7 · 大群体极限：平均场#

第 6 章问的是"一群人反复学习会走向哪里"，答案是一张相图：势博弈里有收敛的动力学，但你选的那个学习算法未必收敛。那一章的人数 \(N\) 是固定的、不大的：两个基站、两条路。

本章把 \(N\) 推到大。人多到什么程度，问题反而变简单？

这不是修辞。\(N\) 个决策者的博弈，策略空间是 \(N\) 个函数的笛卡尔积，均衡是一个 \(N\) 维不动点。\(N=3\) 就已经很难，\(N=100\) 无从下手。但当 \(N\) 大到每个个体只感受到"其余所有人的平均"时，\(N\) 体问题会塌成一个代表性个体对一个分布的问题。这就是平均场（mean field）。塌下来之后，\(N\) 从"维数"变成"一个出现在误差项里的参数"。

无线里到处是这个结构：

密集小区功控里，一个小区感受到的是几十上百个邻区功率的加权和。
海量随机接入里，一个终端感受到的是全网活跃度。
大规模星座调度里，一颗星感受到的是同波束覆盖内的总负载。

工程上大家早就在用"平均干扰""平均负载"这类量做设计。那就是平均场，只是没写成定理。

本章要立的东西有三样，而且全部算成数：

MFG \(\ne\) MFC 是 \(O(1)\) 的。 平均场有两个化身：平均场博弈（mean field game，MFG，各人自私，纳什）与平均场控制（mean field control，MFC，中央调度，社会最优）。它们一般不相等，而且这个差不随 \(N\to\infty\) 消失。本章的算例 7.1 在一个能算到底的二次模型上给出：\(u^{\mathrm{MFG}}=1.000\) 对 \(u^{\mathrm{MFC}}=0.667\)，代价差 12.5%，与 \(N\) 无关。
有限 \(N\) 的修正是 \(O(1/N)\) 或 \(O(1/\sqrt N)\) 的。 算例 7.2 给出同一模型里有限 \(N\) 精确 Nash 的闭式，与平均场解的相对偏差是 \(-\beta\lambda/[N(1+\lambda-\beta)]\)，\(N=100\) 时为 0.25%。算例 7.3 把三个尺度并排成表。
平均场在无线规模下的有效人数不是 \(N\)。 算例 7.4 考虑一个 \(201\times201\) 的密集小区栅格（\(N=40{,}400\)）。路径损耗指数 \(\alpha=3.7\) 时，干扰耦合的有效人数只有 \(N_{\mathrm{eff}}\approx9.8\)，涨落被低估了 64 倍，一个越限概率从 \(10^{-15}\) 变成 21.7%。相边界是 \(\alpha=2\)。

把 1 和 2 混为一谈，是本章要防的最大误读，也是无线文献里"平均场近似很准"这句话最容易骗人的地方。平均场作为"\(N\) 体纳什的近似"确实很准。但"纳什"本身离社会最优差 12.5%，而这个差跟 \(N\) 一点关系都没有。

本章预备知识

需要：一元二次函数的最小化、大数定律与中心极限定理、方差的线性组合公式、标准正态尾概率 \(Q(z)\)。不需要随机分析。本章把平均场做成静态/单步的版本，全程初等微积分；HJB–Fokker–Planck 那一对偏微分方程只在 7.2 节用一句话交代。

用到的站内内容：

团队问题（目标一致、信息分散）、Radner 定理（凸性 + 平稳性 \(\Longrightarrow\) 人各最优即团队最优，定理 2.1）、分散化代价 3.02% / 8.00%（算例 2.2）：第 2 章。本章的 MFC 正是一个 \(N\to\infty\) 的团队问题。
相边界 \(d\le p\)（命题 3.8）：第 3 章。本章的"耦合局域性"是同一个"网络生成信息结构"命题的另一条轴。
协调价签 \(1-h(\epsilon)\)、\(\epsilon=0.1\) 对应 0.531 比特/时隙（命题 4.4）；"解概念决定话费的量级"（定理 4.6、4.7）：第 4 章。本章 7.8 节会问：平均场把话费降到多少。
参与比 \(N_{\mathrm{eff}}=(\sum a_n^2)^2/\sum a_n^4\) 的构造：第一部第 9 章（那里作用在多径幅度上）。本章 7.7 节把同一个构造搬到干扰权重上。
PoA / PoS / PoL 的价格家族：第三部第 7 章与本部第 8 章。本章的"MFG/MFC 分歧比"就是 \(N\to\infty\) 极限下的 PoA。

本部统一符号：\(N\) = 决策者数，\(m\) = 动作数。平均场文献常用 \(n\) 或 \(N\) 记粒子数、用 \(\mu\) 记群体分布，本章沿用 \(N\) 与 \(\mu\)。

7.1 高峰期的地铁口：人多为什么反而简单#

早高峰走出地铁闸机，前面是三个出口。你要选一个。

如果站里只有五个人，你会真的去看那四个人各自往哪走。他们的选择直接影响你的排队时间，你的选择也明显影响他们。这是一个五人博弈，每个人都要推测另外四个人的推测，层层套娃。

如果站里有五千人，你不会去看任何一个具体的人。你只看三个出口各自的人流密度，也就是一个分布。你对这个分布做最优反应，而这个分布是五千个人各自最优反应的叠加。你自己的选择对密度的影响是 \(1/5000\)，可以忽略。

这个"忽略"，就是平均场的全部内容。它换来两样东西：

降维：五千人的联合策略塌成"一个代表性个体的策略 + 一个分布"。\(N\) 从维数变成参数。
解耦：个体之间不再直接互相看，只通过一个共同的中介量（密度）耦合。你不需要知道"张三往哪走"，只需要知道"多少比例的人往哪走"。

代价也有两样，本章的重点全在这里：

你忽略掉的 \(1/5000\) 不是零。 它带来一个有限 \(N\) 的修正。这个修正多大，是本章 7.4、7.5 节的内容。
每个人都对密度做最优反应，不等于这个密度是最好的密度。 五千人各自选最短的队，最终未必是总排队时间最小的配置。这是拥塞博弈的老故事，在平均场里它变成 MFG 与 MFC 的差。这个差跟人数没关系，\(N=5000\) 和 \(N=\infty\) 一样大。这是本章 7.3 节的内容，也是最容易被"\(N\) 大所以近似很好"这句话盖住的东西。

直觉：三种"大 \(N\) 极限"不是同一件事

工程师说"\(N\) 很大所以可以用平均场"时，往往同时相信三件独立的事，而它们的成立条件完全不同：

经验分布收敛（大数定律）：\(\frac1N\sum_i\delta_{x_i}\to\mu\)。需要弱耦合 + 交换可换性。这条通常对。
个体之间渐近独立（传播混沌）：任取两个个体，它们的联合分布趋于乘积分布。需要 1，且耦合只通过经验分布。这条通常也对。
平均场解 \(\approx\) 好的解。需要 1、2，再加上"纳什就是你要的解"。这条经常错，而错的原因与 \(N\) 无关。

本章把 1 和 2 用一节讲完（7.2 节），把全部火力放在 3 上。

小结：一句可以量化的口号。人多让"求解"变简单（维数塌了），但不让"求得对"变容易（自私与最优的差不随人数消失）。剩下的工作是把"简单多少"与"差多少"分别算成数。

7.2 从 \(N\) 体到平均场的两步#

7.2.1 第一步：经验分布收敛（传播混沌）#

先把"个体只感受到平均"写成模型。设有 \(N\) 个决策者，个体 \(i\) 的状态是 \(x_i\)（可以是位置、信道、队列长度），动作是 \(u_i\)。

定义 7.1（平均场型耦合与经验分布）

记经验分布（empirical measure）

\[ \mu_N:=\frac1N\sum_{j=1}^{N}\delta_{x_j}, \]

其中 \(\delta_x\) 是集中在 \(x\) 的点质量。称一个 \(N\) 体系统是平均场型耦合（mean-field coupling）的，若每个个体的动力学与代价只通过 \((x_i,u_i)\) 与经验分布 \(\mu_N\) 依赖于他人，即

\[ L_i=\ell(x_i,u_i,\mu_N),\qquad \dot x_i=b(x_i,u_i,\mu_N)+\sigma\,\dot W_i, \]

且 \(\ell,b\) 不依赖于 \(i\)（对称性 / 交换可换性）。

这个定义在说什么

先交代记号。\(\dot x_i\) 是状态对时间的导数，\(\sigma\dot W_i\) 是加在个体 \(i\) 身上、彼此独立的白噪声扰动（\(W_i\) 为布朗运动，\(\sigma\) 为噪声强度）。7.3 节起的静态模型用不到它。

定义里有三个限制，缺一不可：

只通过 \(\mu_N\)：个体 \(j\) 是"张三"还是"李四"无关紧要，只有"有多少比例的人处在状态 \(x\)"要紧。这是"匿名性"。
\(1/N\) 的权重：\(\mu_N\) 里每个人的权重都是 \(1/N\)，没有谁特别重要。这是"弱耦合"。
函数 \(\ell,b\) 与 \(i\) 无关：所有人用同一套规则。这是"同质性"。

7.7 节会逐条打破它们，看平均场在哪一条上先垮。

有了这个结构，第一步是纯概率论的：

定理 7.1（传播混沌，Sznitman 1991 [5]）【已解决（经典）】

考虑平均场型耦合的 \(N\) 个个体，初值 i.i.d. 于 \(\mu_0\)，噪声 \(W_i\) 独立，系数 \(b,\sigma,\ell\) 关于 \((x,\mu)\) Lipschitz（\(\mu\) 上用 Wasserstein 距离）。固定所有个体使用同一个（关于 \(\mu\) 的）反馈策略。则当 \(N\to\infty\)：

经验分布 \(\mu_N(t)\) 依概率弱收敛到一个确定性的流 \(\mu(t)\)，\(\mu(t)\) 是 McKean–Vlasov 方程（等价地，Fokker–Planck 方程）的解；
任取固定的 \(k\) 个个体，它们的联合分布收敛到 \(\mu(t)^{\otimes k}\)，即渐近独立同分布。

【表述待核：Lipschitz 条件的精确形式与收敛速率的页码，本站未直接打开原文 [5]。】

定理里的几个术语

Wasserstein 距离度量两个概率分布相差多远：把一堆"沙子"（分布 \(\mu\)）搬成另一堆（分布 \(\nu\)）所需的最小平均搬运距离。
Lipschitz：定理要求系数关于 \(\mu\) Lipschitz，意思是群体分布挪动一点，个体受到的影响也只变一点。
McKean–Vlasov 方程是"系数依赖于自身分布"的随机微分方程。代表性个体按 \(b(x,u,\mu)\) 运动，而 \(\mu\) 恰好是这个个体自己状态的分布。
Fokker–Planck 方程是同一件事的群体视角。它不追踪单个个体，而写出状态密度随时间怎样流动、怎样被噪声抹开。
反馈策略指按当前状态（和分布）决定动作的规则 \(u_i=\phi(x_i,\mu_N)\)。\(\mu^{\otimes k}\) 是 \(k\) 个相互独立、各自服从 \(\mu\) 的个体的联合分布。
传播混沌（propagation of chaos）里的"混沌"是统计物理的旧称，指"个体之间相互独立的无序状态"，"传播"是说初值的独立性在 \(N\to\infty\) 时被动力学一直保持下去。它与第 6 章的动力学混沌（正 Lyapunov 指数）无关。

物理意义

这条定理是"平均场"这个词合法的概率基础，而且它给的东西比"大数定律"更强。大数定律只说"平均值收敛"，传播混沌说的是"个体之间的相关性被稀释掉了"。

为什么会稀释？因为个体 \(i\) 影响个体 \(j\) 只有一条通路：先影响 \(\mu_N\)（贡献 \(1/N\)），再由 \(\mu_N\) 影响 \(j\)。走一趟就掉一个 \(1/N\)。\(N\) 个人里任意两个人之间的"直接联系强度"是 \(O(1/N)\)，\(k\) 个人两两之间共 \(\binom k2\) 对，总相关性 \(O(k^2/N)\to0\)。

行为分析

三个极限值得记住：

（i）\(k\) 固定、\(N\to\infty\)：独立性成立。
（ii）\(k\) 与 \(N\) 同阶（比如你关心"全部 \(N\) 个人的联合分布"）：不成立。\(\mu_N\) 与 \(\mu\) 之间还差一个 \(O(1/\sqrt N)\) 的中心极限型涨落，这是 7.5 节的主角。
（iii）耦合不是 \(1/N\) 权重，而是"只跟固定的 \(k\) 个邻居耦合"：那条 \(1/N\) 通路变成 \(1/k\)，不随 \(N\) 变小，定理的结论整个失效。这是 7.7 节的主角。

7.2.2 第二步：固定点#

传播混沌说的是"给定策略，群体分布怎么演化"。但策略本身是要解出来的，而每个人的最优策略又依赖于群体分布。于是有第二步，一个不动点：

flowchart TB
    A["冻结群体分布 $$\mu$$"] --> B["代表性个体求解<br/>单人最优控制问题<br/>（HJB 方程）"]
    B --> C["得到最优策略 $$u^\star(\cdot,\mu)$$"]
    C --> D["全体用 $$u^\star$$ 演化<br/>（Fokker–Planck 方程）"]
    D --> E["算出新的群体分布 $$\mu'$$"]
    E -->|"要求 $$\mu'=\mu$$"| A
    E -.->|"若不要求一致，<br/>而是直接对 $$\mu$$ 求导"| F["平均场控制 MFC<br/>（社会最优）"]

怎么读这张图：实线闭环是平均场博弈（MFG）的定义。先固定 \(\mu\) 解单人问题（HJB 向后解），再把解出来的策略代回去算群体分布（FP 向前解），要求前后一致，这就是 MFG 系统的"HJB + FP 耦合"。

虚线岔出去的是平均场控制（MFC）：中央调度者不做这个一致性闭环，而是把 \(\mu\) 当成自己能选的变量直接求导。两条路径的分岔点就在"\(\mu\) 对我是给定的，还是我能动的"这一句话上。7.3 节会把这句话变成两个不同的数。

MFG 系统可以用一句话说清：向后解一个 HJB 方程，给出个体的最优策略；向前解一个 Fokker–Planck 方程，给出群体的分布。两者首尾相接，构成一个耦合的边值问题。

这个系统由 Lasry–Lions 2007 [3] 提出。Huang–Caines–Malhamé 2006 [1] 把同一思路称为"纳什确定性等价"（Nash Certainty Equivalence，NCE）。系统的存在唯一性、收敛性与主方程的完整处理，见 Carmona–Delarue 的两卷专著 [8]。

本章不解这个偏微分方程组。静态版本就足以把三件事全部算清楚，而且不掉一分信息。

这里的 HJB 方程（Hamilton–Jacobi–Bellman）是动态规划在连续时间里的形态。预备篇 8.3 节的 Bellman 方程说"一个状态的价值 = 这一步的收益 + 下一状态的价值"。把时间步长缩到零，就得到关于"从时刻 \(t\)、状态 \(x\) 出发的最优剩余代价" \(V(t,x)\) 的偏微分方程。

HJB 从终点时刻的已知代价出发往回算，所以叫"向后"。Fokker–Planck 方程从初始分布 \(\mu_0\) 出发往前推，所以叫"向前"。一个知道终点，一个知道起点，而且彼此依赖（HJB 里含 \(\mu\)，FP 里含 HJB 解出的策略），这就是"耦合的边值问题"难解的原因。

7.2.3 静态版本：本章的工作模型#

去掉时间之后，HJB 退化成一次"对自己的动作求导令零"，Fokker–Planck 退化成"把所有人的动作取平均"。MFG 的固定点结构与 MFC 多出的那项导数都原样保留。群体分布在静态模型里只通过平均动作 \(\bar u\) 进入代价。

定义 7.2（静态平均场解：MFG 与 MFC）

设 \(N\) 个决策者，动作 \(u_i\in\mathbb{R}\)，个体代价

\[ L_i(u_1,\dots,u_N)=\ell\big(u_i,\bar u\big),\qquad \bar u:=\frac1N\sum_{j=1}^{N}u_j. \]

平均场博弈解（MFG） \(u^{\mathrm{MFG}}\) 定义为下列两条的解：

（最优反应）\(u^{\mathrm{MFG}}\in\arg\min_{u}\ \ell(u,\bar m)\)，其中 \(\bar m\) 被视为外生给定；
（一致性 / 固定点）\(\bar m=u^{\mathrm{MFG}}\)。

平均场控制解（MFC） \(u^{\mathrm{MFC}}\) 定义为

\[ u^{\mathrm{MFC}}\in\arg\min_{u}\ \ell(u,u), \]

即在对称配置的整条曲线上最小化，\(\bar u\) 随 \(u\) 一起动。

这个定义在说什么

两个式子长得几乎一样，差别只有一处：MFG 里，\(\bar m\) 在求导时是常数；MFC 里，\(\bar u\) 在求导时跟着 \(u\) 一起变。

用链式法则的语言：MFG 算的是偏导数 \(\partial_1\ell\)，MFC 算的是全导数 \(\partial_1\ell+\partial_2\ell\)。多出来的那一项 \(\partial_2\ell\) 就是外部性（externality），即"我的动作对别人的影响"。自私的个体不把它记进账，社会调度者要记。

用地铁口的话说：MFG 是"每个人都去最短的队"，MFC 是"如果所有人同时改变行为，哪种配置总时间最短"。前者算的是"我多走一步的边际收益"，后者算的是"我多走一步给所有人加了多少边际拥堵"。

陷阱：MFC 不是"多了一个上帝"，而是"多了一项导数"

很容易把 MFG 与 MFC 的差归因于"MFC 知道得更多"。这样想是错的。在本章 7.6 节的异质版本里，MFC 的调度者与 MFG 的个体拥有完全相同的信息（各自只知道自己的目标 \(\theta_i\)），MFC 依然不同于 MFG。差别在目标函数的导数里多了一项，不在信息里。

这一点把本章与第 2 章接上了：MFC 就是一个 \(N\to\infty\) 的 Marschak–Radner 团队问题（目标一致、信息分散），而 MFG 是同一信息结构下的博弈。两者之差是纯粹的"目标是否一致"，与"谁知道什么"无关。

第 2 章算的是"信息分散要付多少钱"（分散化代价 3.02%），本章算的是"目标不一致要付多少钱"。两笔账在同一个模型上并列，才能看清哪笔更贵。

小结：平均场的两步已经拆干净。第一步（传播混沌）是概率论，把 \(N\) 体的相关性稀释成独立。第二步（固定点）是博弈论，而且在这一步上分岔成 MFG 与 MFC 两条路。分岔的原因是一项导数，不是一份信息。

7.3 同一个模型，两个答案：MFG \(\ne\) MFC 是 \(O(1)\) 的#

7.3.1 模型：功率军备竞赛#

\(N\) 个共信道的小基站，每个选一个功率偏移 \(u_i\)（相对某个标称值，可正可负，单位任意但统一）。代价

\[ L_i=\big(u_i-\theta-\beta\bar u\big)^2+\lambda u_i^2,\qquad \bar u=\frac1N\sum_{j=1}^{N}u_j. \]

三项的物理含义：

\(\theta\)：公共的性能目标（例如达到某个 SINR 所需的名义功率），所有小区一样。
\(\beta\bar u\)：干扰跟随项。别人平均功率越高，我的干扰底噪越高，我要达到同样的 SINR 就得把功率抬得更高。\(\beta>0\) 时这是一个策略互补（strategic complements），典型的军备竞赛结构。
\(\lambda u_i^2\)：能耗罚项。功率不是免费的。

约束：\(\lambda>0\)，\(D:=1+\lambda-\beta>0\)（否则军备竞赛发散，博弈没有有限解）。

这个模型的好处是每一步都能手算，而且三个参数各自对应一个可辨识的物理量。它的局限也要说清：它是静态、对称、一维、二次的。7.6、7.7 节会逐条检查这些假设在无线里成立到什么程度。

7.3.2 MFG 的解#

命题 7.2（静态 LQ 模型的 MFG 与 MFC 显式解）【本站演算】

在上述模型中，设 \(\lambda>0\)、\(D=1+\lambda-\beta>0\)。则

\[ u^{\mathrm{MFG}}=\frac{\theta}{1+\lambda-\beta},\qquad u^{\mathrm{MFC}}=\frac{\theta(1-\beta)}{(1-\beta)^2+\lambda}, \]

且对称配置下的每人代价分别为

\[ J^{\mathrm{MFG}}=\frac{\lambda(1+\lambda)\theta^2}{(1+\lambda-\beta)^2},\qquad J^{\mathrm{MFC}}=\frac{\lambda\theta^2}{(1-\beta)^2+\lambda}. \]

证明（MFG，四步）

第 1 步（冻结平均）。 把 \(\bar u\) 换成外生常数 \(\bar m\)。个体 \(i\) 的代价 \(\ell(u_i)=(u_i-\theta-\beta\bar m)^2+\lambda u_i^2\) 是 \(u_i\) 的二次函数，二阶导 \(2+2\lambda>0\)，严格凸，最小值由一阶条件唯一确定。

第 2 步（一阶条件）。 求导并令其为零：

\[ 2\big(u_i-\theta-\beta\bar m\big)+2\lambda u_i=0 \ \Longrightarrow\ u_i(1+\lambda)=\theta+\beta\bar m \ \Longrightarrow\ u_i=\frac{\theta+\beta\bar m}{1+\lambda}. \]

这一步只用了"求导 = 0"，没有任何博弈论内容。注意 \(\bar m\) 在这里是一个数，不是一个函数。

第 3 步（固定点）。 所有个体面对同一个 \(\bar m\)、用同一个规则，所以解是对称的。一致性要求 \(\bar m\) 等于这个共同的解：

\[ \bar m=\frac{\theta+\beta\bar m}{1+\lambda} \ \Longrightarrow\ \bar m(1+\lambda)-\beta\bar m=\theta \ \Longrightarrow\ \bar m(1+\lambda-\beta)=\theta. \]

第 4 步（解出）。 \(D=1+\lambda-\beta>0\) 保证可除，得 \(u^{\mathrm{MFG}}=\theta/D\)。\(\blacksquare\)

证明（MFC，五步）

这一次不能只看对称点，要先证对称点确实是全局最优。

第 1 步（目标）。 社会代价是

\[ J=\frac1N\sum_{i}\big[(u_i-\theta-\beta\bar u)^2+\lambda u_i^2\big] \]

它是 \((u_1,\dots,u_N)\) 的二次型，是若干平方项的非负组合再加 \(\lambda\|u\|^2/N\)（\(\lambda>0\)），所以严格凸，驻点唯一且是全局最小。

第 2 步（对每个分量求导）。 记 \(e_i:=u_i-\theta-\beta\bar u\)。注意 \(\partial\bar u/\partial u_k=1/N\)，所以 \(\partial e_i/\partial u_k=\mathbb{1}[i=k]-\beta/N\)。这里 \(i=k\) 时第一项取 1，否则取 0。

换句话说，\(u_k\) 直接出现在自己的误差 \(e_k\) 里，又通过 \(\bar u\) 以 \(\beta/N\) 的份额出现在每一个人的 \(e_i\) 里。对 \(J=\frac1N\sum_i(e_i^2+\lambda u_i^2)\) 逐项求导，得

\[ \frac{\partial J}{\partial u_k}=\frac2N\big[\sum_ie_i\,(\mathbb{1}[i=k]-\beta/N)+\lambda u_k\big] \]

两边乘 \(N/2\)：

\[ \frac{N}{2}\cdot\frac{\partial J}{\partial u_k} =\underbrace{e_k}_{\text{自己那一项}}\;\underbrace{-\;\frac{\beta}{N}\sum_{i=1}^{N}e_i}_{\text{我抬高 }\bar u\text{ 给所有人添的麻烦}}\;+\;\lambda u_k . \]

中间那一项就是外部性。MFG 的一阶条件里没有它。

第 3 步（引入平均）。 记 \(\bar e:=\frac1N\sum_ie_i=(1-\beta)\bar u-\theta\)。一阶条件写成

\[ e_k+\lambda u_k=\beta\bar e\qquad(\forall k). \]

右端与 \(k\) 无关，左端 \(e_k+\lambda u_k=u_k(1+\lambda)-\theta-\beta\bar u\) 中只有 \(u_k\) 依赖于 \(k\)，所以所有 \(u_k\) 相等。对称性是解出来的，不是假设的。记共同值为 \(u\)，则 \(\bar u=u\)，\(\bar e=(1-\beta)u-\theta\)。

第 4 步（代入求解）。

\[ \begin{aligned} u(1+\lambda)-\theta-\beta u&=\beta\big[(1-\beta)u-\theta\big]\\ u\big(1+\lambda-\beta-\beta+\beta^2\big)&=\theta-\beta\theta\\ u\big[(1-\beta)^2+\lambda\big]&=\theta(1-\beta). \end{aligned} \]

第二行到第三行用了 \(1-2\beta+\beta^2=(1-\beta)^2\)。

第 5 步。 \((1-\beta)^2+\lambda>0\) 恒成立（\(\lambda>0\)），所以 \(u^{\mathrm{MFC}}=\theta(1-\beta)/[(1-\beta)^2+\lambda]\)。\(\blacksquare\)

代价的闭式

对称配置下 \(J(u)=\big[(1-\beta)u-\theta\big]^2+\lambda u^2\)。

先看 MFC。记 \(c:=1-\beta\)，代入 \(u^{\mathrm{MFC}}\)，则 \(cu^{\mathrm{MFC}}-\theta=\frac{c^2\theta}{c^2+\lambda}-\theta=-\frac{\lambda\theta}{c^2+\lambda}\)，于是

\[ J^{\mathrm{MFC}}=\frac{\lambda^2\theta^2+\lambda c^2\theta^2}{(c^2+\lambda)^2}=\frac{\lambda\theta^2}{c^2+\lambda} \]

这是"最小二乘 + 岭"问题的标准最小值。

再看 MFG。代入 \(u^{\mathrm{MFG}}=\theta/D\) 得 \((1-\beta)\theta/D-\theta=-\lambda\theta/D\)，故

\[ J^{\mathrm{MFG}}=\lambda^2\theta^2/D^2+\lambda\theta^2/D^2=\lambda(1+\lambda)\theta^2/D^2 \]

\(\blacksquare\)

物理意义

两个解的差别可以一眼看出来：

MFG 的分母是 \(1+\lambda-\beta\)。\(\beta\) 出现在分母里减号的位置，耦合越强，分母越小，功率越高，这就是军备竞赛。
MFC 的分母是 \((1-\beta)^2+\lambda\)。\(\beta\) 出现在平方里，\(\beta\to1\) 时分母不掉到零而是趋于 \(\lambda\)，分子却趋于零，所以社会最优的功率反而趋于零。

物理上完全说得通：当干扰跟随系数接近 1 时，"大家一起抬功率"是纯粹的自我抵消。理性的调度者应该让所有人一起降功率，因为抬功率只买到能耗，买不到 SINR。

行为分析

\(\beta=0\)（无耦合）：\(u^{\mathrm{MFG}}=u^{\mathrm{MFC}}=\theta/(1+\lambda)\)，两者重合。没有外部性就没有分歧，这是本章最重要的退化检查。
\(\beta\to1^-\)：\(u^{\mathrm{MFG}}\to\theta/\lambda\)（有限但大），\(u^{\mathrm{MFC}}\to0\)。分歧最大。
\(\beta\to(1+\lambda)^-\)：\(D\to0\)，\(u^{\mathrm{MFG}}\to\infty\)，博弈解爆炸，而 \(u^{\mathrm{MFC}}\) 依然有限且为负。这是"自私解不存在但社会最优存在"的区域，工程上对应"不加协调的功控发散"。
\(\lambda\to\infty\)（能耗极贵）：两者都 \(\to0\)，分歧消失（谁也不敢发功率）。
\(N\) 在哪里？ 不在任何一个式子里。这就是"\(O(1)\) 效应"的确切含义：MFG 与 MFC 的差是两条不同的极限路径的差，不是有限 \(N\) 的误差。

7.3.3 分歧比：一个闭式与一个不等式#

命题 7.3（MFG/MFC 分歧比的闭式与其下界）【本站演算】

在命题 7.2 的模型中，定义分歧比（即 \(N\to\infty\) 极限下对称配置的无序代价 PoA）

\[ \rho:=\frac{J^{\mathrm{MFG}}}{J^{\mathrm{MFC}}} =\frac{(1+\lambda)\big[(1-\beta)^2+\lambda\big]}{(1+\lambda-\beta)^2}. \]

则 \(\rho\ge1\)，等号成立当且仅当 \(\beta=0\)；且 \(\rho\to\infty\) 当 \(\beta\to(1+\lambda)^-\)。

证明（三步）

第 1 步（代入）。 由命题 7.2，

\[ \rho=\frac{\lambda(1+\lambda)\theta^2}{D^2}\cdot\frac{(1-\beta)^2+\lambda}{\lambda\theta^2} =\frac{(1+\lambda)\big[(1-\beta)^2+\lambda\big]}{D^2}. \]

\(\theta^2\) 与前面那个公共因子 \(\lambda\) 约掉了，所以分歧比与目标水平 \(\theta\) 无关。但 \(\lambda\) 仍通过 \((1+\lambda)\) 与 \((1-\beta)^2+\lambda\) 留在式中。例如 \(\beta=0.5\) 时，\(\lambda=0.5\) 给 \(\rho=1.125\)，\(\lambda=2\) 给 \(\rho=1.080\)。

第 2 步（Cauchy–Schwarz）。 取两个二维向量 \(\mathbf{a}=(1,\sqrt\lambda)\) 与 \(\mathbf{b}=(1-\beta,\sqrt\lambda)\)。

选这两个向量，是因为它们的模方恰好是 \(\rho\) 分子的两个因子：\(\|\mathbf a\|^2=1+\lambda\)，\(\|\mathbf b\|^2=(1-\beta)^2+\lambda\)。它们的内积是 \(\langle\mathbf a,\mathbf b\rangle=(1-\beta)+\sqrt\lambda\cdot\sqrt\lambda=(1-\beta)+\lambda\)。

Cauchy–Schwarz 不等式 \(\langle\mathbf a,\mathbf b\rangle^2\le\|\mathbf a\|^2\|\mathbf b\|^2\) 给出

\[ \big[(1-\beta)+\lambda\big]^2\le(1+\lambda)\big[(1-\beta)^2+\lambda\big]. \]

第 3 步（认出左端）。 左端的 \((1-\beta)+\lambda=1+\lambda-\beta=D\)，正是 \(\rho\) 的分母。故 \(\rho\ge1\)。等号成立当且仅当 \(\mathbf a\parallel\mathbf b\)。两者的第二个分量都是 \(\sqrt\lambda>0\)，所以比例系数必为 1，于是 \(1=1-\beta\)，即 \(\beta=0\)。\(\blacksquare\)

物理意义

这个证明把"外部性造成损失"变成了一条几何陈述：MFG 与 MFC 的差就是向量 \((1,\sqrt\lambda)\) 与 \((1-\beta,\sqrt\lambda)\) 的夹角。

记夹角为 \(\varphi\)，则 \(\cos\varphi=\langle\mathbf a,\mathbf b\rangle/(\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|)\)，于是 \(\rho=1/\cos^2\varphi\)，夹角为零时恰好 \(\rho=1\)。\(\beta\) 是这两个向量第一分量的落差，\(\lambda\) 是它们共有的第二分量。

夹角随 \(\lambda\) 先增后减：

\(\lambda\to0\) 时两个向量都躺在横轴上，夹角为零。没有能耗罚，MFG 与 MFC 都把目标跟踪得毫无误差（\(u=\theta/(1-\beta)\)），分歧自然消失。
\(\lambda\to\infty\) 时两个向量都被第二分量拉向竖直方向，夹角又趋于零：谁都不敢发功率。
夹角最大、分歧最大的地方在 \(\lambda=1-\beta\)。\(\beta=0.5\) 时它恰好就是本章的参数点 \(\lambda=0.5\)（\(\rho=1.125\)）。

所以能耗价格只在 \(\lambda>1-\beta\) 这一侧起"协调"作用：再加价，自私解会向社会最优靠拢。在 \(\lambda<1-\beta\) 一侧加价，分歧反而扩大。

行为分析

固定 \(\lambda=0.5\)，扫 \(\beta\)：

\(\beta\)	0	0.2	0.4	0.5	0.6	0.8	1.0	1.2
\(u^{\mathrm{MFG}}\)	0.667	0.769	0.909	1.000	1.111	1.429	2.000	3.333
\(u^{\mathrm{MFC}}\)	0.667	0.702	0.698	0.667	0.606	0.370	0.000	\(-0.370\)
分歧比 \(\rho\)	1.000	1.012	1.066	1.125	1.222	1.653	3.000	9.000

三行读出三件事：

\(u^{\mathrm{MFG}}\) 单调上升（军备竞赛），\(u^{\mathrm{MFC}}\) 先微升后掉头向下，并在 \(\beta=1\) 处穿零。社会最优在强耦合下会要求所有人一起降到标称值以下。
分歧比在 \(\beta\le0.4\) 时只有百分之几，工程上可以不管。到 \(\beta=0.8\) 已经 65%，到 \(\beta=1\) 是 3 倍。
\(\rho\) 在 \(\beta=1+\lambda=1.5\) 处发散。

算例 7.1（功率军备竞赛：MFG 与 MFC 的两个数）【本站演算】

取 \(\theta=1\)、\(\beta=0.5\)、\(\lambda=0.5\)（中等耦合、中等能耗罚）。\(D=1+0.5-0.5=1\)，\((1-\beta)^2+\lambda=0.25+0.5=0.75\)。

MFG。

\[ u^{\mathrm{MFG}}=\frac{1}{1}=1.000,\qquad J^{\mathrm{MFG}}=\big(0.5\times1-1\big)^2+0.5\times1^2=0.25+0.50=\mathbf{0.750}. \]

MFC。

\[ u^{\mathrm{MFC}}=\frac{1\times0.5}{0.75}=\frac23=0.6667,\qquad J^{\mathrm{MFC}}=\Big(0.5\times\tfrac23-1\Big)^2+0.5\times\Big(\tfrac23\Big)^2=\tfrac49+\tfrac29=\tfrac23=\mathbf{0.6667}. \]

两个数。 自私解的功率比社会最优高 50%（\(1.000\) 对 \(0.667\)），代价高 12.5%（\(0.750\) 对 \(0.6667\)，\(\rho=1.125\)）。

这 12.5% 与 \(N\) 无关：\(N=10\)、\(N=10^4\)、\(N=\infty\)，只要用平均场的记账方式，它都是 12.5%。

作为对照，第 2 章算例 2.2 里"信息分散"的代价是 3.02%（\(\eta^2=0.5,c=0.1\)）到 8.00%（\(\eta=1,c=1\)）。在这个参数点上，"目标不一致"比"信息不共享"更贵。

校验

(i) 退化检查：令 \(\beta=0\)，\(u^{\mathrm{MFG}}=1/1.5=0.6667=u^{\mathrm{MFC}}=1\times1/1.5\)，两式给出同一个数，\(\rho=(1.5)(1.5)/1.5^2=1\)。没有耦合就没有分歧，与命题 7.3 的等号条件一致。
(ii) 把 MFC 解代回社会规划者的一阶条件：\(\frac{\mathrm d}{\mathrm du}\big[((1-\beta)u-\theta)^2+\lambda u^2\big]=2(1-\beta)\big[(1-\beta)u-\theta\big]+2\lambda u\)。在 \(u=2/3\) 处为 \(2(0.5)(1/3-1)+2(0.5)(2/3)=-2/3+2/3=0\) ✓。在 \(u=1\)（MFG 解）处为 \(2(0.5)(0.5-1)+2(0.5)(1)=-0.5+1=+0.5>0\)，说明规划者想减小 \(u\)，方向与 \(u^{\mathrm{MFC}}<u^{\mathrm{MFG}}\) 一致 ✓。
(iii) 代价的第二条算法：用闭式 \(J^{\mathrm{MFC}}=\lambda\theta^2/[(1-\beta)^2+\lambda]=0.5/0.75=0.6667\) ✓，\(J^{\mathrm{MFG}}=\lambda(1+\lambda)\theta^2/D^2=0.5\times1.5/1=0.750\) ✓，与直接代入数值一致。

陷阱：不要把 12.5% 说成"平均场近似的误差"

12.5% 是两个平均场解之间的差，两个解各自都是 \(N\to\infty\) 的精确答案。它衡量的是"自私 vs 协调"，不是"近似 vs 精确"。

真正的"平均场近似误差"是下一节的东西，在同样的参数点上它是 0.25%（\(N=100\)），比 12.5% 小 50 倍。把两者混在一起，就会得出"\(N\) 大所以平均场解已经足够好"这个错误结论。\(N\) 大只保证你算出的纳什解准，不保证纳什解好。

小结：在一个能手算的模型上，我们得到了 MFG 与 MFC 的两个闭式、分歧比的闭式、一条用 Cauchy–Schwarz 两行证出的 \(\rho\ge1\)（等号 \(\iff\) 无耦合），以及一组钉死的数字：功率高 50%、代价高 12.5%、与 \(N\) 无关。

7.4 有限 \(N\) 的精确 Nash：\(1/N\) 的修正#

上一节的 MFG 解是在"我对 \(\bar u\) 的影响可以忽略"的前提下算的。但在真实的 \(N\) 体博弈里，我确实有 \(1/N\) 的影响。把它捡回来，就得到有限 \(N\) 的精确 Nash 均衡。

7.4.1 闭式与 \(1/N\) 展开#

命题 7.4（有限 \(N\) 对称 Nash 的闭式与 \(1/N\) 展开）【本站演算】

在 7.3 节模型中，记 \(a_N:=1-\beta/N\)。若 \(a_N(1-\beta)+\lambda>0\)，则存在唯一的对称 Nash 均衡

\[ u^{(N)}=\frac{a_N\,\theta}{a_N(1-\beta)+\lambda},\qquad a_N=1-\frac{\beta}{N}, \]

且

\(u^{(1)}=u^{\mathrm{MFC}}\)（单人博弈就是社会最优）；
\(\lim_{N\to\infty}u^{(N)}=u^{\mathrm{MFG}}\)；
相对偏差的一阶展开

\[ \frac{u^{(N)}-u^{\mathrm{MFG}}}{u^{\mathrm{MFG}}}=-\frac{\beta\lambda}{N(1+\lambda-\beta)}+O\!\left(\frac1{N^2}\right). \]

证明（五步）

第 1 步（正确的一阶条件）。 个体 \(i\) 把 \(u_{-i}\) 当作固定，但知道 \(\bar u=\frac1N\sum_ju_j\) 含有自己的 \(u_i/N\)。链式法则：

\[ \frac{\partial}{\partial u_i}\big(u_i-\theta-\beta\bar u\big)=1-\frac{\beta}{N}=a_N . \]

于是

\[ \frac{\partial L_i}{\partial u_i}=2a_N\big(u_i-\theta-\beta\bar u\big)+2\lambda u_i=0 . \]

二阶导 \(2a_N^2+2\lambda>0\)，故这是最小值。

第 2 步（对称化）。 所有个体的问题相同，寻找对称解 \(u_i=u\)，此时 \(\bar u=u\)：

\[ a_N\big[(1-\beta)u-\theta\big]+\lambda u=0 . \]

第 3 步（解出）。 整理得 \(u\big[a_N(1-\beta)+\lambda\big]=a_N\theta\)，即闭式。分母的正性是解存在的条件。

第 4 步（两个端点）。

\(N=1\)：\(a_1=1-\beta\)，代入得 \(u^{(1)}=(1-\beta)\theta/[(1-\beta)^2+\lambda]=u^{\mathrm{MFC}}\) ✓。
\(N\to\infty\)：\(a_N\to1\)，得 \(\theta/[(1-\beta)+\lambda]=\theta/D=u^{\mathrm{MFG}}\) ✓。

第 5 步（展开）。 把 \(u^{(N)}\) 看成 \(a\) 的函数 \(f(a)=a\theta/[a(1-\beta)+\lambda]\)。商法则：

\[ f'(a)=\frac{\theta\big[a(1-\beta)+\lambda\big]-a\theta(1-\beta)}{\big[a(1-\beta)+\lambda\big]^2}=\frac{\theta\lambda}{\big[a(1-\beta)+\lambda\big]^2}. \]

在 \(a=1\) 处 \(f'(1)=\theta\lambda/D^2\)，而 \(a_N-1=-\beta/N\)，于是

\[ u^{(N)}-u^{\mathrm{MFG}}=f'(1)\cdot\Big(-\frac\beta N\Big)+O\!\left(\frac1{N^2}\right)=-\frac{\beta\theta\lambda}{ND^2}+O\!\left(\frac1{N^2}\right). \]

除以 \(u^{\mathrm{MFG}}=\theta/D\) 得第 3 条。\(\blacksquare\)

7.4.2 外部性是怎样被稀释的#

物理意义

这个结果有三件事值得说。

第一，\(u^{(N)}<u^{\mathrm{MFG}}\)，而且随 \(N\) 单调上升（因为 \(f'>0\) 且 \(a_N\) 随 \(N\) 上升）。人越多，自私的解越"放肆"。原因很直白：\(N\) 小的时候，我抬功率有 \(1/N\) 的份额会打到我自己头上，我会克制。\(N\) 大的时候这份自我惩罚被稀释，我就放开了。

第二，\(u^{(1)}=u^{\mathrm{MFC}}\) 不是巧合，它是"外部性"这个概念的定义式。一个人的时候，"别人"就是自己，外部性内部化了，纳什等于社会最优。所以整条曲线 \(N\mapsto u^{(N)}\) 就是外部性被稀释的过程，从 \(u^{\mathrm{MFC}}\) 一路爬到 \(u^{\mathrm{MFG}}\)。

第三，分子里的 \(\beta\lambda\) 说明修正需要两个条件同时成立：既要有耦合（\(\beta\ne0\)），又要有能耗罚（\(\lambda\ne0\)）。\(\lambda=0\) 时 \(f'(a)\equiv0\)，\(u^{(N)}=\theta/(1-\beta)\) 对所有 \(N\) 相同，有限 \(N\) 修正精确为零。这个退化情形很有教育意义："有限 \(N\) 修正"的大小是代价函数曲率的性质，不是几何性质。

7.4.3 数值表：从 \(N=1\) 到 \(N=10^4\)#

算例 7.2（有限 \(N\) 的偏差：从 \(N=1\) 到 \(N=10^4\)）【本站演算】

仍取 \(\theta=1\)、\(\beta=0.5\)、\(\lambda=0.5\)。\(a_N=1-0.5/N\)，分母 \(=0.5a_N+0.5\)。

\(N\)	\(a_N\)	分母	\(u^{(N)}\)	相对 \(u^{\mathrm{MFG}}=1\) 的偏差	一阶预测 \(-0.25/N\)
1	0.5000	0.7500	0.66667	\(-33.33\%\)	\(-25\%\)（已失效）
2	0.7500	0.8750	0.85714	\(-14.29\%\)	\(-12.5\%\)
5	0.9000	0.9500	0.94737	\(-5.263\%\)	\(-5.0\%\)
10	0.9500	0.9750	0.97436	\(-2.564\%\)	\(-2.5\%\)
100	0.9950	0.9975	0.99749	\(-0.2506\%\)	\(-0.25\%\)
1000	0.9995	0.99975	0.99975	\(-0.02501\%\)	\(-0.025\%\)
\(10^4\)	0.99995	0.999975	0.999975	\(-0.002500\%\)	\(-0.0025\%\)

一阶系数：\(\beta\lambda/D=0.5\times0.5/1=0.25\)，故相对偏差 \(\approx-0.25/N\)。

读法

\(N=10\) 时平均场解已经只差 2.6%，\(N=100\) 时差 0.25%，\(N=10^4\) 时差 0.0025%。在无线关心的 \(N=10^2\)–\(10^4\) 区间，"用平均场解代替有限 \(N\) 纳什解"的误差在千分之几到十万分之几，好得几乎不需要讨论。

校验

(i) 端点恒等式：\(N=1\) 的值 \(0.66667\) 与算例 7.1 独立算出的 \(u^{\mathrm{MFC}}=2/3\) 逐位相同 ✓。这是两条完全不同的推导路径（一个是单人纳什，一个是 \(N\to\infty\) 的社会规划）撞在同一个数上。
(ii) 残差的阶：一阶预测的误差为 \(N=10\) 时 \(0.0641\) 个百分点、\(N=100\) 时 \(0.000627\) 个百分点、\(N=1000\) 时 \(0.00000625\) 个百分点。相邻比值 \(102.3\) 与 \(100.2\)，都约等于 \(100=(10)^2\)，确认残差是 \(\Theta(1/N^2)\)，与命题 7.4 第 3 条的 \(O(1/N^2)\) 一致 ✓。
(iii) 单调性与夹逼：整列 \(u^{(N)}\) 严格递增，且始终落在 \([u^{\mathrm{MFC}},u^{\mathrm{MFG}}]=[0.6667,1.0]\) 内 ✓，符合"外部性逐步稀释"的物理图像。

有限 N 的对称 Nash 解如何爬向平均场解（相对 u_MFG 的百分比）

怎么读这张图：横轴是 \(\log_{10}N\)，纵轴是把 \(u^{\mathrm{MFG}}=1.000\) 归一化成 100% 之后的功率水平。中间那条平线是 MFG（\(100\%\)），底下那条平线是 MFC（\(66.67\%\)）。

爬升的那条是有限 \(N\) 的精确 Nash \(u^{(N)}\)。它从 \(N=1\) 处恰好落在 MFC 线上（外部性完全内部化），然后在两个数量级之内就贴上了 MFG 线。数据来自算例 7.2 的表（\(\theta=1,\beta=0.5,\lambda=0.5\)）。

这张图要看的是：两条平线之间那条 33 个百分点的鸿沟永远不会被填上。爬升的曲线趋向的是上面那条线，不是下面那条。

小结：我们得到了有限 \(N\) 纳什解的闭式、它在两端分别落到 MFC 与 MFG 上的恒等式，以及 \(-\beta\lambda/(ND)\) 这个一阶系数。在无线规模上它是千分之几量级，比上一节的 12.5% 小两个数量级。两个效应的分离，到此已经是数字上的事实，不再是措辞。

7.5 涨落与 \(\varepsilon\)-Nash：\(1/\sqrt N\) 从哪里来#

上一节的模型是确定性的：所有人一样，\(\bar u\) 精确等于共同值。现实里个体不一样，经验均值会涨落，而涨落的尺度是 \(1/\sqrt N\)。这才是文献里那个著名的 \(O(1/\sqrt N)\) 的来源。

7.5.1 异质版模型#

把公共目标 \(\theta\) 换成个体目标

\[ \theta_i=\theta+\xi_i,\qquad \xi_i\ \text{i.i.d.},\ \mathbb E[\xi_i]=0,\ \mathrm{Var}(\xi_i)=\sigma^2, \]

\(\xi_i\) 是个体 \(i\) 的私有信息（例如本小区的负载、用户分布、阴影衰落偏置），别人不知道。代价

\[ L_i=\big(u_i-\theta_i-\beta\bar u\big)^2+\lambda u_i^2 . \]

平均场策略仍然是"对期望的最优反应"：

\[ u_i^{\mathrm{MF}}=\frac{\theta_i+\beta m}{1+\lambda},\qquad m=\frac{\theta}{1+\lambda-\beta}=u^{\mathrm{MFG}}, \]

固定点方程与 7.3 节完全一样，因为取期望后 \(\mathbb E[\theta_i]=\theta\)。

记号提醒：

这里的 \(m\) 是平均场下的群体平均功率，即定义 7.2 中 \(\bar m\) 在固定点上的取值。它与本章预备知识框里"\(m\) = 动作数"的本部统一符号无关，本章不再用到动作数。
这里的 \(\sigma\) 是个体目标的异质性标准差，不是定义 7.1 里的噪声强度。

现在算实际的经验均值。所有人用 \(u^{\mathrm{MF}}\)：

\[ \bar u_N=\frac1N\sum_j\frac{\theta+\xi_j+\beta m}{1+\lambda}=m+\frac{\bar\xi_N}{1+\lambda},\qquad \bar\xi_N=\frac1N\sum_j\xi_j . \]

记涨落 \(\Delta_N:=\bar u_N-m=\bar\xi_N/(1+\lambda)\)，则

\[ \mathbb E[\Delta_N]=0,\qquad \mathrm{Var}(\Delta_N)=\frac{\sigma^2}{N(1+\lambda)^2},\qquad \mathrm{sd}(\Delta_N)=\frac{\sigma}{(1+\lambda)\sqrt N}. \]

\(1/\sqrt N\) 的唯一来源是中心极限定理。它不来自博弈论，而来自这样一件事：\(N\) 个独立随机数的平均值，标准差是 \(\sigma/\sqrt N\)。

7.5.2 文献的 \(\varepsilon\)-Nash 定理#

定理 7.5（\(\varepsilon\)-Nash：平均场解在有限 \(N\) 博弈中的近似最优性；Huang–Caines–Malhamé 2006 [1]、2007 [2]；Lasry–Lions 2007 [3]）【已解决】

在标准的线性二次高斯（LQG）大群体随机动态博弈中（个体动力学线性、代价二次、噪声独立、耦合通过状态的经验均值、时长 \(T\) 有限），设 \(\{u_i^{\mathrm{MF}}\}\) 为由平均场（纳什确定性等价 NCE）系统给出的分散式策略。则它构成 \(N\) 体博弈的 \(\varepsilon_N\)-Nash 均衡：对每个 \(i\)，

\[ J_i\big(u_i^{\mathrm{MF}},u_{-i}^{\mathrm{MF}}\big)\ \le\ \inf_{u_i}J_i\big(u_i,u_{-i}^{\mathrm{MF}}\big)+\varepsilon_N, \]

其中 \(\varepsilon_N\le C/\sqrt N\)，常数 \(C\) 依赖于模型的 Lipschitz 常数、时长 \(T\)、噪声强度与初值矩，不依赖于 \(N\)。

状态说明

定理本身【已解决】。\(C\) 的显式表达式本站未能从原文取得（[1][2] 的全文均需付费）。能查到的二手转述，例如 Wang–Zhang–Fu–Liang 2022（arXiv:2206.05754）对经典平均场策略的复述，也只写 \(\varepsilon=O(1/\sqrt N)\)、不给常数，这一点【表述待核】。

因此本章不引用任何文献给出的"\(N=100\) 时误差 \(x\%\)"。下面的百分比全部在本章自设的模型上自己推导，标【本站演算】。

物理意义

这条定理是平均场的"回程票"。7.2 节的传播混沌是去程，从 \(N\) 体走到极限。\(\varepsilon\)-Nash 是回程：把极限里算出来的策略拿回 \(N\) 体博弈里用，问它离真最优差多少。没有回程票，平均场就只是一个漂亮的极限，不能用来做设计。

行为分析

\(\varepsilon_N\le C/\sqrt N\) 是一个上界，而且是用 Lipschitz 型（一阶）估计得到的。

具体做法是：把"个体面对的实际均值"与"平均场均值"之差 \(\|\Delta_N\|\) 用 \(\mathbb E\|\Delta_N\|\le\sqrt{\mathbb E\|\Delta_N\|^2}=O(1/\sqrt N)\) 一记，再乘上代价对均值的 Lipschitz 常数。其中第一个不等号是一阶矩不超过二阶矩的平方根，即 Jensen 不等式。因 \(\mathbb E[\Delta_N]=0\)，右端就是上面算出的标准差。

这个记账方式没有用到"平均场策略恰好是对期望的最优反应"这个事实。下面这条命题说明：一旦把这个事实用上，在光滑代价下阶数会改善到 \(1/N\)。

7.5.3 在本章模型上把 \(\varepsilon_N\) 算出来#

命题 7.6（静态 LQ 上的两个尺度：策略偏差 \(1/\sqrt N\)、代价遗憾 \(1/N\)）【本站演算】

在上述异质模型中，设个体 \(i\) 能观测到实际的经验均值 \(\bar u_N\)（工程上即：能测到实际干扰水平），其余人使用平均场策略。则

策略偏差（真最优反应与平均场策略之差）

\[ u_i^{\mathrm{BR}}-u_i^{\mathrm{MF}}=\frac{\beta\,\Delta_N}{1+\lambda},\qquad \mathrm{sd}\big(u_i^{\mathrm{BR}}-u_i^{\mathrm{MF}}\big)=\frac{\beta\sigma}{(1+\lambda)^2\sqrt N}=\Theta\!\left(\frac1{\sqrt N}\right); \]
代价遗憾

\[ \varepsilon_N:=\mathbb E\big[L_i(u_i^{\mathrm{MF}})\big]-\mathbb E\big[L_i(u_i^{\mathrm{BR}})\big] =\frac{\beta^2\sigma^2}{N(1+\lambda)^3}=\Theta\!\left(\frac1N\right). \]

证明（四步）

第 1 步（真最优反应）。 给定观测到的 \(\bar u_N\)（忽略自身 \(1/N\) 份额，那一项已在命题 7.4 里单独记过），个体 \(i\) 最小化 \((u_i-\theta_i-\beta\bar u_N)^2+\lambda u_i^2\)，一阶条件给出

\[ u_i^{\mathrm{BR}}=\frac{\theta_i+\beta\bar u_N}{1+\lambda}. \]

第 2 步（作差）。 与 \(u_i^{\mathrm{MF}}=(\theta_i+\beta m)/(1+\lambda)\) 相减，\(\theta_i\) 精确抵消：

\[ u_i^{\mathrm{BR}}-u_i^{\mathrm{MF}}=\frac{\beta(\bar u_N-m)}{1+\lambda}=\frac{\beta\Delta_N}{1+\lambda}. \]

代入 \(\mathrm{sd}(\Delta_N)=\sigma/[(1+\lambda)\sqrt N]\) 得第 1 条。

第 3 步（二次函数的遗憾公式）。 \(L_i\) 作为 \(u_i\) 的函数是二次的，二阶导恒为 \(2(1+\lambda)\)。对任何二次函数 \(g\)，若 \(u^\star\) 是其最小点，则 \(g(u)-g(u^\star)=\tfrac12g''\cdot(u-u^\star)^2=(1+\lambda)(u-u^\star)^2\)。这一步是精确的，不是近似：二次函数的泰勒展开在二阶截断。

第 4 步（取期望）。

\[ \varepsilon_N=(1+\lambda)\,\mathbb E\Big[\Big(\frac{\beta\Delta_N}{1+\lambda}\Big)^{\!2}\Big] =(1+\lambda)\cdot\frac{\beta^2}{(1+\lambda)^2}\cdot\frac{\sigma^2}{N(1+\lambda)^2} =\frac{\beta^2\sigma^2}{N(1+\lambda)^3}. \qquad\blacksquare \]

物理意义

两个阶数不同，而差别的原因非常干净：平均场策略是对 \(\mathbb E[\bar u_N]\) 的最优反应，所以代价对涨落的一阶敏感度为零。数学上就是"在最小点处一阶导为零，误差从二阶开始"。

\(1/\sqrt N\) 是涨落本身的尺度，\(1/N\) 是涨落的平方。所以代价遗憾是策略偏差的平方。

行为分析

和定理 7.5 矛盾吗？ 不矛盾。定理 7.5 给的是上界 \(C/\sqrt N\)，本命题在一个光滑对称的特例上给出 \(\Theta(1/N)\)，比上界更好。上界不禁止某些模型更快收敛。
什么时候 \(1/\sqrt N\) 才是真的？ 当"代价对涨落的一阶敏感度不为零"时。三种典型情形：
- (i) 代价在最优点处有折角，如 \(|\cdot|\) 型的绝对误差、\(\max\) 型的最坏用户准则。
- (ii) 动作是离散的（开/关、波束档位）。此时"最优反应"是一个阈值函数，涨落跨过阈值就整档跳。
- (iii) 关心的不是平均代价而是尾事件（越限、掉话、时延违约）。这类量的尺度直接由 \(\mathrm{sd}(\Delta_N)\) 定，即 \(1/\sqrt N\)。
第 (iii) 种在无线里最常见，7.7 节的算例 7.4 会把它算成一个吓人的数。
一个量化对照。 把代价的跟踪项从 \((\cdot)^2\) 换成 \(|\cdot|\)，遗憾变成 \(\beta\,\mathbb E|\Delta_N|=\beta\sqrt{2/\pi}\,\sigma/[(1+\lambda)\sqrt N]\)。来由分两步：
1. 涨落把个体的跟踪误差平移了 \(\beta\Delta_N\)，而 \(|\cdot|\) 在折角处对平移是一阶增长的，所以遗憾的量级是 \(\beta|\Delta_N|\)，不是它的平方。
2. \(\Delta_N\) 由中心极限定理近似高斯，高斯变量满足 \(\mathbb E|Z|=\sqrt{2/\pi}\,\mathrm{sd}(Z)\)，代入 \(\mathrm{sd}(\Delta_N)\) 即得。
取 \(\beta=0.5,\sigma=0.3,\lambda=0.5,N=100\)：折角情形 \(7.98\times10^{-3}\)，光滑情形 \(6.67\times10^{-5}\)，相差 120 倍，且随 \(N\) 的衰减率从 \(1/N\) 变成 \(1/\sqrt N\)。代价函数光不光滑，比 \(N\) 大不大更能决定平均场准不准。

【本站提法】三个尺度不可混

同一个平均场模型上，至少有三笔账，量纲相同但阶数完全不同：

名称	度量的是	阶	本章参数下 \(N=100\) 的值
MFG\(-\)MFC 分歧	自私 vs 社会最优	\(O(1)\)，与 \(N\) 无关	\(12.5\%\)
有限 \(N\) 纳什偏差	自身 \(1/N\) 份额被忽略	\(O(1/N)\)	\(0.25\%\)（策略）
涨落遗憾	经验均值的随机偏离	\(O(1/\sqrt N)\)（策略）/ \(O(1/N)\)（光滑代价）	\(2.0\%\)（均值涨落 \(\mathrm{sd}(\Delta_N)/m\)；策略偏差是它的 \(\beta/(1+\lambda)\) 倍，即 \(0.67\%\)）/ \(0.0085\%\)（代价）

据本站检索，把这三笔账在同一个显式模型上并排算成数、并指出前者与 \(N\) 无关的写法未见先例【本站提法】。三条结论各自的来源都是经典的（分别是外部性、链式法则、中心极限定理）。本站的贡献是把它们放在一张表里，并把常数算出来。

小结：\(1/\sqrt N\) 的出处是中心极限定理，不是博弈论。在光滑二次代价下，代价遗憾其实是 \(1/N\) 而不是 \(1/\sqrt N\)，原因是平均场策略恰好是对期望的最优反应，一阶项消失。另有一条判据：只要代价有折角、动作离散、或你关心的是尾事件，\(1/\sqrt N\) 就回来了，而且大 120 倍。

7.6 无线读法：\(N=10^2\)–\(10^4\) 到底差多少#

现在把上面三笔账放进一个无线场景，把百分比算出来。

7.6.1 密集小区功控的百分比表#

先说明一点

本站检索未取得任何无线平均场文献给出的"有限 \(N\) 数值对照"：

Tembine 等 GameNets 2009 [6] 给的是马尔可夫决策演化博弈的弱收敛定理，没有有限 \(N\) 误差。
Mériaux–Varma–Lasaulce Asilomar 2012 [7] 给的是能效 MFG 的框架与 illustrative 仿真，未见 \(N\) 与近似误差的对照表。

文献给了框架，没给数。下面这张表是本站在自设模型上补的数。所有参数都写明，所有常数都依赖模型，所以它是量级，不是普适常数。

算例 7.3（密集小区功控：三个尺度在 \(N=10\)–\(10^4\) 的百分比表）【本站演算】

参数（本站自设，写明来由）。 沿用 7.3–7.5 节模型：

\(\theta=1\)：归一化的名义功率目标。
\(\beta=0.5\)：干扰跟随系数，取"邻区功率涨 1 dB、我要跟涨 0.5 dB"这一中等耦合。
\(\lambda=0.5\)：能耗罚与 SINR 跟踪罚同量级。
\(\sigma=0.3\)：个体目标的异质性标准差，取名义目标的 30%，对应小区间负载/阴影差异。

平均场量：\(m=u^{\mathrm{MFG}}=1.000\)，\(u^{\mathrm{MFC}}=0.6667\)。含异质性的每人期望代价

\[ J^{\mathrm{MFG}}_\sigma=\frac{\lambda(1+\lambda)\theta^2}{D^2}+\frac{\lambda\sigma^2}{1+\lambda}=0.750+\frac{0.5\times0.09}{1.5}=0.750+0.030=0.780, \]

\[ J^{\mathrm{MFC}}_\sigma=\frac{\lambda\theta^2}{(1-\beta)^2+\lambda}+\frac{\lambda\sigma^2}{1+\lambda}=0.6667+0.030=0.6967 . \]

多出来的 \(\lambda\sigma^2/(1+\lambda)\) 这样来：

两种解的个体策略都是"共同值 \(u\) + \(\xi_i/(1+\lambda)\)"。MF 策略见 7.5 节。MFC 的一阶条件 \(u_k(1+\lambda)=\theta_k+\beta\bar u+\beta\bar e\) 同样给出 \(\xi_k/(1+\lambda)\)。
代入代价，跟踪误差变成 \([(1-\beta)u-\theta]-\frac{\lambda\xi_i}{1+\lambda}\)，功率项变成 \(\lambda\big(u+\frac{\xi_i}{1+\lambda}\big)^2\)。
取期望时，交叉项因 \(\mathbb E[\xi_i]=0\) 消失，两个平方项共贡献 \(\frac{\lambda^2\sigma^2}{(1+\lambda)^2}+\frac{\lambda\sigma^2}{(1+\lambda)^2}=\frac{\lambda\sigma^2}{1+\lambda}\)。这里略去了 \(\bar u\) 自身涨落的影响，它对期望代价只贡献 \(O(1/N)\)。

分歧比 \(\rho_\sigma=0.780/0.6967=1.1196\)，即 11.96%。异质性给两边加了同一个常数 \(0.03\)，把 12.5% 稀释到 11.96%。

\(N\)	有限 \(N\) 纳什的功率偏差	经验均值涨落 \(\mathrm{sd}(\Delta_N)/m\)	涨落造成的代价遗憾 \(\varepsilon_N/J^{\mathrm{MFG}}_\sigma\)	MFG\(-\)MFC 代价差
10	\(-2.564\%\)	\(6.325\%\)	\(0.0855\%\)	\(\mathbf{11.96\%}\)
\(10^2\)	\(-0.2506\%\)	\(2.000\%\)	\(0.00855\%\)	\(\mathbf{11.96\%}\)
\(10^3\)	\(-0.02501\%\)	\(0.6325\%\)	\(0.000855\%\)	\(\mathbf{11.96\%}\)
\(10^4\)	\(-0.00250\%\)	\(0.2000\%\)	\(0.0000855\%\)	\(\mathbf{11.96\%}\)

计算式：

第二列：\(-\beta\lambda/[N D]\times100\%=-25/N\)（%），精确值见算例 7.2。
第三列：\(\sigma/[(1+\lambda)\sqrt N]/m\times100\%=20/\sqrt N\)（%）。
第四列：\(\beta^2\sigma^2/[N(1+\lambda)^3 J^{\mathrm{MFG}}_\sigma]\times100\%=0.8547/N\)（%）。
第五列：常数。

结论（三句）

"平均场解 \(\approx\) 有限 \(N\) 纳什解"这句话在无线规模上是对的，而且好得离谱：\(N=100\) 时策略差 0.25%、代价遗憾 0.0086%。谁也不会为这个量级改设计。
"平均场解 \(\approx\) 好解"这句话在同一个参数点上错了 12%，而且这 12% 在表里是一条水平线，加多少小区都不会变。
因此"平均场在 \(N=10^2\)–\(10^4\) 是好近似还是自欺"这个问题问错了。正确的问法是：你要近似的是哪个东西？近似纳什：极好。近似最优：差一个与 \(N\) 无关的常数。

校验

- 从 \(N=10\) 到 \(N=100\)，第二列应缩小 \(10\) 倍。实测 \(2.564/0.2506=10.23\)，与 \(1/N\) 律的 \(10\) 一致，残差来自 \(O(1/N^2)\) 项。
- 第三列应缩小 \(\sqrt{10}=3.162\) 倍。实测 \(6.325/2.000=3.162\) ✓，逐位相符。
- 第四列应缩小 \(10\) 倍。实测 \(0.0855/0.00855=10.00\) ✓。
- 第五列应不变 ✓。
(i) 三条不同幂律的自洽性：

四条列各按自己的幂律走，互不串味。
(ii) 代价遗憾的第二条推导途径：不用"曲率 \(\times\) 偏差平方"，而直接代数展开。\(L_i(u^{\mathrm{MF}})-L_i(u^{\mathrm{BR}})\) 中 \(\theta_i\) 抵消后只剩 \(\beta^2\Delta_N^2/(1+\lambda)\)，取期望得 \(\beta^2\sigma^2/[(1+\lambda)\cdot N(1+\lambda)^2]\)，与命题 7.6 的 \(\beta^2\sigma^2/[N(1+\lambda)^3]\) 逐字相同 ✓。
(iii) 异质性项的守恒：\(\lambda\sigma^2/(1+\lambda)=0.03\) 在 \(J^{\mathrm{MFG}}_\sigma\) 与 \(J^{\mathrm{MFC}}_\sigma\) 中是同一个数，因为两种解的个体偏离都是 \(\xi_i/(1+\lambda)\)。异质性的处理方式相同，差别只在共同的平移量。由此 \(\sigma\to0\) 时 \(\rho_\sigma\to1.125\) ✓，\(\sigma\to\infty\) 时 \(\rho_\sigma\to1\)（异质性淹没耦合）✓，两个极限都合理。

三个尺度：只有一条不随 N 衰减（百分比，θ=1 β=0.5 λ=0.5 σ=0.3）

怎么读这张图：三条线来自算例 7.3 的表。

最上面那条水平线是 MFG 与 MFC 的代价差（11.96%），它是 \(O(1)\) 的。横轴走三个数量级，它一动不动。
中间那条从 6.32% 掉到 0.20% 的是经验均值的涨落，斜率对应 \(1/\sqrt N\)（每十倍 \(N\) 掉 \(\sqrt{10}=3.16\) 倍）。
最下面那条从 2.56% 掉到几乎贴地的是有限 \(N\) 纳什偏差，斜率对应 \(1/N\)（每十倍 \(N\) 掉 10 倍）。

这张图就是本章的中心论点：两条会消失的线和一条不会消失的线，画在同一张纸上，不能混为一谈。

7.6.2 另外三个场景#

海量随机接入。 \(N\) 个终端各自决定"这一帧发不发"，每个终端感受到的是全网的活跃比例。这是标准的平均场型耦合，而且是真正全局的（所有人共用一个信道，权重精确是 \(1/N\)），是本章模型最贴合的场景。

分歧比在这里的物理含义是：自私的接入概率高于社会最优的接入概率，全网吞吐低于可达值。这与 slotted ALOHA 的经典结论同构，平均场只是把它推广到有状态、有信道的版本。

大规模星座调度。 一颗低轨卫星的可见用户与同波束干扰源随时间变化，但"同时可见的同频波束数"在统计上稳定。这里的 \(N\) 不是星座总数（数千），而是同一时刻互相干扰的波束数（数十）。7.7 节会把这个区别变成一个定义。

大量 agent 的资源竞价（边缘推理 / 语义通信）。 \(N\) 个边缘节点向同一个推理服务竞价带宽或算力，每个节点的代价依赖于自己的出价与总出价（拥塞价格）。这就是 \(\beta>0\) 的策略互补结构。此处的 MFG\(-\)MFC 差就是"竞价机制的效率损失"。

在 \(\lambda>1-\beta\) 这一侧，它可以通过定价（相当于加大 \(\lambda\)）被压缩：命题 7.3 的几何图像给出 \(\rho\to1\) 当 \(\lambda\to\infty\)。但在 \(\lambda<1-\beta\) 一侧，加价反而会放大效率损失（见命题 7.3 的物理意义）。

小结：一张把三个尺度在 \(N=10\)–\(10^4\) 上算成百分比的表（\(0.25\%\) / \(2.0\%\) / \(12.0\%\) 三档），一条诚实声明（文献给框架、本站补数），以及一句可以直接用于设计评审的话：先问"你要近似的是纳什还是最优"，再问 \(N\) 有多大。

7.7 平均场什么时候失效：有效人数不是 \(N\)#

定义 7.1 里有三个限制：匿名、\(1/N\) 弱耦合、同质。逐条打破，看哪条最先致命。

7.7.1 打破同质：多类型平均场#

若个体分成 \(K\) 类（宏站/微站/毫米波站；不同厂商的 AI 模型），每类内部同质、类间不同，平均场依然成立。只是"一个分布"变成"\(K\) 个分布"，固定点方程变成 \(K\) 个方程的联立。

代价是维数从 1 涨到 \(K\)，但不是本质困难，只要 \(K\) 固定而 \(N\to\infty\)。真正的困难是 \(K\) 随 \(N\) 增长（每个个体都不一样），此时不存在有限维的固定点。

7.7.2 打破匿名与 \(1/N\)：耦合是局部的#

这一条是致命的，而且恰恰是无线的常态。

一个小区感受到的不是"全网平均功率"，而是加权的邻区功率和，权重按路径损耗衰减。写成

\[ v_i=\sum_{n\ne i}a_n\,u_n,\qquad a_n\ge0,\ \sum_n a_n=1 . \]

平均场对应 \(a_n\equiv1/N\)。真实的 \(a_n\) 是极不均匀的：最近的几个邻区占了绝大部分权重。

定义 7.3（耦合的有效人数 \(N_{\mathrm{eff}}\)）【本站提法】

对归一化的耦合权重 \(\{a_n\}_{n=1}^{N}\)（\(a_n\ge0\)，\(\sum_na_n=1\)），定义

\[ N_{\mathrm{eff}}:=\frac{\big(\sum_na_n\big)^2}{\sum_na_n^2}=\frac{1}{\sum_na_n^2}. \]

称之为耦合的有效人数。

这个定义在说什么

它是参与比（participation ratio）。同一个构造在第一部第 9 章被用在多径幅度上（那里写成 \((\sum a_n^2)^2/\sum a_n^4\)，作用在幅度平方上），这里作用在耦合权重上。它的操作意义只有一句话：

如果 \(u_n\) 是方差为 \(\sigma_u^2\) 的独立随机变量，那么 \(\mathrm{Var}(v_i)=\sigma_u^2\sum_na_n^2=\sigma_u^2/N_{\mathrm{eff}}\)。

也就是说，在涨落这件事上，一个权重不均匀的 \(N\) 人系统，等价于一个权重均匀的 \(N_{\mathrm{eff}}\) 人系统。7.5 节所有含 \(N\) 的公式，只要把 \(N\) 换成 \(N_{\mathrm{eff}}\) 就依然成立。

三个立即的检查：

均匀权重 \(a_n=1/N\) 给 \(N_{\mathrm{eff}}=1/(N\cdot N^{-2})=N\)。
只有一个邻居 \(a_1=1\) 给 \(N_{\mathrm{eff}}=1\)。
两个等权邻居给 \(N_{\mathrm{eff}}=2\)。

都对。

7.7.3 幂律耦合与 \(\alpha=2\) 相边界#

命题 7.7（幂律耦合下的有效人数与 \(\alpha=2\) 相边界）【本站演算】

设小区排布在二维栅格上（间距归一化为 1），耦合权重按路径损耗幂律 \(a_n\propto d_n^{-\alpha}\)，\(d_n\) 为归一化距离，\(\alpha>1\)。取 \(L\) 层邻居（\(N=(2L+1)^2-1\)）。则当 \(L\to\infty\)：

\(\alpha>2\)：\(\sum_nd_n^{-\alpha}\) 与 \(\sum_nd_n^{-2\alpha}\) 都收敛，故 \(N_{\mathrm{eff}}\) 有界，与 \(N\) 无关；
\(\alpha=2\)：分子对数发散，\(N_{\mathrm{eff}}=\Theta\big(\ln^2N\big)\)；
\(1<\alpha<2\)：\(N_{\mathrm{eff}}=\Theta\big(N^{\,2-\alpha}\big)\to\infty\)。

\(\alpha=2\) 是平均场适用性的相边界。

证明（三步）

第 1 步（把和化成积分）。 二维栅格上距离在 \([r,r+\mathrm dr)\) 的格点数 \(\approx2\pi r\,\mathrm dr\)。每个格点"占"一块面积为 1 的单位方格，所以一个区域里的格点数约等于它的面积，而半径 \(r\)、宽 \(\mathrm dr\) 的圆环面积是 \(2\pi r\,\mathrm dr\)。例如 \(10\le d<11\) 的格点实有 68 个，圆环面积 \(\pi(11^2-10^2)\approx66.0\)。

把正方形 \([-L,L]^2\) 近似成半径 \(L\) 的圆盘，只改变常数因子。下文的 \(\asymp\) 表示两边之比在 \(L\to\infty\) 时夹在两个正常数之间，即同阶。于是

\[ S_1:=\sum_{n}d_n^{-\alpha}\asymp\int_1^{L}r^{-\alpha}\cdot2\pi r\,\mathrm dr=2\pi\int_1^{L}r^{1-\alpha}\mathrm dr, \]

\[ S_2:=\sum_{n}d_n^{-2\alpha}\asymp2\pi\int_1^{L}r^{1-2\alpha}\mathrm dr . \]

第 2 步（判敛）。 \(\int^\infty r^{1-\alpha}\mathrm dr\) 收敛 \(\iff1-\alpha<-1\iff\alpha>2\)。\(\int^\infty r^{1-2\alpha}\mathrm dr\) 收敛 \(\iff\alpha>1\)。所以在 \(\alpha>1\) 的全部范围内 \(S_2\) 收敛，而 \(S_1\) 在 \(\alpha=2\) 处换相。

第 3 步（代入）。 归一化权重是 \(a_n=d_n^{-\alpha}/S_1\)，于是 \(\sum_na_n^2=S_2/S_1^2\)，由定义 7.3 得 \(N_{\mathrm{eff}}=S_1^2/S_2\)。

换算到 \(N\) 时只需记住 \(N=(2L+1)^2-1\asymp L^2\)，所以 \(L^{2(2-\alpha)}=(L^2)^{2-\alpha}=\Theta(N^{2-\alpha})\)，\(\ln L=\tfrac12\ln N+O(1)\)。分三种情形：

\(\alpha>2\)：分子分母都是常数，\(N_{\mathrm{eff}}=O(1)\)。
\(\alpha=2\)：\(S_1\asymp2\pi\ln L\)，\(N_{\mathrm{eff}}\asymp(2\pi\ln L)^2/S_2=\Theta(\ln^2L)=\Theta(\ln^2N)\)（因 \(N\asymp4L^2\)）。
\(1<\alpha<2\)：\(S_1\asymp\frac{2\pi}{2-\alpha}L^{2-\alpha}\)，\(N_{\mathrm{eff}}\asymp cL^{2(2-\alpha)}=\Theta(N^{2-\alpha})\)。

\(\blacksquare\)

物理意义

\(\alpha=2\) 就是自由空间的路径损耗指数。这条相边界说的是：

只有当干扰衰减不快于自由空间时，"远处无数个弱干扰源的总和"才能压过"近处几个强干扰源"，平均场才是渐近精确的。任何比自由空间更快的衰减（也就是几乎所有真实的地面部署），干扰都由最近的少数几个邻区支配，有效人数被钉死在一个常数上，加多少小区都不会涨。

这句话在随机几何里以另一种形式是常识（"干扰由最近邻支配"）。本站的贡献是把它写成平均场适用性的判据，并给出 \(N_{\mathrm{eff}}\) 这个可直接代入 7.5 节全部公式的标量【本站提法】。

行为分析

\(\alpha\) 的典型值：

自由空间：2.0。
视距城市峡谷：2.0–2.5。
3GPP 城市微蜂窝非视距：约 3.67（\(36.7\log_{10}d\)）。
密集城区非视距：3.5–4.0。
室内穿墙：可达 4–5。

全部落在相边界的"坏"一侧。

7.7.4 算例：四万个小区，有效人数不到十个#

算例 7.4（\(201\times201\) 密集小区栅格：\(N=40{,}400\) 但 \(N_{\mathrm{eff}}\approx9.8\)）【本站演算】

栅格 \(L=100\)（即 \(201\times201\) 减去中心），\(N=201^2-1=40{,}400\)。权重 \(a_n\propto d_n^{-\alpha}\)，\(d_n=\sqrt{i^2+j^2}\)，\((i,j)\in[-100,100]^2\setminus\{(0,0)\}\)。数值求和：

\(\alpha\)	\(N_{\mathrm{eff}}\)	\(1/\sqrt{N_{\mathrm{eff}}}\)	局部均值涨落 \(\mathrm{sd}/m\)	涨落代价遗憾
1.5	1690.7	0.0243	\(0.49\%\)	\(0.0005\%\)
2.0	172.5	0.0761	\(1.52\%\)	\(0.0050\%\)
2.5	38.78	0.1606	\(3.21\%\)	\(0.0220\%\)
3.0	17.30	0.2404	\(4.81\%\)	\(0.0494\%\)
3.7	9.82	0.3191	\(\mathbf{6.38\%}\)	\(0.0870\%\)
4.0	8.48	0.3433	\(6.87\%\)	\(0.1008\%\)

后两列用算例 7.3 的参数 \(\sigma=0.3,\lambda=0.5,\beta=0.5,J^{\mathrm{MFG}}_\sigma=0.780\)，把 7.5 节公式里的 \(N\) 换成 \(N_{\mathrm{eff}}\)。

三个数

\(\alpha=3.7\) 时 \(N_{\mathrm{eff}}=9.82\)。四万个小区，有效人数不到十个。
天真地用 \(N=40{,}400\) 会把涨落标准差低估 \(\sqrt{40400/9.82}=\mathbf{64.1}\) 倍。
权重集中度：最强的 4 个邻区占总耦合权重的 61.1%，最强的 8 个占 78.1%，最强的 12 个占 82.8%。\(N_{\mathrm{eff}}\approx10\) 与"十来个邻区说了算"的工程直觉完全吻合。

一个吓人的推论：越限概率

设网络规划要求实际干扰水平不超过平均场预测值的 \(1+\tau\)，取 \(\tau=5\%\)。越限概率是 \(\Pr[\Delta>\tau m]=Q\big(\tau m/\mathrm{sd}(\Delta)\big)\)。

这里把 \(\Delta\) 当作零均值高斯，\(\xi_i\) 服从高斯分布时这是精确的。\(Q(z)\) 是标准正态的右尾概率，见预备篇第 3 章。

用哪个人数	\(\mathrm{sd}(\Delta)/m\)	\(z=0.05/(\mathrm{sd}/m)\)	越限概率
天真 \(N=10^3\)	\(0.632\%\)	7.91	\(1.3\times10^{-15}\)
天真 \(N=10^4\)	\(0.200\%\)	25.0	\(<10^{-100}\)
正确 \(N_{\mathrm{eff}}=9.82\)	\(\mathbf{6.38\%}\)	0.783	\(\mathbf{21.7\%}\)

用错人数，一个"永远不会发生"的事件变成"五次里有一次"，差了十几个数量级。这属于命题 7.6 行为分析里第 (iii) 类情形：尾事件的尺度由 \(1/\sqrt{N_{\mathrm{eff}}}\) 直接定，没有平方来救。

校验

(i) 均匀权重退化：把同一段求和代码的权重换成 \(a_n=1/N\)，得 \(N_{\mathrm{eff}}=N\) 逐位相同（\(N=10,100,1000\) 分别给 \(10.000,100.00,1000.0\)）✓，说明定义 7.3 的归一化没有写错。
(ii) 恒等式复核：\(\alpha=3.7\) 时直接算 \(\sum_na_n^2=0.101822\)，而 \(1/N_{\mathrm{eff}}=1/9.8210=0.101822\) ✓。两条路径（先算比值 vs 先算平方和）逐位一致。
(iii) 收敛性检查（相边界的直接验证）：把 \(L\) 从 3 加到 100（\(N\) 从 48 涨到 40400，近 1000 倍），\(\alpha=3.7\) 的 \(N_{\mathrm{eff}}\) 只从 8.77 涨到 9.82（涨 12%）。这是饱和，与命题 7.7 第 1 条一致。同一区间内，\(\alpha=2.0\) 的 \(N_{\mathrm{eff}}\) 从 21.5 涨到 172.5，\(\alpha=1.5\) 的从 29.7 涨到 1690.7（涨 57 倍，接近 \(\sqrt{1000}=31.6\) 与 \(L\) 的线性律之间）。三种 \(\alpha\) 各自走命题 7.7 预言的三条不同规律 ✓。

7.7.5 相图#

平均场的适用区：横轴耦合有效人数，纵轴个体异质性

怎么读这张图：横轴是命题 7.7 与定义 7.3 给出的可计算量，即 \(N_{\mathrm{eff}}\) 是否随 \(N\) 增长。纵轴是类型数是否随 \(N\) 增长。四个象限的含义如下。

右下（第四象限）是经典平均场的正确战场：定理 7.1 的传播混沌与定理 7.5 的 \(\varepsilon\)-Nash 都在这里成立。
左下需要按图重做（图上博弈 / graphon 极限）。
右上只是维数上涨。
左上两条都破，没有现成理论。

三个系统点的位置来自本章的计算。海量随机接入的权重精确是 \(1/N\)（最右）。密集小区功控由算例 7.4 定位在 \(N_{\mathrm{eff}}\approx9.8\)（最左）。多厂商 AI 空口两侧模型的"类型数"是厂商数与模型版本数的乘积，随部署规模增长，故置于最上。

这张图与第 3 章的信息结构相图是同一句话的两个切面：网络拓扑决定信息结构，也决定耦合结构。

7.7.6 三尺度分解的猜想#

猜想 7.8（无线平均场的三尺度分解判据）【开放·本站提法】

对一个 \(N\) 体、耦合权重 \(\{a_{in}\}\)、类型数 \(K\) 的网络化决策问题，令

\[ N_{\mathrm{eff}}:=\min_i\frac{\big(\sum_na_{in}\big)^2}{\sum_na_{in}^2}, \]

并设代价关于动作二阶连续可微、且平均场策略是对期望的最优反应。猜想存在只依赖于代价的曲率与 Lipschitz 常数的常数 \(C_1,C_2,C_3\)，使得用平均场策略在真实网络中运行时，与真实 \(N\) 体纳什的偏离满足

\[ \underbrace{\text{代价遗憾}}_{\le\,C_1/N_{\mathrm{eff}}}\;+\;\underbrace{\text{自身份额修正}}_{\le\,C_2\max_ia_{ii}}\;\;\text{（策略偏差为 }\Theta(N_{\mathrm{eff}}^{-1/2})\text{）}, \]

而与社会最优的偏离另有一项 \(\rho-1\)，与 \(N\)、\(N_{\mathrm{eff}}\)、\(K\) 全部无关，只由代价的外部性结构决定。

式中 \(a_{ii}\) 是个体 \(i\) 自己的动作在它所感受的耦合量里占的权重。在 7.4 节的全局模型里，它就是 \(\bar u\) 中自己的那一份 \(1/N\)，对应命题 7.4 的 \(O(1/N)\) 修正。

已知的边界

本章命题 7.4、7.6、7.7 在一维静态二次模型上把三项全部算成闭式，\(C_1=\beta^2\sigma^2/(1+\lambda)^3\)、\(\rho-1\) 由命题 7.3 给出。定理 7.5 给了动态 LQG 下第一项的 \(C/\sqrt N\) 上界 [1][2]（一阶记账）。

未知的部分：

(i) 动态、多维、非二次情形下，"光滑代价把 \(1/\sqrt N\) 改善到 \(1/N\)"是否仍成立、需要什么条件。
(ii) \(N_{\mathrm{eff}}\) 能否严格地替换定理 7.5 中的 \(N\)。本章只在静态模型上验证了方差替换是精确的。动态情形下权重会随时间传播（\(k\) 跳之后的有效邻域会变大），是否要用"多跳有效人数"未知。
(iii) 类型数 \(K\) 进入常数的方式。

第一步可证的引理

在两类型（宏站/微站）、一维静态、权重按类内类间两档取值的模型上，把三项全部算成闭式，验证 \(N_{\mathrm{eff}}\) 是否仍然是唯一进入误差项的人数量。这个模型只有五个参数，可以完全手算。

为什么值得做

它是第 9 章"协同增益 scaling law"那条缺失定理的一半。那条定理要问的是"\(N\)、通信预算 \(B\)、耦合度 \(\kappa\) 三者如何决定协作增益的天花板"，而本章给出了"\(N\)"这一维的正确刻度不是 \(N\) 而是 \(N_{\mathrm{eff}}\)。

剩下的一半（\(B\) 与 \(\kappa\)）分别在第 4 章与第 8 章。读这两章与第 9 章时注意记号：本章的 \(\alpha\) 是路径损耗指数（\(\alpha=2\) 为自由空间），第 8、9 章 Wyner 线性模型里的 \(\alpha\in(0,1)\) 是相邻小区的泄漏比，两者不是同一个量。

陷阱：\(N_{\mathrm{eff}}\) 小不等于平均场"没用"

算例 7.4 的表里，\(\alpha=3.7\) 的代价遗憾只有 \(0.087\%\)。即使有效人数只有 9.8，光滑代价下的平均场近似依然很准。真正被 \(N_{\mathrm{eff}}\) 打穿的是尾事件（21.7% 的越限概率）与折角代价。

所以正确的结论不是"密集小区不能用平均场"，而是：平均场可以用来算平均代价，不能用来算越限概率、掉话率、时延违约率这些尾指标，除非把 \(N\) 换成 \(N_{\mathrm{eff}}\)。这是一条可以直接写进设计规范的话，而它的全部内容就是定义 7.3 的一个标量。

小结：我们得到了一个可计算的判据 \(N_{\mathrm{eff}}\)（定义 7.3），一条相边界 \(\alpha=2\)（命题 7.7），一个把四万小区打回九点八人的数字（算例 7.4），一个差十几个数量级的越限概率对照，以及一条把三个尺度写成猜想的分解式（猜想 7.8）。

7.8 场景与方法盘点：谁解决了什么，谁答不上来#

7.8.1 路标#

平均场从概率论走到无线：六个路标与一个空白

年份	工作	要点
1991	Sznitman 传播混沌讲义	经验测度收敛与渐近独立（概率论基础）
2006	Huang–Caines–Malhamé 纳什确定性等价	\(\varepsilon\)-Nash，\(\varepsilon = O(1/\sqrt{N})\)
2007	Lasry–Lions 平均场博弈	HJB + Fokker–Planck 耦合系统
2009	Tembine 等马尔可夫决策演化博弈	无线里的弱收敛定理（无有限 \(N\) 误差）
2012	Mériaux–Varma–Lasaulce 无线能量平均场博弈	功控/能效框架（illustrative 仿真）
2013	Carmona–Delarue–Lachapelle MFG vs MFC	两条极限路径给出不同的解
2026	本站	三个尺度算成数 + 有效人数 \(N_{\mathrm{eff}}\) + \(\alpha=2\) 相边界

怎么读这张表：从上到下是"从概率论到博弈论到无线"的三段。

1991 与 2006–2007 是骨架（传播混沌 + 固定点 + 回程票）。
2013 是本章的反差（MFG \(\neq\) MFC）。
2009 与 2012 是无线侧的两次搬运。注意它们都停在"框架"层面：Tembine 等给的是弱收敛定理（\(N\to\infty\)，没有有限 \(N\) 误差），Mériaux 等给的是能效增益的示意仿真。

"\(N=10^2\)–\(10^4\) 时误差多大"这一格在文献侧是空的，本章算例 7.3、7.4 补的正是这一格。表中的年份与归属来自本章参考文献 [1][3][5][4][6][7]。

7.8.2 四个当代场景各自缺什么#

场景	平均场给了什么	答不上来的部分	落点
密集小区功控 / ICIC（小区间干扰协调，见预备篇第 6 章）	一个可解的对称固定点，功控发散条件 \(\beta<1+\lambda\)	干扰是局部的，\(N_{\mathrm{eff}}\approx10\)；尾指标（越限、掉话）被低估几个数量级	猜想 7.8(ii)：\(N_{\mathrm{eff}}\) 能否严格替换定理 7.5 的 \(N\)
海量随机接入 / RedCap（3GPP 定义的低能力、低成本终端）	耦合精确是 \(1/N\)，本章模型最贴合；MFG\(-\)MFC 差 = 接入机制的效率损失	动作是离散的（发/不发），命题 7.6 的光滑性假设破裂，\(1/\sqrt N\) 回来	折角/离散动作下 \(\varepsilon_N\) 的精确阶【开放】
AI 空口两侧模型（CSI 压缩、波束管理）	若所有 UE 用同一模型，"UE 群体"是一个平均场	多厂商 = 类型数随部署增长（相图左上角）；且两侧模型的不一致本身是第 5 章的 KL 罚项，不是平均场能处理的量	相图左上区无理论
边缘推理 / 语义通信的算力竞价	拥塞价格是标准的平均场耦合；定价（加大 \(\lambda\)）按命题 7.3 把 \(\rho\to1\)	需求异质且有时间相关（不独立），中心极限定理的 \(1/\sqrt N\) 要换成相关序列的版本	相关涨落下的 \(N_{\mathrm{eff}}\)【开放】

7.8.3 方法谱系#

平均场博弈 / 控制（MFG / MFC）

解决了：把 \(N\) 体的维数灾难塌成一个固定点；给出回程票（定理 7.5）；把"自私 vs 协调"的差写成两个可比的解。
回答不了：耦合局域时（\(N_{\mathrm{eff}}=O(1)\)）整套论证的前提破裂；类型数随 \(N\) 增长时不存在有限维固定点；有限 \(N\) 误差的常数在无线模型上没有人算过（本章补的就是这一格）。

图上博弈 / graphon 极限

解决了：当耦合有图结构、且图有稠密极限时，把 \(N\) 体塌成"图子（graphon）上的连续体博弈"，这是相图左下区的正确工具。
图子是稠密图序列的极限对象：一个对称函数 \(W:[0,1]^2\to[0,1]\)，\(W(x,y)\) 读作"位置 \(x\) 的个体与位置 \(y\) 的个体之间的连接概率（或耦合强度）"。平均场相当于 \(W\) 取常数的特例。
回答不了：无线的干扰图是稀疏的（\(N_{\mathrm{eff}}=O(1)\)，度不随 \(N\) 增长），而 graphon 极限刻画的是稠密图。稀疏图的极限理论要另起炉灶。
原始文献：静态的图子博弈见 Parise–Ozdaglar [9]，它证明图子均衡能逼近从图子抽样得到的大网络博弈的均衡。动态的图子平均场博弈见 Caines–Huang [10]，给出 GMFG 方程的存在唯一性与 \(\varepsilon\)-Nash 理论的梗概。

多智能体强化学习（MARL）

解决了：不需要模型，直接从交互中学；小 \(N\) 时工程上可用（第 6 章的收敛/混沌相图正是它的理论侧）。
回答不了：\(N\) 大时联合动作空间指数爆炸，训不动。即使用平均场近似（mean-field MARL）来降维，也继承了本章的全部问题：它学到的是 MFG（每个 agent 自私），不是 MFC，那 12% 的差不会因为训练得更久而消失。

这是本章送给第 6、9 章的一句话：把奖励设成个体奖励，学得再好也只能到纳什。

随机几何

解决了：干扰分布的精确刻画（本章 \(N_{\mathrm{eff}}\) 的物理内容"干扰由最近邻支配"在那里是标准结果）。
回答不了：它算的是给定策略下的干扰统计，不含决策与均衡。它是本章第一步（传播混沌）的精细版，不覆盖第二步（固定点）。

把两者接起来，即用随机几何算出的权重去定 \(N_{\mathrm{eff}}\)，再喂进平均场的误差项，正是猜想 7.8 的路线。

7.8.4 与协调话费的接口#

第 4 章给了协调的价签：两基站要让动作服从给定联合分布，允许 10% 偏差的话费是 \(1-h(0.1)=0.531\) 比特/时隙。平均场提供了另一种降价方式：如果耦合真的是平均场型的，那么每个人需要知道的只是一个标量 \(\bar u\)，而不是 \(N-1\) 个动作。话费从 \(O(N)\) 降到 \(O(1)\)。这是平均场在通信预算上的红利，也是它在无线里真正吸引人的地方。

但要收下这份红利，必须先付定义 7.3 的检查费：如果 \(N_{\mathrm{eff}}=O(1)\)，那个标量就代表不了你真正面对的干扰，你需要知道的是最近那十个邻区各自的功率，话费又回到 \(O(N_{\mathrm{eff}})\)。所以

【本站提法】平均场的通信红利与它的近似精度是同一个量 \(N_{\mathrm{eff}}\) 的两面：\(N_{\mathrm{eff}}\) 大，红利大且近似准；\(N_{\mathrm{eff}}\) 小，红利小且近似差。二者不会一好一坏。

这句话把本章接进第 9 章的"协同增益 scaling law"：那条定理的三个变量 \((N,B,\kappa)\) 里，\(N\) 的正确刻度是 \(N_{\mathrm{eff}}\)，而 \(B\)（通信预算）与 \(N_{\mathrm{eff}}\) 不独立。

小结：一条时间线（骨架 1991–2007、无线搬运 2009–2012、本章补数 2026），四个场景各自缺的那一块，四条方法谱系的边界，以及一句把平均场的通信红利与近似精度绑在同一个标量上的提法。

跨部连线

本章所在的线索：代价。

开放问题#

光滑性把 \(1/\sqrt N\) 改善到 \(1/N\) 的一般条件【开放】。

命题 7.6 在静态二次模型上证明了代价遗憾是 \(\Theta(1/N)\) 而非 \(\Theta(1/\sqrt N)\)，机制是"平均场策略是对期望的最优反应，一阶项消失"。定理 7.5 [1][2] 的 \(C/\sqrt N\) 是一阶（Lipschitz）记账，在动态 LQG 上没有做这一步改善。

问题：在动态、多维、非二次的模型上，需要什么条件才能把阶改善到 \(1/N\)？

第一步可证引理：两步（\(T=2\)）线性二次高斯模型上把两种记账都算出来，看一阶项是否精确抵消。
\(N_{\mathrm{eff}}\) 能否严格替换定理 7.5 中的 \(N\)【开放·本站提法】（猜想 7.8(ii)）。

本章只证明了在静态模型里方差替换 \(\mathrm{Var}=\sigma_u^2/N_{\mathrm{eff}}\) 是精确的。动态情形下，\(k\) 步之后个体受到的影响会通过图传播到更远的邻域，有效人数应随时间增长。

问题：正确的量是"\(k\) 跳有效人数" \(N_{\mathrm{eff}}^{(k)}\) 吗？它与图的谱有什么关系？
离散动作 / 折角代价下的精确阶【开放】。

海量随机接入的动作是二元的（发/不发），此时最优反应是阈值规则，涨落跨阈值造成整档跳变。命题 7.6 的行为分析给出量级对照（\(N=100\) 时相差 120 倍），但没有给出定理。

第一步：两档功率、单阈值的模型上算出 \(\varepsilon_N\) 的精确常数，验证它确实是 \(\Theta(1/\sqrt N)\) 而不是 \(\Theta(1/N)\)。这条直接接第 8 章的两小区两档功率算例。
相关涨落下的有效人数【开放】。

中心极限定理给出 \(1/\sqrt N\) 的前提是个体独立。真实网络里个体的负载、信道在空间与时间上都相关。

问题：若 \(\{\xi_i\}\) 有相关矩阵 \(R\)，\(N_{\mathrm{eff}}\) 是否要改为 \((\mathbf a^{\!\top}\mathbf 1)^2/(\mathbf a^{\!\top}R\,\mathbf a)\) 这样的形式？这个量与第一部第 8 章的有效维度 \(d_{\mathrm{eff}}\) 是不是同一族？
稀疏图上的群体极限【开放】。

无线干扰图的度不随 \(N\) 增长（命题 7.7 的 \(\alpha>2\) 情形），这既不是平均场（要求 \(1/N\) 权重），也不是 graphon（要求稠密图）。

问题：稀疏、局部有限的图上，是否存在一个可计算的"局部弱极限"版本的均衡概念，使得 \(\varepsilon_N\) 有界？这是相图（7.7 节）左下区的空白。
MFG\(-\)MFC 差与机制设计的定量关系【部分结果】。

命题 7.3 给出 \(\rho\) 的闭式，并显示 \(\lambda\to\infty\) 时 \(\rho\to1\)，即在 \(\lambda>1-\beta\) 一侧"加大能耗定价可以把自私解推向社会最优"。\(\lambda<1-\beta\) 时加价反而扩大分歧，分歧最大点在 \(\lambda=1-\beta\)。

问题：在给定的 \(\rho\) 目标下，最小需要多大的定价（或多少比特的协调信息，接第 4 章命题 4.12）？这是"用价格换协调"与"用比特换协调"的兑换率，与第 2 章猜想 2.6 是同一族问题。
Carmona–Delarue–Lachapelle 最简 LQ 例的系数对应【已解决】。

已对照原文：本条的 \(\bar q\)、\(\hat q\) 分别是原文终端代价里的 \(q\) 与 \(\bar q\)。原文第 3 节末的 A Simple Example 给出 MFG 路径 \(\bar\mu_T=x^{(0)}/(1+q(q+\bar q)T)\)（式 (49)）。第 4 节末的 Simple Example 给出 MFC 路径 \(\mathbb E\{x_T\}=x^{(0)}/(1+(q+\bar q)^2T)\)，并写明它与式 (49) 不同。原文 \(\bar q=0\) 时两式重合。本章仍用算例 7.1 的静态模型把差算成数。
\(\varepsilon\)-Nash 常数 \(C\) 的显式形式【表述待核】。

定理 7.5 的 \(\varepsilon_N\le C/\sqrt N\) 中，\(C\) 依赖于 Lipschitz 常数、时长 \(T\)、噪声强度与初值矩，但 [1][2] 全文未取得。可查到的二手转述（如 Wang–Zhang–Fu–Liang 2022）也只写 \(O(1/\sqrt N)\)，未见显式常数。

本章因此不引用任何文献侧的百分比，全部数字自算并标【本站演算】。这一条同时是给读者的提醒：文献里遍地的"\(O(1/\sqrt N)\)"在工程上不可直接使用，因为常数没写出来。
无线平均场的有限 \(N\) 数值对照在文献侧是空白【开放】。

本站检索未取得任何无线 MFG 论文给出 \(N\) 与近似误差的对照表 [6][7]。算例 7.3、7.4 是本站在自设模型上补的第一组数，它们依赖模型、只是量级。

这一格值得一篇专门的仿真论文：在 3GPP 部署模型上把真实 \(N\) 体纳什与平均场解都数值解出来，给出误差随 \(N\)、\(\alpha\)、异质性的曲面。

参考文献#

M. Huang, P. E. Caines, R. P. Malhamé, 《Large population stochastic dynamic games: closed-loop McKean–Vlasov systems and the Nash certainty equivalence principle》, Communications in Information and Systems, 6(3):221–252, 2006. https://projecteuclid.org/journals/communications-in-information-and-systems/volume-6/issue-3
M. Huang, P. E. Caines, R. P. Malhamé, 《Large-population cost-coupled LQG problems with nonuniform agents: individual-mass behavior and decentralized ε-Nash equilibria》, IEEE Transactions on Automatic Control, 52(9):1560–1571, 2007. https://doi.org/10.1109/TAC.2007.904450
J.-M. Lasry, P.-L. Lions, 《Mean field games》, Japanese Journal of Mathematics, 2:229–260, 2007. https://doi.org/10.1007/s11537-007-0657-8
R. Carmona, F. Delarue, A. Lachapelle, 《Control of McKean–Vlasov dynamics versus mean field games》, Mathematics and Financial Economics, 7:131–166, 2013. https://arxiv.org/abs/1210.5771
A.-S. Sznitman, 《Topics in propagation of chaos》, École d'Été de Probabilités de Saint-Flour XIX, Lecture Notes in Mathematics 1464:165–251, Springer, 1991.
H. Tembine, J.-Y. Le Boudec, R. El-Azouzi, E. Altman, 《Mean field asymptotics of Markov decision evolutionary games and teams》, Proc. GameNets, 2009. https://arxiv.org/abs/1109.2724
F. Mériaux, V. Varma, S. Lasaulce, 《Mean field energy games in wireless networks》, Proc. Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers, 2012. https://arxiv.org/abs/1301.6793
R. Carmona, F. Delarue, 《Probabilistic Theory of Mean Field Games with Applications I–II》, Springer, 2018.
F. Parise, A. Ozdaglar, 《Graphon games: A statistical framework for network games and interventions》, Econometrica, 91(1):191–225, 2023. https://doi.org/10.3982/ECTA17564
P. E. Caines, M. Huang, 《Graphon mean field games and the GMFG equations》, Proc. IEEE Conference on Decision and Control, pp. 4129–4134, 2018. https://doi.org/10.1109/CDC.2018.8619367