，经过信道后恰好沿 \(\mathbf{U}\) 的第 \(i\) 列到达，只被放大 \(\sigma_i\) 倍。各 \(\mathbf{u}_i\) 互相垂直，收端用 \(\mathbf{u}_i^H\) 一投影就只剩第 \(i\) 路。
例如下文算例 5-3 的 \(\mathbf{H}=\begin{bmatrix}1 & 0.5\\ 0.5 & 1\end{bmatrix}\)，奇异向量为：
- \(\mathbf{v}_1=\mathbf{u}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}[1,1]^T\)，对应 \(\sigma_1=1.5\)。
- \(\mathbf{v}_2=\mathbf{u}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}[1,-1]^T\)，对应 \(\sigma_2=0.5\)。
发 \(\mathbf{x}=2\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\)，无噪声时两根天线收到的都是混合信号 \(\mathbf{H}\mathbf{x}\approx[2.47,\,1.77]^T\)。但 \(\mathbf{u}_1^H\mathbf{H}\mathbf{x}=3=1.5\times2\)、\(\mathbf{u}_2^H\mathbf{H}\mathbf{x}=0.5=0.5\times1\)，两路被干净地分开。发端要用 \(\mathbf{V}\)，所以这个方案要求 CSIT。
关键操作
发端不直接发 \(\mathbf{x}\)。它先对信息向量 \(\tilde{\mathbf{x}}\) 做预编码 \(\mathbf{x}=\mathbf{V}\tilde{\mathbf{x}}\)。收端对 \(\mathbf{y}\) 做匹配滤波 \(\tilde{\mathbf{y}}=\mathbf{U}^H\mathbf{y}\)。逐步代入：
这一步要成立，必须核对两件事，缺一不可。
核对一：噪声没有被放大。 \(\tilde{\mathbf{n}}=\mathbf{U}^H\mathbf{n}\) 的协方差为
循环对称复高斯经酉变换后分布不变，白噪声还是白噪声。这是 SVD 方案免费得到的好处，也是它与后面 ZF 检测（会放大噪声）的根本区别。
核对二：功率没有被偷偷加码。 \(\lVert\mathbf{x}\rVert^2 = \tilde{\mathbf{x}}^H\mathbf{V}^H\mathbf{V}\tilde{\mathbf{x}} = \lVert\tilde{\mathbf{x}}\rVert^2\)。酉预编码保功率，功率约束原样传递到 \(\tilde{\mathbf{x}}\)。
于是矩阵信道被彻底拆成 \(r\) 条互不干扰的标量信道：
flowchart TB
subgraph ROW1[" "]
direction LR
A["信息流<br/>$$\tilde{x}_1\ \dots\ \tilde{x}_r$$"] --> B["功率分配<br/>注水 $$P_i$$"] --> C["预编码 $$\mathbf{V}$$<br/>发射方向"] --> D["物理信道 $$\mathbf{H}$$<br/>$$= \mathbf{U}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{V}^H$$"]
end
subgraph ROW2[" "]
direction RL
E["合并 $$\mathbf{U}^H$$<br/>接收方向"] --> F["$$r$$ 条并行子信道<br/>$$\tilde{y}_i = \sigma_i \tilde{x}_i + \tilde{n}_i$$"] --> G["每条独立解调<br/>无跨流干扰"]
end
D --> E关键结论
SVD 的物理含义：\(\mathbf{V}\) 的列向量是发射方向（激励哪种空间模式），\(\mathbf{U}\) 的列向量是接收方向（在哪个空间模式上接收），\(\sigma_i\) 是这对方向之间的"管道粗细"。
MIMO 信道不是 \(N_tN_r\) 条纠缠在一起的路径。它是 \(r\) 条粗细不同、互不相扰的空间管道。SVD 把看不见的空间变成了可以数出来的管道。
5.4.3 功率怎么分：注水的完整推导#
各子信道的信噪比为 \(P_i\sigma_i^2/N_0\)，总速率
目标函数关于 \(P_i\) 是凹的，约束是线性的，所以这是标准凸问题（第 7 章）。构造拉格朗日函数
对 \(P_i\) 求偏导并令其为零：
整理左边：\(\frac{\sigma_i^2/N_0}{1+P_i\sigma_i^2/N_0} = \frac{1}{N_0/\sigma_i^2 + P_i}\)，代入得
上式默认了 \(P_i>0\)。给约束 \(P_i\ge 0\) 配乘子 \(\nu_i\ge 0\)，驻点条件变成 \(\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{1}{N_0/\sigma_i^2+P_i} = \lambda-\nu_i\)。配合互补松弛 \(\nu_iP_i=0\)，分两种情形：
- \(P_i>0\)：\(\nu_i=0\)，得 \(P_i=\mu-N_0/\sigma_i^2\)，这要求 \(\mu>N_0/\sigma_i^2\)。
- \(P_i=0\)：\(\nu_i=\lambda-\frac{\sigma_i^2}{N_0\ln 2}\ge 0\)，等价于 \(\mu\le N_0/\sigma_i^2\)。
两个判据恰好互补，合写成取正部的形式。速率关于每个 \(P_i\) 严格递增，功率必然用满，\(\sum_iP_i=P\) 确定水位 \(\mu\)。最终解为
其中 \((a)^+=\max(a,0)\)。
它与第 7 章 7.5 节的注水定理是同一个结果：那里速率以 nat 计、水位 \(\mu=1/\lambda\)，这里以 bit 计，多出的 \(1/\ln 2\) 并进了 \(\mu\)。
注意 \(\sigma\) 换了含义：第 7 章的 \(\sigma^2\) 是噪声功率，本章的 \(\sigma_i\) 是奇异值。
物理意义
把 \(N_0/\sigma_i^2\) 想成第 \(i\) 个池子的底面高度（信道越差、\(\sigma_i\) 越小，底越高），\(\mu\) 是统一的水面高度，\(P_i\) 是第 \(i\) 个池子里的水深。
水往低处流：好信道分到更多功率，底比水面还高的差信道分到零功率，直接关闭。这就是"MIMO 容量 = 在特征值上注水"这句口诀的完整含义。
行为分析
注水解的形态随 SNR 剧变：
- 高 SNR 时 \(\mu \gg N_0/\sigma_i^2\)，各 \(P_i\approx\mu\)，注水退化为等功率分配。
- 低 SNR 时 \(\mu\) 很低，只有最大的那个 \(\sigma_1\) 露出水面，注水退化为单流波束赋形。
下面的算例把这两端都算一遍。
算例 5-3：2×2 信道上亲手注一次水
取 \(\mathbf{H}=\begin{bmatrix}1 & 0.5\\ 0.5 & 1\end{bmatrix}\)（对称实矩阵，奇异值即特征值）：\(\sigma_1 = 1.5\)，\(\sigma_2 = 0.5\)，故 \(\sigma_1^2 = 2.25\)，\(\sigma_2^2 = 0.25\)。令 \(N_0=1\)。
高 SNR：\(P = 10\)（10 dB）
池底高度：\(1/2.25 = 0.444\) 与 \(1/0.25 = 4\)。假设两条都开：
两者均为正，假设成立：\(P_1 = 6.78\)，\(P_2 = 3.22\)。
等功率（\(P_1=P_2=5\)）给出 \(\log_2(12.25)+\log_2(2.25) = 3.61+1.17 = 4.79\)。注水只多赚 1.8%。
低 SNR：\(P = 0.5\)（−3 dB）
若两条都开需 \(2\mu = 0.5+4.444\)，即 \(\mu = 2.47 < 4\)。第二个池子的底比水面还高，故 \(P_2 = 0\)。关掉第二条后重算水位：\(\mu = 0.5+0.444 = 0.944\)，仍低于第二个池底 4，确认它该关。全部功率 \(P_1=0.5\) 给第一条：
等功率给出 \(\log_2(1.5625)+\log_2(1.0625) = 0.64+0.09 = 0.73\)。注水多赚 49%。
结论：注水在高 SNR 几乎无用，在低 SNR 却能决定性地提升速率。这解释了工程惯例：宏站高 SNR 区域直接等功率多流，覆盖边缘则退回单流波束赋形。同一个公式，两种工程形态。
OFDM 与 MIMO 为什么是天生一对
本节的模型 \(\mathbf{y}=\mathbf{H}\mathbf{x}+\mathbf{n}\) 假设窄带平坦衰落。真实的宽带信道是频率选择性的：每对收发天线之间都是一个有多个抽头的冲激响应。
这样信道成了一个矩阵值的卷积 \(\mathbf{y}[n]=\sum_{\ell}\mathbf{H}_\ell\,\mathbf{x}[n-\ell]+\mathbf{n}[n]\)，前后符号之间、不同天线之间同时串扰。
OFDM 把这团纠缠一刀切开。第 3 章 3.7 节说过，循环前缀把线性卷积变成循环卷积，DFT 再把循环卷积变成逐个子载波的乘法。这一步对每一对天线各自成立，而所有天线共用同一组子载波，所以第 \(k\) 个子载波上
正好是本节的窄带模型，每个子载波一份（\(N\) 是子载波数）。
于是 SVD、注水、检测、预编码都可以逐个子载波独立地做，计算量随子载波数线性增长。不用 OFDM 而在时域里联合均衡，就得同时对付时延和天线两个维度的纠缠。
4G 以来几乎所有多天线系统都建在 OFDM 上，这是原因之一，也是新波形想取代 OFDM 时必须跨过的一道门槛（第 10 章 10.5 节）。OFDM 成立有两个前提：
- 多径时延扩展落在循环前缀之内。
- 一个 OFDM 符号之内信道不变。
5.5 MIMO 容量与自由度：从 \(\log\det\) 到 \(\min(N_t,N_r)\log\mathrm{SNR}\)#
5.5.1 容量公式的推导#
设输入 \(\mathbf{x}\sim\mathcal{CN}(\mathbf{0},\mathbf{Q})\)，\(\mathrm{tr}(\mathbf{Q})\le P\)。取高斯输入的理由与第 4 章 4.6 节相同：协方差给定时，高斯分布的微分熵最大。由第 4 章，互信息为
第二个等号用了"给定 \(\mathbf{x}\) 后 \(\mathbf{y}\) 的随机性全部来自 \(\mathbf{n}\)"。
此时 \(\mathbf{y}\) 是独立复高斯向量的线性组合，仍是复高斯，协方差为 \(\mathbf{H}\mathbf{Q}\mathbf{H}^H+N_0\mathbf{I}\)。交叉项因 \(\mathbf{x}\)、\(\mathbf{n}\) 独立且零均值而为零。
复高斯的微分熵 \(h = \log_2\det(\pi e\,\mathbf{K})\) 这样来：
- 标量情形：\(\mathcal{CN}(0,s^2)\) 的实部、虚部是两个独立的 \(\mathcal{N}(0,s^2/2)\)，两份实高斯熵相加得 \(2\times\frac{1}{2}\log_2(2\pi e\,s^2/2)=\log_2(\pi e\,s^2)\)。
- 向量情形：先用酉变换把 \(\mathbf{K}\) 对角化（不改变熵），各分量相加得 \(\sum_i\log_2(\pi e\,\kappa_i)=\log_2\det(\pi e\,\mathbf{K})\)，\(\kappa_i\) 为 \(\mathbf{K}\) 的特征值。
于是
上式对任何 \(\mathbf{Q}\) 都成立，怎么选 \(\mathbf{Q}\) 取决于发端知道多少：
- 有 CSIT：发端知道 \(\mathbf{H}\) 时，取 \(\mathbf{Q}=\mathbf{V}\,\mathrm{diag}(P_i)\,\mathbf{V}^H\)（沿 \(\mathbf{v}_i\) 发、功率 \(P_i\)），则 \(\mathbf{H}\mathbf{Q}\mathbf{H}^H=\mathbf{U}\,\mathrm{diag}(P_i\sigma_i^2)\,\mathbf{U}^H\)。酉矩阵不改变行列式，上式化为 \(\sum_{i=1}^{r}\log_2(1+P_i\sigma_i^2/N_0)\)，正是 5.4 节的 \(R\)。可以证明这样对齐已是最优，所以有 CSIT 时的容量就是 5.4 节的注水解。
- 无 CSIT：发端不知道 \(\mathbf{H}\)，它无从对准任何特征方向。最自然的选择是各天线等功率、互不相关地发，即 \(\mathbf{Q}=\frac{P}{N_t}\mathbf{I}\)。Telatar（1999）证明，对 i.i.d. 瑞利信道，这个输入使遍历容量 \(E_{\mathbf{H}}[I]\) 最大。
按无 CSIT 的输入代入，并记 \(\rho = P/N_0\)。下式对每个 \(\mathbf{H}\) 求值，再对 \(\mathbf{H}\) 平均就是遍历容量：
等价的特征值形式
由 SVD，\(\mathbf{H}\mathbf{H}^H=\mathbf{U}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{\Sigma}^T\mathbf{U}^H\)，其非零特征值为 \(\lambda_i = \sigma_i^2\)（\(i=1,\dots,r\)），其余为零。这里 \(\lambda_i\) 是特征值，与 5.3 节的波长、5.4 节的乘子 \(\lambda\) 无关。
利用 \(\det(\mathbf{I}+\mathbf{A}) = \prod(1+\lambda_i(\mathbf{A}))\)，零特征值只贡献因子 1：
物理意义
容量是 \(r\) 条子信道容量之和，与 5.4 节的 SVD 图像完全吻合。\(\log\det\) 只是把"并行子信道求和"写成了矩阵语言。
\(\det\) 度量的是 \(\mathbf{H}\) 张开的"体积"。体积大意味着各方向都通畅，体积塌缩意味着信道退化成低秩。
5.5.2 两个极限：自由度与阵列增益#
高 SNR（\(\rho\to\infty\)）：
物理意义
斜率是 \(r\)。秩不超过行数与列数，故 \(r\le\min(N_t,N_r)\)。
反过来，任取一个 \(k\times k\) 子矩阵（\(k=\min(N_t,N_r)\)），其行列式是各元素的一个不恒为零的多项式。元素服从连续分布时，它恰好等于 0 的概率为 0。所以丰富散射下 \(\mathbf{H}\) 以概率 1 满秩，\(r = \min(N_t,N_r)\)，于是
这就是空间自由度（DoF），正式定义为 \(\lim_{\rho\to\infty}C(\rho)/\log_2\rho\)。\(O(1)\) 指不随 \(\rho\) 增长的常数项。
SNR 每翻一倍（3 dB），容量增加 \(\min(N_t,N_r)\) 比特，不是 1 比特。第二项 \(\sum\log_2(\sigma_i^2/N_t)\) 是编码增益，它把曲线上下平移，但不改斜率。
行为分析
DoF 由 \(\min\) 决定，不由 \(\max\) 决定，也不是 \(N_tN_r\)。直觉上，\(N_t\) 是"能发出多少个独立方向"，\(N_r\) 是"能分辨多少个独立方向"。管道数由两头的瓶颈决定，就像水管两端接口，细的那端说了算。
\(N_tN_r\) 那个大数字属于分集（独立路径的条数），不属于复用。这是初学者最常混淆的一处。
低 SNR（\(\rho\to 0\)）：利用 \(\log_2\det(\mathbf{I}+\mathbf{A})\approx\frac{1}{\ln 2}\mathrm{tr}(\mathbf{A})\)（因 \(\log(1+x)\approx x\)）：
代入 \(E\left[\lVert\mathbf{H}\rVert_F^2\right] = N_tN_r\)：
物理意义
低 SNR 下容量只随 \(N_r\) 线性增长，与 \(N_t\) 无关。这里没有复用增益，只有接收阵列增益。
功率受限时，多流是奢侈品。把功率摊到多条流上，每条流都在 \(\log(1+x)\approx x\) 的线性区，分不分流总和一样。反倒不如集中功率，保证一条流的可靠性。
算例 5-4：同样的能量，三种信道结构，三种命运
取 \(N_t=N_r=4\)、\(\rho = 20\) dB（即 100），并固定总信道能量 \(\lVert\mathbf{H}\rVert_F^2 = \mathrm{tr}(\mathbf{H}\mathbf{H}^H) = N_tN_r = 16\)。\(\frac{\rho}{N_t} = 25\)。
(A) 理想丰富散射（\(\mathbf{H}\mathbf{H}^H = 4\mathbf{I}\)，四个特征值各为 4）：
(B) 纯视距 / 秩 1（\(\mathbf{H}=\mathbf{a}_r\mathbf{a}_t^H\)，唯一特征值 \(\lambda_1 = 16\)）：
(C) SISO 基准：\(C = \log_2(1+100) = 6.66\) bit/s/Hz。
读数一：A 与 B 的信道总能量完全相同，容量却差 3.1 倍。MIMO 的复用增益买到的是结构，不是能量。散射体越丰富，特征值越均匀，容量越高。多径从敌人变成了朋友，这是 MIMO 最反直觉也最深刻的地方。
读数二：B 相对 C 只多了 \(8.65-6.66 = 2.0\) bit/s/Hz，全部来自阵列增益，一点复用增益也没有。
这份阵列增益只有 6 dB（\(4\times\)），没有达到 \(N_tN_r\) 对应的 12 dB（\(16\times\)）。原因是唯一特征值 16 要乘上 \(\frac{\rho}{N_t}=25\)，有效 SNR 为 \(400=4\rho\)。发端不知道 \(\mathbf{H}\)，功率均摊到 4 根天线上无法对准，只兑现了接收端的 \(N_r=4\) 倍。
若发端知道 \(\mathbf{H}\) 并做 MRT，才能拿满 16 倍：\(\log_2(1+1600)=10.6\) bit/s/Hz。天线多 \(\neq\) 容量高，还得看秩。
读数三：把 \(\rho\) 从 100 提到 200（+3 dB），A 变成 \(4\log_2(1+50\times4) = 30.6\)，正好多 4 bit。这是自由度 \(\min(4,4)=4\) 的直接读数。
级联信道的秩：中间那段卡住了，两头加天线也没用
不少新架构的信道是两段串起来的：基站经智能超表面到用户（第 9 章 9.3 节），基站经中继到用户，地面站经卫星到地面。
设第一段 \(\mathbf{H}_1\in\mathbb{C}^{M\times N_t}\)，中间的处理（超表面的相移、中继的放大）是 \(\boldsymbol{\Theta}\in\mathbb{C}^{M\times M}\)，第二段 \(\mathbf{H}_2\in\mathbb{C}^{N_r\times M}\)，等效信道 \(\mathbf{H}=\mathbf{H}_2\boldsymbol{\Theta}\mathbf{H}_1\)。矩阵乘积的秩不超过任何一个因子的秩：
理由是列空间越乘越小。对任意 \(\mathbf{x}\)，\(\mathbf{H}_2(\boldsymbol{\Theta}\mathbf{H}_1\mathbf{x})\) 都落在 \(\mathbf{H}_2\) 的列空间里，所以秩不超过 \(\operatorname{rank}\mathbf{H}_2\)。对转置 \(\mathbf{H}^T=\mathbf{H}_1^T\boldsymbol{\Theta}^T\mathbf{H}_2^T\) 用同样的理由，秩不超过 \(\operatorname{rank}\mathbf{H}_1\)，中间一项同理。
按上面的高 SNR 展开，自由度就是秩，所以这条不等式直接决定能并行几路。
只要任何一段是视距主导、秩为 1（比如基站到超表面之间只有一条视距径，\(\mathbf{H}_1=\mathbf{a}\mathbf{b}^H\)），整条链路就只剩一个自由度。两头再加天线、超表面再加单元，买到的都只是阵列增益，就像算例 5-4 的情形 B。
单天线用户经超表面接收时更直接，\(\mathbf{h}_r^H\boldsymbol{\Theta}\mathbf{H}_t\) 是一个行向量，秩至多为 1。
这也给"只动一端"的方案划了边界，比如可移动天线：动一端改变不了另一段卡住的秩（第 10 章 10.1 节）。
5.6 分集–复用折中：Zheng–Tse 曲线#
5.6.1 问题：同一副天线，两种花法#
到这里出现了一个真正的两难。\(N_t\times N_r\) 的天线阵列有三种用法：
- 全部拿去做分集，最高 \(N_tN_r\) 阶。
- 全部拿去做复用，最高 \(\min(N_t,N_r)\) 流。
- 折中。
能不能同时拿到两个最大值？ 答案是不能，而且"不能"的程度可以精确刻画。
5.6.2 严格陈述#
Zheng 与 Tse（2003）在高 SNR 渐近意义下给出定义：若一族方案的速率与误码率满足
则称其复用增益为 \(r\)、分集增益为 \(d\)。"一族方案"指速率随 SNR 按 \(r\log_2\rho\) 提升的一串编码调制方案（固定速率即 \(r=0\)）。
注意两处记号：此处 \(r\) 是可取非整数的复用增益，不是 5.4–5.5 节 \(\mathbf{H}\) 的秩；\(d\) 也不是 5.3 节的阵元间距。
定理的条件是 i.i.d. 瑞利衰落，码块长度 \(l\ge N_t+N_r-1\)，信道为准静态。准静态指码块内 \(\mathbf{H}\) 不变，即第 4 章 4.8 节中断容量的场景。此时最优折中为
整数点之间用直线段连接。
物理意义（几何直觉）
高 SNR 下的错误几乎全部来自中断：信道矩阵"塌"到支撑不了 \(r\) 条流。要支撑 \(r\) 条流，需要 \(\mathbf{H}\) 有 \(r\) 个足够大的奇异值。
中断事件相当于要求剩下的那个 \((N_t-r)\times(N_r-r)\) 的"自由部分"整体变小。一个 \(m\times n\) 的复高斯矩阵所有元素同时变小的概率按 \(\rho^{-mn}\) 衰减。
5.2 节算过，单个 \(\mathcal{CN}(0,1)\) 元素满足 \(\lvert h\rvert^2<\epsilon\) 的概率约为 \(\epsilon\)，\(mn\) 个独立元素同时满足的概率约为 \(\epsilon^{mn}\)，而"小到撑不住"的门限 \(\epsilon\) 大致随 SNR 按 \(\rho^{-1}\) 缩小。
维度数了几个自由参数，指数就是几。\((N_t-r)(N_r-r)\) 就是这个计数。每多要一条流，就要从分集的"库存"里划走一整行加一整列。
行为分析
两个端点分别退化为熟悉的结论：
- \(r=0\) 时 \(d^{\star}=N_tN_r\)，是纯分集的最大阶数。
- \(d=0\) 时 \(r=\min(N_t,N_r)\)，是 5.5 节的自由度。
曲线在中间是凸的。读法是看每一段的降幅：\(r\) 从整数 \(k\) 增到 \(k+1\)，\(d^{\star}\) 从 \((N_t-k)(N_r-k)\) 降到 \((N_t-k-1)(N_r-k-1)\)，降了 \(N_t+N_r-2k-1\) 阶。
\(4\times4\) 时四段降幅依次是 7、5、3、1。在 \(r=0\) 附近，复用增益与分集的兑换比最悬殊，让出一点点复用增益就能换回最多的分集。越往满复用一端走，同样让出一个单位复用增益换回的分集越少，用复用换分集越来越贵。
flowchart LR
A["天线资源<br/>$$N_t \times N_r$$"] --> B["全部做分集<br/>$$r=0,\ d=N_tN_r$$<br/>最可靠、最慢"]
A --> C["折中<br/>$$d^{\star}(r)=(N_t-r)(N_r-r)$$<br/>实际系统的工作点"]
A --> D["全部做复用<br/>$$r=\min(N_t,N_r),\ d=0$$<br/>最快、最脆弱"]
C --> E["工程实现：<br/>链路自适应 / 秩自适应<br/>按 CQI 在曲线上滑动"]算例 5-5：2×2 的折中曲线与两个具体方案
\(N_t=N_r=2\)，则 \(d^{\star}(r) = (2-r)^2\)，整数点为 \((r,d) = (0,4),\,(1,1),\,(2,0)\)，之间连直线。
- 纯分集工作点 \(r=0,d=4\)：速率不随 SNR 增长（固定低阶调制），但误码率按 \(\rho^{-4}\) 掉。在 30 dB 时若 \(\rho^{-4}\) 给出 \(10^{-6}\)，则 33 dB 时给出约 \(10^{-7.2}\)。
- 纯复用工作点 \(r=2,d=0\)：速率按 \(2\log_2\rho\) 增长，30 dB 时约 20 bit/s/Hz，但误码率不再随 SNR 改善，必须靠外层信道编码兜底。
- Alamouti 落在哪？ 2×2 Alamouti 每信道使用传 1 个符号，其折中曲线为 \(d_{\mathrm{Alamouti}}(r) = 4(1-r),\ 0\le r\le 1\)。它在 \(r=0\) 处触到最优曲线（\(d=4\)），但在 \(r=1\) 处只给出 \(d=0\)，而最优值是 \(d=1\)。
所以 Alamouti 是最优的分集方案，却不是最优的折中方案。它把速率锁死在"每信道使用 1 符号"上，天生放弃了一半复用能力。要在整条曲线上都最优，需要专门设计的空时码（如 2×2 的 Golden 码）。
工程读法：现代系统不会固定在某个点上。它通过秩自适应（RI）与调制编码自适应（MCS）在这条曲线上实时滑动。信道好就往右滑（多流高速率），信道差就往左滑（单流高可靠）。Zheng–Tse 曲线是这套自适应机制的理论边界。
怎么读这张图：第一条是最优折中 \(d^{\star}(r)\)，过 \((0,4)\)、\((1,1)\)、\((2,0)\) 三个整数点，中间连直线；第二条是 Alamouti 的 \(4(1-r)\)：在 \(r=0\) 处与最优曲线重合，\(r=1\) 处掉到 0（最优是 1）；\(r>1\) 时它撑不起那么高的速率，分集为 0。两条线之间的缺口，就是"最优的分集方案"在复用上吃的亏。按算例 5-5 的两个公式画。
5.7 MIMO 检测谱系：从 ML 到球形译码，以及 2026 年的新消息#
5.4 节的 SVD 方案需要发端知道 \(\mathbf{H}\)。若发端不知道（无 CSIT），就只能各天线独立发不同的流（空间复用 / V-BLAST），把解耦的重担全压给接收机。
这就是 MIMO 检测问题：已知 \(\mathbf{y}\) 与 \(\mathbf{H}\)，从星座集 \(\mathcal{A}\) 中恢复 \(\mathbf{x}\)。
5.7.1 最优解：最大似然（ML）#
高斯噪声下最大似然等价于最小距离：
行为分析
这是在一个 \(N_t\) 维格点集上找最近点，候选数为 \(\lvert\mathcal{A}\rvert^{N_t}\)。ML 能拿满分集阶数 \(N_r\)（每条流），但复杂度随 \(N_t\) 指数增长。
一般整数最小二乘问题已被证明是 NP 难（NP-hard）的。粗略地说，除非 P = NP（普遍相信不成立），不存在对所有输入都能在多项式时间内求出最优解的算法。第 7 章 7.7 节有同一概念的另一个例子。
所以"更聪明的通用算法"这条路在最坏情形下是堵死的。
5.7.2 线性检测：ZF 与 MMSE#
迫零（ZF）：直接用伪逆强行拆开
干扰被彻底消除，但噪声被放大。残余噪声协方差为 \(N_0\left(\mathbf{H}^H\mathbf{H}\right)^{-1}\)，第 \(i\) 条流的后处理 SNR 为
行为分析
\(\mathbf{H}\) 病态（条件数大）时 \(\left(\mathbf{H}^H\mathbf{H}\right)^{-1}\) 的对角元爆炸，SNR 崩塌。可以证明 ZF 每条流的分集阶数只有 \(N_r-N_t+1\)。\(4\times 4\) 系统只剩 1 阶，而 ML 有 4 阶。
原因是 \(1/\left[\left(\mathbf{H}^H\mathbf{H}\right)^{-1}\right]_{ii}\) 恰好等于 \(\mathbf{h}_i\) 在其余 \(N_t-1\) 列所张子空间的正交补上投影的长度平方。ZF 只能用 \(\mathbf{h}_i\) 中与其他流都垂直的那部分能量。
这个正交补只有 \(N_r-N_t+1\) 维，i.i.d. 瑞利下相当于 \(N_r-N_t+1\) 条支路的 MRC，分集阶数随之确定。5.8 节 ZF 预编码的 \(M-K+1\) 同理。
这是线性检测的代价，而且很贵。
MMSE：不追求彻底消干扰，只最小化 \(E\left[\lVert\mathbf{W}^H\mathbf{y}-\mathbf{x}\rVert^2\right]\)。
线性估计最优，当且仅当误差与每个观测都不相关，否则还能用观测把误差再修正一次（见第 4 章 4.10 节）。这就是正交性原理，于是误差与观测正交：
代入 \(E[\mathbf{x}\mathbf{x}^H] = \frac{P}{N_t}\mathbf{I}\)，得 \(E[\mathbf{y}\mathbf{y}^H] = \frac{P}{N_t}\mathbf{H}\mathbf{H}^H + N_0\mathbf{I}\) 与 \(E[\mathbf{x}\mathbf{y}^H] = \frac{P}{N_t}\mathbf{H}^H\)，于是
两个等号分别这样得到。
第一个等号：由上式，\(\mathbf{W}^H=E[\mathbf{x}\mathbf{y}^H]\left(E[\mathbf{y}\mathbf{y}^H]\right)^{-1}=\frac{P}{N_t}\mathbf{H}^H\left(\frac{P}{N_t}\mathbf{H}\mathbf{H}^H+N_0\mathbf{I}\right)^{-1}\)。把括号里的 \(\frac{P}{N_t}\) 提出来，与前面的 \(\frac{P}{N_t}\) 约掉，剩下 \(\frac{N_tN_0}{P}=\frac{N_t}{\rho}\)。
第二个等号：用矩阵求逆引理可以得到，但其实只需要更简单的推移恒等式（push-through identity）。记 \(c=N_t/\rho\)，\(\mathbf{H}^H(\mathbf{H}\mathbf{H}^H+c\mathbf{I}) = (\mathbf{H}^H\mathbf{H}+c\mathbf{I})\mathbf{H}^H\)（两边展开都是 \(\mathbf{H}^H\mathbf{H}\mathbf{H}^H+c\mathbf{H}^H\)），左乘 \((\mathbf{H}^H\mathbf{H}+c\mathbf{I})^{-1}\)、右乘 \((\mathbf{H}\mathbf{H}^H+c\mathbf{I})^{-1}\) 即得。
物理意义
与 ZF 相比只多了一项 \(\frac{N_t}{\rho}\mathbf{I}\)。这是一个随噪声强度增大的"对角加载"，它把矩阵拉离奇异，防止噪声放大。
- \(\rho\to\infty\) 时 MMSE \(\to\) ZF：噪声可忽略，可以放心迫零。
- \(\rho\to 0\) 时 MMSE \(\to\) 匹配滤波 \(\mathbf{H}^H\)：噪声主导，只管收集能量。
MMSE 是 ZF 与匹配滤波之间的连续插值。"一个正则项连通两个极端"的结构在通信与机器学习里反复出现（见第 7 章）。
5.7.3 球形译码：把指数搜索剪成可行#
球形译码（Sphere Decoding）不遍历全部格点，只搜索以 \(\mathbf{y}\) 为心、半径 \(R\) 的球内的格点。对 \(\mathbf{H}=\mathbf{Q}\mathbf{R}\) 做 QR 分解后，\(\lVert\mathbf{y}-\mathbf{H}\mathbf{x}\rVert^2\) 变成上三角形式，可逐维递推地剪枝。
它给出精确的 ML 解，在中等维度、高 SNR 下平均复杂度可接受，工程上是 4×4 LTE 接收机的常见选择。但在维度增大、SNR 逼近门限时，其复杂度回归超多项式。
| 检测器 | 复杂度量级 | 每流分集阶数 | 特点 |
|---|---|---|---|
| ML（穷举） | \(\lvert\mathcal{A}\rvert^{N_t}\) | \(N_r\) | 最优，不可实现 |
| 球形译码 | 平均次优，最坏超多项式 | \(N_r\) | 精确 ML 解，维度受限 |
| MMSE | \(O(N_t^3)\) | \(N_r-N_t+1\) | 工程主力，低 SNR 稳健 |
| ZF | \(O(N_t^3)\) | \(N_r-N_t+1\) | 最简单，病态时崩塌 |
| MMSE-SIC | \(O(N_t^3)\) | 逐层递增 | 串行干扰消除，有误差传播 |
算例 5-6：ML 到底有多贵
\(N_t=8\) 流、64QAM（\(\lvert\mathcal{A}\rvert = 64\)）：
按每候选 1 次乘加、处理器 \(10^{12}\) 次运算/秒计算，每个符号需要 281 秒。
而 5G NR 在 100 MHz 带宽下每秒要处理约 \(10^{8}\) 个符号，即每个符号只能花 \(10^{-8}\) 秒。穷举 ML 需要约 \(2.8\times10^{22}\) 次运算/秒，是处理器能力的约 \(3\times10^{10}\) 倍，差了 10 个数量级以上。
对照 MMSE：\(O(N_t^3) = 512\) 次运算量级，即使算上矩阵求逆的常数因子也在微秒级。ML 与 MMSE 每个符号的运算量之比约为 \(2.8\times10^{14}/512\approx5.5\times10^{11}\)。这近 12 个数量级的鸿沟，就是过去二十年 MIMO 检测研究的全部战场。
5.7.4 2026 年 8 月：一个二十年悬案的候选解#
上表留下一个尖锐的问题：性能上，多项式时间算法能不能追上 ML？ 在方形高斯二元 MIMO 模型
中，穷举 ML 在 \(\rho > 2\log N\) 时以高概率恢复 \(\mathbf{x}^{\star}\)。而门限附近球形译码的代价约为 \(\exp\{\Theta(N/\log N)\}\)。
两者之间是否存在计算–统计鸿沟，从 2000 年代起悬置了近二十年。
2026 年 8 月出现了一个候选答案：一个两阶段算法，先做取整 LMMSE 初始化，再做最陡单比特下降（贪心翻转）。它被论证为在同一一阶门限 \(\rho>2\log N\) 之上，以 \(O(N^3)\) 运算量恢复 \(\mathbf{x}^{\star}\)。也就是说，该模型中一阶意义下不存在计算–统计鸿沟。
证明的骨架用到本章讲过的两块砖：
- LMMSE 解（即本节的 MMSE）：取整后已落在离真值 \(o(N)\) 的范围内。
- 高斯量的一致集中：保证贪心翻转在球内每一步都有确定幅度的下降，不会卡住。
读这个结果必须带着的四条边界
- 状态是候选：手稿由作者自行发布并人工核验，尚无独立同行评审、无形式化验证。
- 只是平均情形：这是高斯系综下的结果，不触碰整数最小二乘的最坏情形 NP 难。后者仍然成立，5.7 节开头那句话没有被推翻。
- 只是标度陈述：门限 \(\rho=2\log N\) 是标度陈述，"一阶意义"指不含二阶修正，不可引申为常数 SNR 下的工程结论。
- 人机分工需要披露：算法由一个模型提出，证明由另一个模型修复并简化，人类出题与核验并署名担责。
完整的陈述、边界讨论与"诚实报告 AI 证明"的四条规范，见第一部第 10 章·研究议程。
作为教材读者，你现在要带走的是：这张检测谱系表的最后一行可能正在被改写，而改写它用的工具，你在本章都会学到。LMMSE 就是本节的 MMSE，高斯量的集中则在 5.9 节的信道硬化与有利传播里有最简单的例子。
5.8 多用户 MIMO 与预编码#
5.8.1 从"一个用户多流"到"多个用户各一流"#
单用户 MIMO 有个尴尬：手机装不下 8 根天线，\(\min(N_t,N_r)\) 的瓶颈卡在终端一侧。基站有 64 根天线、手机只有 2 根，复用增益就只有 2，浪费了 62 根天线的潜力。
多用户 MIMO（MU-MIMO）的解法很直接：把 \(K\) 个各只有 1 根天线的用户拼成一个"虚拟的 \(K\) 天线接收阵列"。下行模型（广播信道）为
第 \(k\) 个用户的 SINR 为
关键差异在于各流能不能协作：
- 单用户 MIMO 的各流可以在同一个接收机里联合处理，所以 SIC、ML 都可用。
- MU-MIMO 的用户之间无法协作，用户 \(k\) 收不到用户 \(j\) 的信号，也不能与其商量。
因此干扰必须在发端就处理干净。
5.8.2 ZF 预编码#
最直接的想法：让 \(\mathbf{h}_k^H\mathbf{w}_j = 0\)（\(j\ne k\)）。堆叠 \(\mathbf{H} = [\mathbf{h}_1,\dots,\mathbf{h}_K]^H\in\mathbb{C}^{K\times M}\)（\(M=N_t\)），取
\(\boldsymbol{\Lambda}\) 为列归一化对角阵。此时 \(\mathbf{H}\mathbf{W}\) 为对角阵，干扰项全为零，SINR 退化为 SNR。存在条件是 \(M\ge K\)。
行为分析
对 i.i.d. 瑞利信道，ZF 后第 \(k\) 用户的有效阵列增益服从形状参数 \(M-K+1\) 的 Gamma 分布，平均值为
物理意义
\(M\) 根天线里，有 \(K-1\) 个自由度被"用来给别的用户挖零点"，剩下 \(M-K+1\) 个才用于给自己聚能。
这是 MU-MIMO 最重要的一条设计公式：服务的用户越多，每个用户分到的阵列增益越少，\(K\) 与 \(M-K+1\) 之间存在最优点。
5.8.3 脏纸编码：一句话与它的分量#
若发端已知将要施加于某用户的干扰，Costa 于 1983 年证明了一个惊人的结论：容量与完全没有该干扰时相同。MU-MIMO 正是这种情形，因为干扰是基站自己发出去的。
这就是"脏纸编码"（Dirty Paper Coding, DPC）。打个比方：在一张已有污渍的纸上写字，只要事先知道污渍的位置，读者能读到的信息量与写在白纸上一样多。
Weingarten、Steinberg 与 Shamai（2006）进一步证明 DPC 达到高斯 MIMO 广播信道的整个容量域。
工程读法
DPC 的实现复杂度极高（需要嵌套格码），从未商用。但它的价值在于给出上界：高 SNR 下线性 ZF 预编码与 DPC 的自由度相同（都是 \(\min(M,K)\)），只在编码增益上有常数差距。
知道"最优也就好这么多"，是决定不去追它的前提。
算例 5-7：MU-MIMO 值不值
基站 \(M=64\) 根天线，总功率满足 \(P/N_0 = 10\)（10 dB），用户各 1 根天线，\(N_0=1\)。
方案甲：单用户波束赋形（全部功率给 1 个用户，MRT 阵列增益 \(M=64\)）
方案乙：MU-MIMO 服务 \(K=8\) 个用户（ZF 预编码，功率均分，每用户有效增益 \(M-K+1 = 57\)）
和速率提升 5.3 倍，代价是单用户速率从 9.32 降到 6.18（降 34%）。
再往前推一步：若 \(K=32\)，有效增益 \(64-32+1=33\)，\(\mathrm{SNR}_k = \frac{10}{32}\times 33 = 10.3\)，\(R_k = 3.50\)，和速率 \(= 112\) bit/s/Hz，还在涨。若 \(K=60\)，有效增益 5，\(\mathrm{SNR}_k = 0.83\)，\(R_k = 0.87\)，和速率 \(= 52\)，掉回来了。
和速率关于 \(K\) 是单峰的，存在最优用户数。这是 MU-MIMO 调度器每个 TTI 都在解的问题（见第 6 章）。
5.9 大规模 MIMO：信道硬化、有利传播与导频污染#
5.9.1 两块基石#
当基站天线数 \(M\) 远大于用户数 \(K\)（如 \(M=128\)、\(K=8\)），信道矩阵的行为发生质变。两条性质是全部好处的来源。
基石一：信道硬化（channel hardening）
设 \(\mathbf{h}_k\in\mathbb{C}^M\) 各元 i.i.d.，\(E[\lvert h_{mk}\rvert^2] = 1\)。由大数定律：
收敛得多快？对 \(h_{mk}\sim\mathcal{CN}(0,1)\)，\(\lvert h_{mk}\rvert^2\) 服从均值 1、方差 1 的指数分布，故
标准差为 \(1/\sqrt{M}\)。
物理意义
衰落消失了。\(M=1\) 时信道增益是一个上下几十 dB 剧烈起伏的随机变量，\(M=100\) 时它是一个"1 ± 10%"的近确定量。
所有为对抗衰落而生的机制，包括分集、深度交织、大余量的链路预算和快速功控，必要性都随之下降。
这是大规模 MIMO 最被低估的好处：无线信道变得像有线信道一样可预测。
基石二：有利传播（favorable propagation）
两个不同用户的信道向量近似正交：
逐步推导
第一步：算内积的二阶矩。 内积 \(\mathbf{h}_1^H\mathbf{h}_2 = \sum_{m=1}^{M}h_{1m}^{*}h_{2m}\) 是 \(M\) 个零均值独立项之和，故均值为零。其二阶矩为
第二步：说明交叉项为什么消失。 记 \(a_m=h_{1m}^{*}h_{2m}\)，\(E\left[\left\lvert\sum_m a_m\right\rvert^2\right]=\sum_{m,m'}E\left[a_ma_{m'}^{*}\right]\)。\(m\ne m'\) 时四个因子相互独立且均值为零，该项为零，只剩 \(m=m'\) 的 \(M\) 项，每项 \(E[\lvert h_{1m}\rvert^2]\,E[\lvert h_{2m}\rvert^2]=1\)。
第三步：归一化。 于是归一化后
内积本身并没有变小（均方值 \(M\) 在增长），趋于零的是它相对信号 \(\lVert\mathbf{h}_k\rVert^2\approx M\) 的比值。
由切比雪夫不等式，\(\Pr\left\{\lvert\mathbf{h}_1^H\mathbf{h}_2\rvert/M>\delta\right\}\le\frac{1}{M\delta^2}\)，均方趋零就成了概率意义上的趋零。信道硬化同理，\(M=100\) 时 \(\lVert\mathbf{h}_k\rVert^2/M\) 偏离 1 超过 30% 的概率不超过 \(0.11\)（实际约 \(0.003\)）。
物理意义
把 \(\mathbf{h}_k/\sqrt{M}\) 看成单位向量，则不同用户的"方向"在高维空间里几乎必然近似垂直。高维空间中随机向量倾向于正交，这是集中不等式的普遍现象，不是无线信道的特权。
结果是，最简单的匹配滤波（MRT/MRC）就已接近最优。因为 \(\frac{\mathbf{H}\mathbf{H}^H}{M}\to\mathbf{I}_K\)，用户间干扰自动趋零，不需要求逆、不需要 ZF、不需要迭代检测。
5.7 节那近 12 个数量级的复杂度鸿沟，在 \(M\gg K\) 的区域被物理本身填平了。
算例 5-8：M 要多大才算「大」
残余互相关的均方根值为 \(1/\sqrt{M}\)，相对于自相关（归一化为 1）：
| \(M\) | 硬化波动 \(1/\sqrt{M}\) | 用户间残余干扰 | 干扰抑制 |
|---|---|---|---|
| 4 | 50% | 0.50 | −6 dB |
| 16 | 25% | 0.25 | −12 dB |
| 64 | 12.5% | 0.125 | −18 dB |
| 256 | 6.25% | 0.0625 | −24 dB |
读数：\(M=64\) 时 MRT 已能把用户间干扰压到 −18 dB，对 16QAM（未编码时需约 20 dB SINR）刚好还不够，对 QPSK 绰绰有余。\(M=256\) 时 −24 dB，16QAM 也基本够用。
这是"\(M=64\sim256\)"成为工程甜点区的数量依据。它不是拍脑袋定的，是 \(1/\sqrt{M}\) 与调制阶数需求的交点。
注意表中只算了一个干扰用户。同时服务 \(K\) 个用户时总干扰约为 \((K-1)/M\)，\(M=64\)、\(K=8\) 时约 \(-9.6\) dB，16QAM 更不够，QPSK 仍可用但余量小得多。
5.9.2 导频污染：唯一不随 \(M\) 消失的损伤#
上面两条性质说"\(M\) 越大越好"。那为什么不做 \(M=10000\)？因为有一条损伤不随 \(M\) 增大而消失。
信道估计要靠导频。相干块内可用的正交导频数受限于相干块长度
其中 \(T_c\) 是相干时间、\(B_c\) 是相干带宽（见第 2 章）。正交导频最多 \(\tau_p\le\tau_c\) 个，因此相邻小区必须复用同一组导频。
设小区 \(j\) 与小区 \(l\) 的用户 \(k\) 用了同一导频序列，则基站 \(j\) 的最小二乘估计为
其中 \(\mathbf{h}_{jk}\) 是本小区用户 \(k\) 到基站 \(j\) 的信道，\(\mathbf{h}_{lk}\) 是小区 \(l\) 的同导频用户到基站 \(j\) 的信道。
行为分析（为什么致命）
基站用 \(\hat{\mathbf{h}}_{jk}\) 做 MRT，波束就同时对准了本小区用户与邻区的同导频用户。波束漏了。
关键在于，这份干扰与有用信号一样，都随 \(M\) 相干地增长（都是 \(M\) 阶），所以 SINR 的分子分母同步放大，比值趋于一个有限常数：
其中 \(\beta\) 为大尺度衰落系数。上式是上行的极限：分子是本用户到基站 \(j\) 的链路，分母是各邻区同导频用户到基站 \(j\) 的链路，都取平方。
下行 MRT 时，分母换成各邻区基站到本用户的链路（Marzetta 2010 给出了这两种形式）。两种情形的极限都是有限常数。
加天线不再有任何帮助。这是大规模 MIMO 的渐近天花板，也是它最重要的理论限制。
算例 5-9：一个相干块能装几个用户
移动速度 100 km/h（27.8 m/s）、载频 2 GHz：多普勒频移 \(f_D = vf_c/c = 27.8\times 2\times10^{9}/3\times10^{8} = 185\) Hz。
按 Clarke 模型下功率 \(|h|^{2}\) 的相关降到 50% 的判据 \(T_c\approx\frac{9}{16\pi f_D}\) 估算相干时间。这是第 2 章 2.5 节几种口径里最严的一种。
按工程常用的 \(0.423/f_D\)，\(T_c\approx2.3\) ms，下面的 \(\tau_c\) 约 460 个符号，单个宏站群里也许排得开 24 条正交导频，但全网各站仍须复用导频，结论不变。
时延扩展 \(\sigma_\tau = 1\ \mu\)s（典型城区），按 \(B_c\approx\frac{1}{5\sigma_\tau}\) 得 \(B_c = 200\) kHz。于是
读数一：这 200 个符号要分给导频与数据。若拿 20 个做导频（10% 开销），全网最多只有 20 条正交导频。在一个 3 扇区、每扇区 8 用户的宏站群里，导频复用因子必然大于 1，导频污染无可回避。
读数二：把速度提到 300 km/h（高铁），\(T_c\) 降到约 0.33 ms，\(\tau_c\) 降到 66 个符号。同样 10% 开销只剩 6 条导频。高速场景下大规模 MIMO 的可服务用户数被相干块硬性卡死，这不是算法问题，是物理问题。
缓解手段有三类：
- 导频复用规划：把同导频小区拉远，减小 \(\beta_{jlk}\)。
- 基于协方差的空间区分：不同用户到达角不同则可分。
- 多小区联合处理：把干扰变成有用信号。
三者都不能根除导频污染。
5.9.3 数量级速查表#
| 量 | 表达式 | 典型数值 | 出处 |
|---|---|---|---|
| MRC 阵列增益 | \(10\log_{10}N\) | \(N=4\)：6.0 dB | 5.2 节 |
| 四阶分集省电（\(P_b=10^{-3}\)） | — | 18.7 dB（其中 12.7 dB 纯分集） | 算例 5-1 |
| CSIT 的价值（MRT vs Alamouti） | \(10\log_{10}N_t\) | \(N_t=2\)：3.0 dB | 5.3 节 |
| 波束宽度（ULA, \(d=\lambda/2\)） | \(102^{\circ}/N\) | \(N=64\)：1.6° | 算例 5-2 |
| 空间自由度 | \(\min(N_t,N_r)\) | \(4\times4\)：4 bit / 3 dB | 算例 5-4 |
| 分集–复用折中 | \((N_t-r)(N_r-r)\) | \(2\times2\)：\((0,4),(1,1),(2,0)\) | 算例 5-5 |
| ML 检测复杂度 | \(\lvert\mathcal{A}\rvert^{N_t}\) | 8 流 64QAM：\(2.8\times10^{14}\) | 算例 5-6 |
| ZF 预编码有效增益 | \(M-K+1\) | \(M=64,K=8\)：57（17.6 dB） | 算例 5-7 |
| 信道硬化波动 | \(1/\sqrt{M}\) | \(M=64\)：12.5% | 算例 5-8 |
| 相干块长度 | \(\tau_c = T_cB_c\) | 100 km/h 城区：200 符号 | 算例 5-9 |
常见误解#
初学者最容易踩的五个坑
误解一："天线越多，容量越高。" 容量由秩而非天线数决定。算例 5-4 中的 (B)：4×4 阵列在纯视距下秩为 1，容量只比 SISO 高 2 bit/s/Hz，全部来自阵列增益。
天线提供的是潜在自由度，散射环境才决定能兑现多少。这也是第一部第 4 章要用波数带限重新定义"自由度"的原因。
误解二："MIMO 的复用增益是 \(N_t\times N_r\)。" 复用增益是 \(\min(N_t,N_r)\)，\(N_tN_r\) 是分集阶数的上限。两个数字属于两张不同的图（速率图 vs 误码率图），混用是本章最高频的错误。
误解三："分集和复用可以同时拉满。" Zheng–Tse 曲线 \(d^{\star}(r)=(N_t-r)(N_r-r)\) 明确否定了这一点：在 \(r=\min(N_t,N_r)\) 处 \(d^{\star}=0\)。实际系统靠秩自适应在曲线上滑动，没有谁站在某个不存在的角点上。
误解四："大规模 MIMO 只是把天线数从 4 加到 64，是量变。" 它是质变。\(M\gg K\) 触发了信道硬化与有利传播两个渐近性质，算法可以变简单（MRT 就够），衰落几乎消失（波动 \(1/\sqrt{M}\)）。同时也引入了小规模系统没有的新瓶颈：导频污染不随 \(M\) 消失，成为全新的性能天花板。
误解五："ZF 和 MMSE 差不多，反正高 SNR 下一样。" 高 SNR 下两者的表达式趋同，但分集阶数都只有 \(N_r-N_t+1\)，与 ML 的 \(N_r\) 相差甚远。\(4\times4\) 系统中线性检测只有 1 阶分集，误码率曲线斜率是 ML 的四分之一。在中断受限的场景里这是数量级的差距，不是"差不多"。
通往前沿#
本章把空间自由度定义为 \(\min(N_t,N_r)\)，也就是数天线的个数。这个定义在天线离散、间距半波长时够用。
一旦孔径连续化（全息 MIMO、超大规模阵列），"数个数"就失效了。自由度到底由什么决定？答案不在天线里，而在物理定律里：信道场是亥姆霍兹方程的解，其空间波数谱被硬性限制在半径 \(2\pi/\lambda\) 的球面上，由此得到线孔径 \(2L/\lambda\)、面孔径 \(\pi A/\lambda^2\) 的自由度定理。
这条定理是第一部第 4 章·信道的空间结构定理的主线：\(\lambda/2\) 间距、相干距离、空间自由度三者其实是同一条定理的三种说法。
本章 5.7 节的检测谱系则通向另一个前沿。那张表格的最后一行，"多项式时间能否触到 ML 门限"，在 2026 年 8 月出现了候选答案。它用的工具你都已见过：
- LMMSE 谱分析：本章 5.7 节。
- 高斯集中：5.9 节的信道硬化与有利传播。
- 联合界：第 4 章 4.5 节随机编码的错误概率分析。
完整陈述、四条边界与"诚实报告 AI 证明"的规范，见第一部第 10 章·研究议程。
接下去读什么，取决于你关心的方向：
- 想继续往近场、RIS 与全息孔径走，先读第 9 章·新概念图景，建立防忽悠的坐标系。
- 关心多用户调度与干扰管理的系统形态，接第 6 章·无线网络。
- 本章反复用到的注水与凸优化工具，在第 7 章·优化基础有完整推导。
本章所在的线索：自由度与秩、信息结构。在八条线索一页里，可以顺着这几条线读到四部的相关章节。
参考文献#
- D. Tse and P. Viswanath, Fundamentals of Wireless Communication. Cambridge University Press, 2005.（第 3、5、7、9 章分别对应本章的分集、容量、MIMO、折中）
- A. Goldsmith, Wireless Communications. Cambridge University Press, 2005.（第 7 章分集合并、第 10 章 MIMO）
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- İ. E. Telatar, "Capacity of multi-antenna Gaussian channels," European Transactions on Telecommunications, vol. 10, no. 6, pp. 585–595, 1999.
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